1、专题二圆周运动的临界问题 1竖直平面内的圆周运动 (1)竖直平面内的圆周运动模型 在竖直平面内做圆周运动的物体，根据运动至轨道最高点时的受力情况，可 分为三种模型。一是只有拉(压)力，如球与绳连接、沿内轨道的“过山车”等， 称为“轻绳模型”；二是只有推(支撑)力的，称为“拱桥模型”；三是可拉(压) 可推(支撑)，如球与杆连接、小球在弯管内运动等，称为“轻杆模型”。 (2)三种模型对比 2水平面内的圆周运动的临界问题 水平面内圆周运动的临界问题， 其实就是要分析物体所处的状态的受力特点， 然后结合圆周运动的知识，列方程求解，一般会涉及临界速度、临界角速度等。 通常有下面两种情况： (1)与绳(或
2、面等)的弹力有关的临界问题：此类问题要分析出恰好无弹力或弹 力达到最大这一临界状态下的角速度(或线速度)。 (2)因静摩擦力而产生的临界问题：此类问题要分析出静摩擦力达到最大时这 一临界状态下的角速度(或线速度)。 典型考点一竖直(倾斜)平面内的圆周运动及其临界问题 1(多选)轻绳一端固定在光滑水平轴 O 上，另一端系一质量为 m 的小球， 在最低点给小球一初速度，使其在竖直平面内做圆周运动，且刚好能通过最高点 P。下列说法正确的是() A小球在最高点时对绳的拉力为零 B小球在最高点时对绳的拉力大小为 mg C若增大小球的初速度，则过最高点时球对绳的力一定增大 D若增大小球的初速度，则在最低点
3、时球对绳的力一定增大 答案ACD 解析在最高点小球可能受重力和绳的拉力作用，合力提供圆周运动的向心 力，由 Tmgm v2 R 知，速度越大绳的拉力越大，速度越小绳的拉力越小，绳的 拉力有最小值 0，故速度有最小值 gR，因为小球恰好能通过最高点，故在最高点 时的速度为 gR，此时绳的拉力为 0，所以 A 正确，B 错误；根据牛顿第二定律， 在最高点时有 Tmgmv 2 R ，小球初速度增大，则在最高点速度增大，则绳的拉 力增大，所以 C 正确；小球在最低点时，合力提供圆周运动的向心力，有 Tmg mv 2 R ，增大小球的初速度时，小球所受绳的拉力增大，所以 D 正确。 2(多选)当汽车通过
4、圆弧形凸形桥时，下列说法中正确的是() A汽车在通过桥顶时，对桥的压力一定小于汽车的重力 B汽车在通过桥顶时，速度越小，对桥的压力就越小 C汽车所需的向心力由桥对汽车的支持力来提供 D汽车通过桥顶时，若汽车的速度 v gR(g 为重力加速度，R 为圆弧形桥 面的半径)，则汽车对桥顶的压力为零 答案AD 解析汽车过凸形桥时，在桥顶有 mgFNmv 2 R ，所以 mgFN，故 A 正确； 由上式可知，汽车通过桥顶时，v 越小，FN越大，所以 B 错误；汽车所需的向心 力由重力沿轨道半径方向的分力和桥对汽车的支持力的合力来提供，故 C 错误； 当汽车通过桥顶所受支持力 FN0 时，mgmv 2 R
5、 ，可得 v gR，故 D 正确。 3. (多选)如图所示，有一个半径为 R 的光滑圆轨道，现给小球一个初速度， 使小球在竖直面内做圆周运动，则关于小球在过最高点的速度 v，下列叙述中正 确的是() Av 的极小值为 gR Bv 由零逐渐增大，轨道对球的弹力逐渐增大 C当 v 由 gR值逐渐增大时，轨道对小球的弹力也逐渐增大 D当 v 由 gR值逐渐减小时，轨道对小球的弹力逐渐增大 答案CD 解析因为轨道内壁下侧可以提供支持力，则过最高点的最小速度为零，故 A 错误。当 v gR，管道上壁对小球有作用力，根据牛顿第二定律得，在最高点 有 mgFmv 2 R ，当速度增大时，弹力 F 增大；当
6、vb 时，速度大于杆 的弹力为零的临界速度，此时杆的弹力方向向下，故 C 错误。当 v22b 时，由 F 合mv 2 R ，故有 FNmg2mb R 2aR b b R 2a2mg，得 FNmga，故 D 错误。 5. 在质量为 M 的电动机飞轮上，固定着一个质量为 m 的重物，重物到转轴 的距离为 r，如图所示。为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮的转动角速 度不能超过() A.Mm mr gB. Mm mr g C. Mm mr gD. Mg mr 答案B 解析当重物转动到最高点时，对电动机的向上的拉力最大，要使电动机不 从地面上跳起，重物对电动机的拉力的最大值为 FTMg；对重物来说，
7、随飞轮 一起做圆周运动，它的向心力是重力和飞轮对重物的拉力 FT的合力，FT和 FT是一对作用力和反作用力。由牛顿第二定律，得 FTmgm2r，代入数值， 解得 Mm mr g。所以 B 正确。 6. 如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度 转动，盘面上离转轴 2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面 间的动摩擦因数为 3 2 (设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为 30，g 取 10 m/s2，则的最大值是() A. 5 rad/sB. 3 rad/s C1.0 rad/sD0.5 rad/s 答案C 解析当物体运动到最低点，所受的静
8、摩擦力沿斜面向上达到最大时，角速 度最大，由牛顿第二定律得：mgcos30mgsin30m2r， 则 gcos30sin30 r 10 3 2 3 2 1 2 2.5 rad/s1.0 rad/s，故 C 正确。 7. 杂技演员在做“水流星”表演时， 用一根细绳系着盛水的杯子， 抡起绳子， 让杯子在竖直面内做圆周运动。如图所示，杯内水的质量 m0.5 kg，绳长 l60 cm，g 取 9.8 m/s2，求： (1)在最高点水不流出的最小速率； (2)水在最高点速率 v3 m/s 时，水对杯底的压力大小。 答案(1)1.71 m/s(2)10.1 N 解析(1)在最高点水不流出的条件是重力不大于
9、水做圆周运动所需要的向 心力，即：mgmv 2 r ，r1 2l， 则所求最小速率： v0 gl 2 9.80.6 2 m/s1.71 m/s。 (2)当水在最高点的速率大于 v0时，重力不足以提供向心力，此时杯底对水有 一竖直向下的压力，设为 FN，由牛顿第二定律有： FNmgmv 2 r 即 FNmv 2 r mg10.1 N。 由牛顿第三定律知，水对杯底的压力 FNFN10.1 N，方向竖直向上。 8长度为 0.5 m 的轻杆 OA 绕 O 点在竖直平面内做圆周运动，A 端连着一个 质量 m2 kg 的小球，g 取 10 m/s2。求在下述的两种情况下，通过最高点时小球 对杆的作用力的大
10、小和方向： (1)杆做匀速圆周运动的转速为 2.0 r/s； (2)杆做匀速圆周运动的转速为 0.5 r/s。 答案(1)138 N方向竖直向上 (2)10 N方向竖直向下 解析(1)设小球受杆的作用力方向向下，则小球在最高点的受力如图所示。 杆的转速为 2.0 r/s 时， 有2n4 rad/s 由牛顿第二定律得 Fmgm2L 故小球所受杆的作用力 Fm2Lmg2(0.542210) N138 N 即杆对小球提供了 138 N 的拉力。 由牛顿第三定律知，小球对杆的拉力大小为 138 N，方向竖直向上。 (2)杆的转速为 0.5 r/s 时，2n rad/s 同理可得小球所受杆的作用力 Fm
11、2Lmg2(0.5210) N10 N。 力 F为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反，故小球对杆的 压力大小为 10 N，方向竖直向下。 典型考点二水平面内的圆周运动的临界问题 9. 如图所示，叠放在水平转台上的小物体 A、B、C 能随转台一起以角速度 匀速转动，A、B、C 的质量分别为 3m、2m、m，A 与 B、B 与转台、C 与转台 间的动摩擦因数都为，B、C 离转台中心的距离分别为 r、1.5r。设最大静摩擦力 等于滑动摩擦力，以下说法正确的是() AB 对 A 的摩擦力一定为 3mg BC 与转台间的摩擦力大于 A 与 B 间的摩擦力 C转台的角速度一定满足： 2g 3r
12、D转台的角速度一定满足： g 3r 答案C 解析对 A 受力分析，受重力、支持力以及 B 对 A 的静摩擦力，静摩擦力 提供向心力， 只有当 A 要相对于 B 滑动时 B 对 A 的摩擦力才为 3mg， 故 A 错误。 A 与 C 转动的角速度相同，都是由静摩擦力提供向心力，对 A 有 FfA3m2r， 对 C 有 FfCm21.5r，由此可知 C 与转台间的摩擦力小于 A 与 B 间的摩擦力， 故 B 错误。当 C 刚要滑动时：mgm2C1.5r，解得C 2g 3r ；对 A、B 整体 刚要滑动时：(2m3m)g(2m3m)2ABr，解得AB g r ；当 A 刚要相对于 B 滑动时：3mg
13、3m2Ar，解得：A g r ；由以上可知要想三个物体均不滑动， 角速度应满足： 2g 3r ，故 C 正确，D 错误。 10如图所示，在光滑的圆锥顶用长为 L 的细线悬挂一质量为 m 的小球，圆 锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，细线与轴线之间的夹角为 30， 小球以速率 v 绕圆锥体轴线做水平圆周运动： (1)当 v1 gL 6 时，求线对小球的拉力大小； (2)当 v2 3gL 2 时，求线对小球的拉力大小。 答案(1)13 3mg 6 (2)2mg 解析临界条件为圆锥体对小球的支持力 FN0 且细线与竖直方向夹角为 30， 如图甲所示，F合mgtan30manmv 2 0 r
14、mv20 Lsin30， 得 v0 3gL 6 。 (1)因为 v1v0，小球离开斜面，对小球受力分析如图丙所示。 F2sin mv22 Lsin F2cosmg0 解得：F22mg。 11. 如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置两个用细线相连的 质量均为 m 的小物体 A、 B， 它们到圆盘转轴的距离分别为 rA20 cm， rB30 cm。 A、B 与盘面的最大静摩擦力均为重力的2 5(g10 m/s 2)，试求： (1)当细线开始出现张力时，圆盘的角速度； (2)当 A 开始滑动时，圆盘的角速度； (3)当 A 即将滑动时，烧断细线，A、B 所处的状态怎样？ 答案(1)3.65
15、 rad/s(2)4 rad/s(3)见解析 解析(1)由于 rBrA，当圆盘以角速度转动时，物体 B 所需向心力大，设 当1，细线开始被拉紧产生张力，因此，对 B 由向心力公式有 kmgm21rB 解得1 kg rB 2 510 0.3 rad/s3.65 rad/s。 (2)当 A 开始滑动时，对 B 满足 kmgFm22rB 对 A 满足 kmgFm22rA 联立得2 2kg rArB 22 510 0.20.3 rad/s4 rad/s。 (3)当 A 即将滑动时，将细线烧断，F 突然消失，对 B 来说 kmgFBn，对 A 来说 kmgFAn，由此可知 B 将做离心运动，A 仍随圆盘
16、做匀速圆周运动。 1(多选)乘坐游乐园的过山车时，质量为 m 的人随车在竖直平面内沿圆周轨 道运动，下列说法正确的是() A车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，若没有保险带，人一 定会掉下去 B人在最高点时对座位仍可能产生压力，但压力一定小于 mg C人在最低点时处于超重状态 D人在最低点时对座位的压力大于 mg来源:学_科_网 答案CD 解析由圆周运动的临界条件知： 当人在最高点 v gR时， 人对座位和保险 带都无作用力；当 v gR时，人对座位有压力，当 v 2gR时，压力大于 mg， 故 A、B 错误。人在最低点时有：FNmgmv 2 R ，FNmg，人处于超重状态，故 C、D
17、 正确。 2. (多选)如图所示，长为 l 的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的 水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，小球过最高点的速度为 v，下列叙 述中正确的是() Av 的值可以小于 gl B当 v 由零逐渐增大时，小球在最高点所需向心力也逐渐增大 C当 v 由 gl值逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大 D当 v 由 gl值逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐减小 答案ABC 解析细杆拉着小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点的最小速度为零， 故 A 正确。根据 F 向m v2 l 知，速度增大，向心力增大，故 B 正确。当 v gl时， 杆的作用力为零，当 v gl时，杆的作用力表
18、现为拉力，速度增大，拉力增大， 故 C 正确。当 v CB ，故 FACFBC，所以 AC 线先断，A 正确。 4如图所示，质量为 m 的滑块与轨道间的动摩擦因数为，在滑块从 A 滑到 B 的过程中，受到的摩擦力的最大值为 Ff，则() AFfmgBFfmgD无法确定 Ff的值 答案C 解析设滑块滑到圆弧轨道最低点时速度为v， 由FNmgmv 2 R 可知， FNmg， 故一定有 Ffmg，C 正确。 5(多选)如图所示，小物块放于半径为 R 的半球的顶端，若给小物块一水平 的初速度 v 时小物块对半球刚好无压力，则下列说法正确的是() 来源:学科网 ZXXK A小物块立即离开球面做平抛运动
19、B小物块落地时水平位移为2R C小物块沿球面运动 D小物块落地时速度的方向与地面成 45角 答案AB 解析小物块在最高点时对半球刚好无压力，表明从最高点开始小物块离开 球面做平抛运动，A 正确，C 错误；由 mgm v2 R 知，小物块在最高点的速度大小 v gR，又由于 R1 2gt 2，vygt，xvt，故 x 2R，B 正确；设小物块落地时 速度的方向与地面的夹角为，tanvy v 2，45，D 错误。 6(多选)质量为 m 的小球由轻绳 a 和 b 分别系于一轻质木架上的 A 点和 C 点。如图所示，当轻杆绕轴 BC 以角速度匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆 周运动，绳 a 在竖直方
20、向，绳 b 在水平方向。当小球运动到图示位置时，绳 b 被 烧断的同时木架停止转动，则() A绳 a 对小球拉力不变 B绳 a 对小球拉力增大 C小球可能前后摆动 D小球不可能在竖直平面内做完整的圆周运动 答案BC 解析绳 b 烧断前，小球竖直方向的合力为零，即 Famg，烧断 b 后，小球 在竖直面内做圆周运动，且 Famgmv 2 l ，所以 FaFa，A 错误，B 正确； 当足够小时，小球不能摆过 AB 所在高度，C 正确；当足够大时，小球在竖直 面内能通过 AB 上方的最高点而做完整的圆周运动，D 错误。 7. 在光滑水平面上相距 20 cm 的两点钉上 A、B 两个钉子，一根长 1
21、m 的细 绳一端系小球，另一端拴在 A 钉上，如图所示。已知小球质量为 0.4 kg，某时刻 小球开始从图示位置以 2 m/s 的速度做水平匀速圆周运动，若绳所能承受的最大 拉力为 3.2 N，则从开始运动到绳被拉断历时为() A2.4 sB1.4 sC1.2 sD0.9 s 答案C 解析当绳子拉力为 3.2 N 时，由 Fmv 2 r ，可得 rmv 2 F 0.5 m。小球每转 半个圆周，其半径就减小 0.2 m。由分析知，小球分别以半径为 1 m、0.8 m 和 0.6 m 各转过半个圆周后绳子就被拉断了， 所以时间为 tr1 v r2 v r3 v 1.2 s， 故 C 正确。 8如图
22、所示，一光滑的半径为 R 的半圆形轨道固定在水平面上，AB 为半圆 形轨道的竖直直径，一个质量为 m 的小球以某一速度冲上轨道，当小球将要从轨 道口飞出时，对轨道的压力恰好为零，则小球落地点 C 距 A 处多远？ 答案2R 解析小球在 B 点飞出时，对轨道压力为零， 由 mgmv 2 B R ，得 vB gR， 小球从 B 点飞出做平抛运动，t 2h g 4R g ， 水平方向的位移大小即落地点 C 到 A 的距离 xvBt gR 4R g 2R。 9如图所示，小球 A 质量为 m，固定在轻细直杆 L 的一端，并随杆一起绕 杆的另一端 O 点在竖直平面内做圆周运动。如果小球经过最高点时，杆对球
23、的拉 力大小等于球的重力。重力加速度为 g，求： (1)小球在最高点的速度大小； (2)当小球经过最低点时速度为 6gL，求杆对球作用力大小和向心加速度大 小。 答案(1) 2gL(2)7mg6g 解析(1)小球在最高点时，受重力 mg 和杆对它向下的拉力 F1，合力提供向 心力，由牛顿第二定律得 mgF1mv 2 1 L 依题意 F1mg 联立解得 v1 2gL。 (2)小球在最低点时，受重力 mg 和杆对它向上的拉力 F2，合力提供向心力， 由牛顿第二定律得 F2mgmv 2 2 L 解得 F2mgmv 2 2 L 将 v2 6gL代入解得 F27mg来源:学科网ZXXK 球的向心加速度
24、anv 2 2 L 6g。 10如图所示，在光滑水平面上有质量为 m1、m2的两个小球 1、2 用轻弹簧 连接在一起，再用长为 L1的细线一端拴住球 1，一端拴在 O 点上，两球都以相同 的角速度绕 O 点做匀速圆周运动，保证两球与 O 点三者始终在同一直线上，若 两球之间的距离为 L2，试求细线的拉力以及将细线烧断的瞬间两球的加速度。 答案见解析 解析以球 2 为研究对象， 球 2 绕 O 点做匀速圆周运动所需的向心力由弹簧 的弹力提供，设弹力为 F，则有 Fm2(L1L2)2；以球 1 为研究对象，球 1 绕 O 点做匀速圆周运动所需的向心力由细线的拉力和弹簧弹力的合力提供，设细线拉 力为
25、 FT，则有 FTFm1L12。由以上两式可解得：FTm1L12m2(L1L2)2。 当细线烧断瞬间，细线的拉力 FT0，而弹簧的弹力仍为 Fm2(L1L2)2，故球 2 的加速度 a2 F m2(L 1L2)2，方向水平指向 O 点。球 1 的加速度 a1F m1 m2 m1(L 1L2)2，负号表示 a1的方向水平背离 O 点，与 a2的方向相反。 11如图所示，两绳 AC、BC 系着一个质量为 m0.1 kg 的小球，AC 绳长 l 2 m，两绳都拉直时与竖直轴夹角分别为 30与 45。问球的角速度满足什么条 件时，两绳始终张紧？(g 取 10 m/s2) 答案2.40 rad/s3.1
26、6 rad/s 解析当 BC 恰好拉直，但没有拉力存在时，有 FT1cos30mg FT1sin30mlsin3021 解得12.40 rad/s 当 AC 恰好拉直，但没有拉力存在时，有 FT2cos45mg FT2sin45mlsin3022 解得23.16 rad/s 所以要使两绳始终张紧，必须满足的条件是 240 rad/s3.16 rad/s。 12. 如图所示， 水平转盘可绕竖直中心轴转动， 盘上放着质量均为 1 kg 的 A、 B 两个物块， 物块之间用长为 1 m 的细线相连， 细线刚好伸直且通过转轴中心 O， A 物块与 O 点的距离为 0.4 m，物块可视为质点。A、B 与
27、转盘间的动摩擦因数均 为 0.1，且认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g 取 10 m/s2。 (1)当转盘至少以多大的角速度匀速转动时，细线上出现拉力？ (2)当转盘以11 rad/s 的角速度匀速转动时，A、B 受到的摩擦力分别是多 大？ (3)当转盘至少以多大的角速度匀速转动时，A、B 两个物块均会在转盘上滑 动？ 答案(1) 5 3 rad/s(2)0.4 N0.6 N (3) 10 rad/s 解析(1)对 B 物块， 当 B 所受摩擦力恰好达到最大静摩擦力时， 细线上刚好 出现拉力，有：mgm20r2 0 g r2 5 3 rad/s。来源:学科网 (2)10， 可以知道 A、 B 所受摩擦力均未达到最大静摩擦力， 则： fAm21r1 0.4 N，fBm21r20.6 N。 (3)设当 A、B 所受摩擦力均达到最大静摩擦力时，细线拉力为 T，来源:学科网 对 A 物块：Tmgm22r1 对 B 物块：Tmgm22r2 联立计算得出： 2 2g r2r1 20.110 0.60.4 10 rad/s。
