1、机械能守恒定律的综合应用机械能守恒定律的综合应用 1. (多选)如图所示，一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点处，将小球拉至A 处， 弹簧恰好无形变， 由静止释放小球， 它运动到O点正下方B点时与A点间的竖直高度差为h， 速度为v， 则() A由A到B重力做的功等于mgh B由A到B重力势能减少 1 2mv 2 C由A到B弹簧弹力做功为mgh D小球到达位置B时弹簧的弹性势能为mgh1 2mv 2 2(多选)如图所示，质量均为m的a、b两球固定在轻杆的两端，杆可绕水平轴O在竖直面内无摩擦转动，已 知两球距轴O的距离L1L2，现在由水平位置静止释放，在a下降过程中() A
2、a、b两球角速度相等 Ba、b两球向心加速度相等 C杆对a、b两球都不做功 Da、b两球机械能之和保持不变 3. (多选)如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架。在A处固定质量为 2m的小球甲，B处固定 质量为m的小球乙，支架悬挂在O点，可绕O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动。开始时OB竖直，放手后 开始运动。在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是() A甲球到达最低点时速度为零 B甲球机械能减少量等于乙球机械能增加量 C乙球向左摆动所能达到的最高位置应高于甲球开始运动时的高度 D当支架从左至右回摆时，甲球一定能回到起始高度 4如图所示，地面上竖直放一根轻弹簧，其下端和地面固定
3、连接，一物体从弹簧正上方距弹簧一定高度处自 由下落，则() A物体和弹簧接触时，物体的动能最大 B物体从接触弹簧至离开弹簧的过程中，物体的动能和弹簧弹性势能的和不断增加 C物体从接触弹簧至离开弹簧的过程中，物体的动能和弹簧弹性势能的和先增加后减少 D物体在反弹阶段动能一直增加，直到物体脱离弹簧为止 5如图，一轻弹簧左端固定在长木块 B 的左端，右端与小木块 A 连接，且 A、B 及 B 与地面间接触面光滑。开 始时，A 和 B 均静止，现同时对 A、B 施加等大反向的水平恒力F1和F2。在两物体开始运动以后的整个运动过程中， 对 A、B 和弹簧组成的系统(整个过程中弹簧形变不超过其弹性限度)，
4、下列说法正确的是() A由于F1、F2等大反向，故系统机械能守恒 BF1、F2分别对 A、B 做正功，故系统机械能不断增加 C当弹簧弹力大小与F1、F2大小相等时，系统机械能最大 D系统机械能最大时，两物体动能都为零 6如图所示，可视为质点的小球 A、B 用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上横截面半径为R的光滑 圆柱，A 的质量为 B 的两倍。当 B 位于地面时，A 恰与圆柱轴心等高。将 A 由静止释放，B 上升的最大高度是() A2RB.5R 3 C.4R 3 D.2R 3 7(多选)由光滑细管组成的轨道如图所示，其中AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直 平面内。 一
5、质量为m的小球， 从距离水平地面高为H的管口D处由静止释放， 最后能够从A端水平抛出落到地面上。 下列说法正确的是() A小球落到地面时相对于A点的水平位移大小为 2RH2R 2 B小球落到地面时相对于A点的水平位移大小为 2 2RH4R 2 C小球能从细管A端水平抛出的条件是H2R D小球能从细管A端水平抛出的最小高度Hmin5 2R 8. 如图所示，物体 A、B 通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物体 A、B 的质量都为m，开始时细绳伸直， 用手托着物体 A，使弹簧处于原长且 A 离地面的高度为h，物体 B 静止在地面上。放手后物体 A 下落，与地面即将 接触时速度大小为v，此时物体 B
6、 对地面恰好无压力，则下列说法中正确的是() A弹簧的劲度系数为mg h B此时弹簧的弹性势能等于mgh1 2mv 2 C此时物体 B 的速度大小也为v D此时物体 A 的加速度大小为g，方向竖直向上 9 (多选)如图所示， 小球沿水平面通过O点进入半径为R的半圆弧轨道后恰能通过最高点P， 然后落回水平面， 不计一切阻力。下列说法正确的是() A小球落地点离O点的水平距离为 2R B小球落地时的动能为5mgR 2 C小球运动到半圆弧最高点P时向心力恰好为零 D若将半圆弧轨道上部的1 4圆弧截去，其他条件不变，则小球能达到的最大高度比 P点高 0.5R 10如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球
7、 A 和 B，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L， 先将杆竖直靠放在竖直墙上，轻轻拨动小球 B，使小球 B 在水平面上由静止开始向右滑动，当小球 A 沿墙下滑距离 为L 2时，下列说法正确的是(不计一切摩擦)( ) A杆对小球 A 做功为 1 2mgL B小球 A 和 B 的速度都为1 2 gL C小球 A、B 的速度分别为1 2 3gL和1 2 gL D杆与小球 A 和 B 组成的系统机械能减少了 1 2mgL 11(多选)质量为M、长度为l的小车静止在光滑的水平面上，质量为m的小物块(可视为质点)放在小车的最 左端。现用一水平恒力F作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运
8、动。物块和小车之间的摩擦力为F1。 物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为x。在这个过程中，以下结论正确的是() A物块到达小车最右端时，具有的动能为(FF1)l B物块到达小车最右端时，小车具有的动能为F1x C摩擦力对物块所做的功为F1(lx) D物块和小车增加的机械能为Fx 12杂技演员甲的质量为M80 kg，乙的质量为m60 kg。跳板轴间光滑，质量不计。甲、乙一起表演节目， 如图所示。开始时，乙站在B端，A端离地面 1 m，且OAOB。甲先从离地面H6 m 的高处自由跳下落在A端。当 A端落地时，乙在B端恰好被弹起。假设甲碰到A端时，由于甲的技艺高超，没有能量损失。分析过程假定甲、
9、乙 可看作质点。(取g10 m/s 2)问： (1)当A端落地时，甲、乙两人速度大小各为多少？ (2)若乙在B端的上升可以看成是竖直方向，则乙离开B端还能被弹起多高？ 13如图所示，若将质量为m的小球拉到绳与水平方向成30角的位置A处由静止释放，重力加速度为g， 求小球到达最低点C时绳对小球的拉力是多大？ 14长为L的均匀链条，放在光滑的水平桌面上，且使其长度的1 4垂在桌边，如图所示，松手后链条从静止开 始沿桌边下滑，取桌面为参考平面。 (1)开始时两部分链条重力势能之和为多少？ (2)刚离开桌面时，整个链条重力势能为多少？ (3)链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为多大？ 15. 如图所示，
10、跨过同一高度处的定滑轮的细线连接着质量相同的物体 A 和 B，A 套在光滑水平杆上，定滑轮 离水平杆的高度h0.2 m，开始时让连着 A 的细线与水平杆的夹角137，由静止释放 B，当细线与水平杆的夹 角253时， A的速度为多大？在以后的运动过程中， A所获得的最大速度为多大？(设B不会碰到水平杆， sin37 0.6，sin530.8，g取 10 m/s 2) 16如图所示，半径为R的光滑半圆弧轨道与高为 10R的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条 光滑水平轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡。在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两小球挤压，处于 静止状态，同时释放两个小球
11、，a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A，b球恰好能到达斜轨道的最高点B。已知a球 质量为m1，b球质量为m2，重力加速度为g，求： (1)a球离开弹簧时的速度大小va； (2)b球离开弹簧时的速度大小vb； (3)释放小球前弹簧的弹性势能Ep。 17. 如图所示，竖直平面内的3 4圆弧形光滑管道的内径略大于小球直径，管道中心线到圆心的距离为 R，A端与 圆心O等高，AD为水平面，B点在O点的正下方，小球自A点正上方由静止释放，自由下落至A点时进入管道，从 上端口飞出后落在C点，当小球到达B点时，管壁对小球的弹力大小是小球重力大小的 9 倍。求： (1)释放点距A点的竖直高度； (2)落点C与A点的
12、水平距离。 18如图所示，ABC和DEF是在同一竖直平面内的两条光滑轨道，其中ABC的末端水平，DEF是半径为r0.4 m 的半圆形轨道，其直径DF沿竖直方向，C、D可看作重合。现有一可视为质点的小球从轨道ABC上距C点高为H的 地方由静止释放。 (1)若要使小球经C处水平进入轨道DEF且能沿轨道运动，H至少要有多高？ (2)若小球静止释放处离C点的高度h小于(1)中H的最小值，小球可击中与圆心等高的E点，求h。(取g10 m/s 2) 答案 1. (多选)如图所示，一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点处，将小球拉至A 处， 弹簧恰好无形变， 由静止释放小球， 它运动到
13、O点正下方B点时与A点间的竖直高度差为h， 速度为v， 则() A由A到B重力做的功等于mgh B由A到B重力势能减少 1 2mv 2 C由A到B弹簧弹力做功为mgh D小球到达位置B时弹簧的弹性势能为mgh1 2mv 2 答案AD 解析重力做功只与初末位置的高度差有关， 则由A至B重力做功为mgh， 故 A 正确； 由A至B重力做功为mgh， 则重力势能减少mgh，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，设小球在B处时弹簧的弹性势能为Ep，由机械能守恒定 律有mghEp1 2mv 2，故 mgh1 2mv 2，E pmgh1 2mv 2，弹簧弹力做功 W弹EpEp1 2mv 2mgh，故 B、C 错
14、误，D 正确。 2(多选)如图所示，质量均为m的a、b两球固定在轻杆的两端，杆可绕水平轴O在竖直面内无摩擦转动，已 知两球距轴O的距离L1L2，现在由水平位置静止释放，在a下降过程中() Aa、b两球角速度相等 Ba、b两球向心加速度相等 C杆对a、b两球都不做功 Da、b两球机械能之和保持不变 答案AD 解析因为a、b两球围绕同一个固定轴转动，所以角速度相等，A 正确。a 2r，半径不同，向心加速度不 同，B 错误。a球和b球组成的系统机械能守恒，D 正确。b球的动能和势能都增加，故杆对b球做正功，对a做负 功，C 错误。 3. (多选)如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架。在A
15、处固定质量为 2m的小球甲，B处固定 质量为m的小球乙，支架悬挂在O点，可绕O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动。开始时OB竖直，放手后 开始运动。在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是() A甲球到达最低点时速度为零 B甲球机械能减少量等于乙球机械能增加量 C乙球向左摆动所能达到的最高位置应高于甲球开始运动时的高度 D当支架从左至右回摆时，甲球一定能回到起始高度 答案BCD 解析甲球和乙球组成的系统机械能守恒，可判断只有 A 错误。 4如图所示，地面上竖直放一根轻弹簧，其下端和地面固定连接，一物体从弹簧正上方距弹簧一定高度处自 由下落，则() A物体和弹簧接触时，物体的动能最大 B物体从
16、接触弹簧至离开弹簧的过程中，物体的动能和弹簧弹性势能的和不断增加 C物体从接触弹簧至离开弹簧的过程中，物体的动能和弹簧弹性势能的和先增加后减少 D物体在反弹阶段动能一直增加，直到物体脱离弹簧为止 答案C 解析物体在下落过程中，只受重力和弹簧弹力作用，总的机械能是守恒的；物体和弹簧接触后，受重力和向 上的弹力作用，物体下落阶段，先是重力大于弹力，然后是弹力大于重力，故物体先加速后减速，动能先增加后减 少，即物体和弹簧接触时，物体的动能未达到最大，A 错误。同理，物体在反弹阶段，未脱离弹簧时，动能先增加 后减少，D 错误。物体从接触弹簧至离开弹簧的过程中，先下落后上升，物体的重力势能先减少后增加，
17、由于物体 和弹簧组成的系统机械能守恒，所以物体的动能和弹簧弹性势能的和先增加后减少，故 C 正确，B 错误。 5如图，一轻弹簧左端固定在长木块 B 的左端，右端与小木块 A 连接，且 A、B 及 B 与地面间接触面光滑。开 始时，A 和 B 均静止，现同时对 A、B 施加等大反向的水平恒力F1和F2。在两物体开始运动以后的整个运动过程中， 对 A、B 和弹簧组成的系统(整个过程中弹簧形变不超过其弹性限度)，下列说法正确的是() A由于F1、F2等大反向，故系统机械能守恒 BF1、F2分别对 A、B 做正功，故系统机械能不断增加 C当弹簧弹力大小与F1、F2大小相等时，系统机械能最大 D系统机械
18、能最大时，两物体动能都为零 答案D 解析当弹簧弹力大小与F1、F2大小相等时，A 和 B 受力平衡，加速度为零，此时速度达到最大值，故各自的 动能最大。由于F1、F2先对系统做正功，当两物体速度减为零时，此时系统机械能最大；之后由于弹簧的弹力大于 F1、F2，两物体再加速相向运动，F1、F2对系统做负功，系统机械能开始减少，只有 D 正确。 6如图所示，可视为质点的小球 A、B 用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上横截面半径为R的光滑 圆柱，A 的质量为 B 的两倍。当 B 位于地面时，A 恰与圆柱轴心等高。将 A 由静止释放，B 上升的最大高度是() A2RB.5R 3 C.4R 3
19、D.2R 3 答案C 解析设 A、B 的质量分别为 2m、m，当 A 落到地面上时，B 恰好运动到与圆柱轴心等高处，以 A、B 整体为研 究对象，则 A、B 组成的系统机械能守恒，故有 2mgRmgR1 2(2mm)v 2，A 落到地面上以后，B 以速度 v竖直上抛， 又上升的高度为h v 2 2g，解得 h1 3R，故 B 上升的总高度为 Rh4 3R，故 C 正确。 7(多选)由光滑细管组成的轨道如图所示，其中AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直 平面内。 一质量为m的小球， 从距离水平地面高为H的管口D处由静止释放， 最后能够从A端水平抛出落到地面上。 下列说法正确的是
20、() A小球落到地面时相对于A点的水平位移大小为 2RH2R 2 B小球落到地面时相对于A点的水平位移大小为 2 2RH4R 2 C小球能从细管A端水平抛出的条件是H2R D小球能从细管A端水平抛出的最小高度Hmin5 2R 答案BC 解析因为轨道光滑，所以小球从D点运动到A点的过程中机械能守恒，以地面为参考平面，根据机械能守恒 定律有mgHmg(RR)1 2mv 2 A，解得vA 2g H2R，从A端水平抛出到落到地面上，根据平抛运动规律有 2R 1 2gt 2，水平位移 xvAt 2gH2R 4R g 2 2RH4R 2，故 A 错误，B 正确；因为小球能从细管 A端水平抛出 的条件是vA
21、0，所以要求H2R，故 C 正确，D 错误。 8. 如图所示，物体 A、B 通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物体 A、B 的质量都为m，开始时细绳伸直， 用手托着物体 A，使弹簧处于原长且 A 离地面的高度为h，物体 B 静止在地面上。放手后物体 A 下落，与地面即将 接触时速度大小为v，此时物体 B 对地面恰好无压力，则下列说法中正确的是() A弹簧的劲度系数为mg h B此时弹簧的弹性势能等于mgh1 2mv 2 C此时物体 B 的速度大小也为v D此时物体 A 的加速度大小为g，方向竖直向上 答案A 解析由题可知，此时弹簧所受的拉力大小等于 B 的重力大小，即Fmg，弹簧伸长的长度为
22、xh，由Fkx 得kmg h ，故 A 正确；A 与弹簧组成的系统机械能守恒，则有mgh1 2mv 2E p，则弹簧的弹性势能Epmgh1 2mv 2，故 B 错误；物体 B 对地面恰好无压力，此时 B 的速度恰好为零，故 C 错误；根据牛顿第二定律，对 A 有Fmgma，F mg，得a0，故 D 错误。 9 (多选)如图所示， 小球沿水平面通过O点进入半径为R的半圆弧轨道后恰能通过最高点P， 然后落回水平面， 不计一切阻力。下列说法正确的是() A小球落地点离O点的水平距离为 2R B小球落地时的动能为5mgR 2 C小球运动到半圆弧最高点P时向心力恰好为零 D若将半圆弧轨道上部的1 4圆弧
23、截去，其他条件不变，则小球能达到的最大高度比 P点高 0.5R 答案ABD 解析小球恰能通过P点，则在P点时重力提供向心力，大小为mg，C 错误；由题意知，在P点时mgmv 2 R ， 故小球经P点时的速度大小vgR，由 2R1 2gt 2、xvt 得小球落地点离O点的水平距离为 2R，A 正确；根据机械 能守恒得 2mgREk1 2mv 2，解得小球落地时的动能 Ek2mgR1 2mv 25 2mgR，B 正确；由 mgh5 2mgR，轨道上部的 1 4圆 弧截去后小球能达到的最大高度h2.5R，比P点高 0.5R，D 正确。 10如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球 A 和 B，两球质量
24、均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L， 先将杆竖直靠放在竖直墙上，轻轻拨动小球 B，使小球 B 在水平面上由静止开始向右滑动，当小球 A 沿墙下滑距离 为L 2时，下列说法正确的是(不计一切摩擦)( ) A杆对小球 A 做功为 1 2mgL B小球 A 和 B 的速度都为1 2 gL C小球 A、B 的速度分别为1 2 3gL和1 2 gL D杆与小球 A 和 B 组成的系统机械能减少了 1 2mgL 答案C 解析当小球 A 沿墙下滑距离为 1 2L 时， 设此时 A 球的速度为vA， B 球的速度为vB。 根据机械能守恒定律得：mgL 2 1 2mv 2 A1 2mv 2 B，两球沿杆方向
25、上的速度相等，则有： vAcos60vBcos30，联立两式解得：vA1 2 3gL，vB1 2 gL。对 A 使用动能定理有：mgL 2W 杆1 2mv 2 A0，代 入 A 的速度，解得W杆1 8mgL，故 A 错误；由以上分析得：v A1 2 3gL，vB1 2 gL，故 B 错误，C 正确；对于杆与 小球 A 和 B 组成的系统而言，运动过程中只有重力做功，故系统机械能守恒，D 错误。 11(多选)质量为M、长度为l的小车静止在光滑的水平面上，质量为m的小物块(可视为质点)放在小车的最 左端。现用一水平恒力F作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动。物块和小车之间的摩擦力为F1
26、。 物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为x。在这个过程中，以下结论正确的是() A物块到达小车最右端时，具有的动能为(FF1)l B物块到达小车最右端时，小车具有的动能为F1x C摩擦力对物块所做的功为F1(lx) D物块和小车增加的机械能为Fx 答案BC 解析由动能定理得，对小物块有：(FF1)(lx)Ek1，A 错误；对小车有F1xEk2，B 正确；摩擦力对物块所 做的功为F1(lx)，C 正确；小物块和小车增加的机械能为EEk1Ek2FlFxF1l，D 错误。 12杂技演员甲的质量为M80 kg，乙的质量为m60 kg。跳板轴间光滑，质量不计。甲、乙一起表演节目， 如图所示。开始时，
27、乙站在B端，A端离地面 1 m，且OAOB。甲先从离地面H6 m 的高处自由跳下落在A端。当 A端落地时，乙在B端恰好被弹起。假设甲碰到A端时，由于甲的技艺高超，没有能量损失。分析过程假定甲、乙 可看作质点。(取g10 m/s 2)问： (1)当A端落地时，甲、乙两人速度大小各为多少？ (2)若乙在B端的上升可以看成是竖直方向，则乙离开B端还能被弹起多高？ 答案(1)2 15 m/s2 15 m/s(2)3 m 解析(1)甲跳下直到B端弹起到最高点的过程中，甲、乙组成的系统机械能守恒，以地面为参考平面，由机 械能守恒定律有：MgH1 2Mv 2 甲1 2mv 2 乙mgh 而v甲v乙，h1 m
28、 联立可解得v甲v乙2 15 m/s。 (2)乙上升到最高点的过程中，机械能守恒，有： 1 2mv 2 乙mgh1，解得h13 m。 13如图所示，若将质量为m的小球拉到绳与水平方向成30角的位置A处由静止释放，重力加速度为g， 求小球到达最低点C时绳对小球的拉力是多大？ 答案 7 2mg 解析小球先做自由落体运动，到绳与水平方向再次成30角时，绳被拉直，然后小球做圆周运动，如图 所示，绳被拉直时小球下降的高度为L，设此时小球的速度为v1， 根据自由落体运动的规律有 v1 2gL 将v1分解为沿绳方向的速度v和垂直于绳方向的速度v，当绳绷直的瞬间，v变为 0 vv1cos 6gL 2 绳绷直后
29、，小球在竖直平面内做圆周运动，设小球到达最低点C时的速度为v2，以最低点C所在水平面为参考 平面，由机械能守恒定律有 1 2mv 2 21 2mv 2 mgL(1cos60) 设在C点绳对小球的拉力为F， 根据牛顿第二定律有Fmgmv 2 2 L 联立式解得F7 2mg。 14长为L的均匀链条，放在光滑的水平桌面上，且使其长度的1 4垂在桌边，如图所示，松手后链条从静止开 始沿桌边下滑，取桌面为参考平面。 (1)开始时两部分链条重力势能之和为多少？ (2)刚离开桌面时，整个链条重力势能为多少？ (3)链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为多大？ 答案(1)mgL 32 (2)mgL 2 (3)1
30、4 15gL 解析(1)开始时链条的重力势能 Ep1mg 4 L 8 mgL 32 (2)刚滑离桌面时，链条的重力势能 Ep2mg L 2 mgL 2 (3)设链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为v， 根据机械能守恒定律 Ep10Ep21 2mv 2 联立式得v1 4 15gL。 15. 如图所示，跨过同一高度处的定滑轮的细线连接着质量相同的物体 A 和 B，A 套在光滑水平杆上，定滑轮 离水平杆的高度h0.2 m，开始时让连着 A 的细线与水平杆的夹角137，由静止释放 B，当细线与水平杆的夹 角253时， A的速度为多大？在以后的运动过程中， A所获得的最大速度为多大？(设B不会碰到水平杆，
31、 sin37 0.6，sin530.8，g取 10 m/s 2) 答案1.11 m/s1.63 m/s 解析设 A、B 的质量均为m，绳与水平杆夹角253时，A 的速度为vA，B 的速度为vB，此过程中 B 下降的 高度为h1，由机械能守恒定律有 mgh11 2mv 2 A1 2mv 2 B 其中h1 h sin1 h sin2，v Acos2vB 解得vA1.11 m/s 当390时，A 的速度最大，设为vAm，此时 B 的速度为零，设此过程中 B 下降的高度为h2，由机械能守恒定 律有 mgh21 2mv 2 Am，其中h2 h sin1h 解得vAm1.63 m/s。 16如图所示，半径
32、为R的光滑半圆弧轨道与高为 10R的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条 光滑水平轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡。在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两小球挤压，处于 静止状态，同时释放两个小球，a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A，b球恰好能到达斜轨道的最高点B。已知a球 质量为m1，b球质量为m2，重力加速度为g，求： (1)a球离开弹簧时的速度大小va； (2)b球离开弹簧时的速度大小vb； (3)释放小球前弹簧的弹性势能Ep。 答案(1) 5gR(2)2 5gR (3) 5 2m 110m2 gR 解析(1)由a球恰好能通过A点知m1gm1v 2 A R a球从弹出到运
33、动到A点，由机械能守恒定律有 1 2m 1v 2 a1 2m 1v 2 Am1g2R，得va 5gR。 (2)对于b球，从弹出到运动到B点，由机械能守恒定律有 1 2m 2v 2 bm2g10R，得vb 20gR2 5gR。 (3)由机械能守恒定律得 Ep1 2m 1v 2 a1 2m 2v 2 b 5 2m 110m2 gR。 17. 如图所示，竖直平面内的3 4圆弧形光滑管道的内径略大于小球直径，管道中心线到圆心的距离为 R，A端与 圆心O等高，AD为水平面，B点在O点的正下方，小球自A点正上方由静止释放，自由下落至A点时进入管道，从 上端口飞出后落在C点，当小球到达B点时，管壁对小球的弹
34、力大小是小球重力大小的 9 倍。求： (1)释放点距A点的竖直高度； (2)落点C与A点的水平距离。 答案(1)3R(2)(2 21)R 解析(1)设小球到达B点的速度为v1，因为到达B点时，管壁对小球的弹力大小是小球重力大小的 9 倍， 所以有 9mgmgmv 2 1 R 。 设B点所在水平面为参考平面，由机械能守恒定律得 mg(hR)1 2mv 2 1， 解得h3R。 (2)设小球到达最高点的速度为v2，落点C与A点的水平距离为x。 由机械能守恒定律得 1 2mv 2 11 2mv 2 2mg2R， 由平抛运动的规律得R1 2gt 2，Rxv 2t， 解得x(2 21)R。 18如图所示，
35、ABC和DEF是在同一竖直平面内的两条光滑轨道，其中ABC的末端水平，DEF是半径为r0.4 m 的半圆形轨道，其直径DF沿竖直方向，C、D可看作重合。现有一可视为质点的小球从轨道ABC上距C点高为H的 地方由静止释放。 (1)若要使小球经C处水平进入轨道DEF且能沿轨道运动，H至少要有多高？ (2)若小球静止释放处离C点的高度h小于(1)中H的最小值，小球可击中与圆心等高的E点，求h。(取g10 m/s 2) 答案(1)0.2 m(2)0.1 m 解析(1)小球从ABC轨道下滑，机械能守恒，设到达C点时的速度大小为v，则：mgH1 2mv 2 小球能在竖直平面内做圆周运动，在圆周最高点必须满足： mgmv 2 r 联立并代入数据得：H0.2 m。 (2)若hHmin0.2 m，小球过C点后做平抛运动，设球经C点时的速度大小为vx，则击中E点时： 竖直方向：r1 2gt 2 水平方向：rvxt 由机械能守恒定律有：mgh1 2mv 2 x 联立并代入数据得h0.1 m。
