1、第第 2 节节两直线的位置关系两直线的位置关系 考试要求1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程 组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距 离公式，会求两条平行直线间的距离. 知 识 梳 理 1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1，l2，其斜率分别为 k1，k2，则有 l1l2k1k2.特别地， 当直线 l1，l2的斜率都不存在时，l1与 l2平行. (2)两条直线垂直 如果两条直线 l1，l2斜率都存在，设为 k1，k2，则 l1l2k1k21，当一条直 线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线
2、垂直. 2.两直线相交 直线 l1：A1xB1yC10 和 l2：A2xB2yC20 的公共点的坐标与方程组 A1xB1yC10， A2xB2yC20 的解一一对应. 相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行方程组无解； 重合方程组有无数个解. 3.距离公式 (1)两点间的距离公式 平 面 上 任 意 两 点 P1(x1， y1) ， P2(x2， y2) 间 的 距 离 公 式 为 |P1P2| （x2x1）2（y2y1）2. 特别地，原点 O(0，0)与任一点 P(x，y)的距离|OP| x2y2. (2)点到直线的距离公式 平面上任意一点 P0(x0，y0)到直线 l：AxBy
3、C0 的距离 d|Ax 0By0C| A2B2 . (3)两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线 l1：AxByC10，l2：AxByC20 间的距离 d |C1C2| A2B2. 4.对称问题 (1)点 P(x0，y0)关于点 A(a，b)的对称点为 P(2ax0，2by0). (2) 设 点 P(x0， y0) 关 于 直 线 y kx b 的 对 称 点 为 P(x ， y) ， 则 有 yy0 xx0k1， yy0 2 kxx0 2 b， 可求出 x，y. 常用结论与微点提醒 1.两直线平行的充要条件 直线 l1：A1xB1yC10 与直线 l2：A2xB2yC20 平行的充要条
4、件是 A1B2 A2B10 且 B1C2B2C10(或 A1C2A2C10). 2.两直线垂直的充要条件 直线 l1：A1xB1yC10 与直线 l2：A2xB2yC20 垂直的充要条件是 A1A2 B1B20. 3.点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式. (2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且 x，y 的系数对应相等. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)当直线 l1和 l2的斜率都存在时，一定有 k1k2l1l2.() (2)如果两条直线 l1与 l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()
5、(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.() (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.() 解析(1)两直线 l1，l2有可能重合. (2)如果 l1l2，若 l1的斜率 k10，则 l2的斜率不存在. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(老教材必修2P114A10改编)两条平行直线3x4y120与ax8y110之 间的距离为() A.23 5 B.23 10 C.7D.7 2 解析由题意知 a6，直线 3x4y120 可化为 6x8y240，所以两平行 直线之间的距离为 |1124| 3664 7 2. 答案D 3.(老教材必修 2P110B1 改编)若
6、三条直线 y2x， xy3， mx2y50 相交于 同一点，则 m 的值为_. 解析由 y2x， xy3，得 x1， y2. 点(1，2)满足方程 mx2y50， 即 m12250，m9. 答案9 4.(2020青岛调研)直线 2x(m1)y40 与直线 mx3y20 平行，则 m () A.2B.3C.2 或3D.2 或3 解析直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行， 则有2 m m1 3 4 2， 故 m2 或3. 答案C 5.(2020重庆重点中学联考)已知直线 l1：y2x，则过圆 x2y22x4y10 的 圆心且与直线 l1垂直的直线 l2的方程为_. 解析由题意可知圆的标准方
7、程为(x1)2(y2)24，所以圆的圆心坐标为 (1，2)，由已知得直线 l2的斜率 k1 2，所以直线 l 2的方程为 y21 2(x 1)，即 x2y30. 答案x2y30 6.(一题多解)(2019江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 yx4 x(x0)上 的一个动点，则点 P 到直线 xy0 的距离的最小值是_. 解析法一由题意可设 P x0，x04 x0(x00)， 则点 P 到直线 xy0 的距离 d| x0 x04 x0| 2 | 2x04 x0| 2 22x04 x0 2 4， 当且仅当 2x0 4 x0，即 x 0 2时取等号. 故所求最小值是 4. 法二设 P
8、x0， 4 x0 x 0 (x00)， 则曲线在点 P 处的切线的斜率为 k1 4 x20.令 1 4 x20 1，结合 x00 得 x0 2，P( 2，3 2)，曲线 yx4 x(x0)上的点 P 到直线 xy0 的最短距离即为此时点 P 到直线 xy0 的距离，故 dmin| 23 2| 2 4. 答案4 考点一两直线的平行与垂直 【例 1】 (1)(2019河北五校联考)直线 l1：mx2y10，l2：x(m1)y10， 则“m2”是“l1l2”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 (2)(2020西安模拟)已知倾斜角为的直线 l 与直线 x
9、3y10 垂直，则 1 2cos 2 019 2 2 的值为() A. 3 10 B.3 5 C. 3 10 D. 1 10 解析(1)由 l1l2得m(m1)1(2)，得 m2 或 m1，经验证，当 m 1 时，直线 l1与 l2重合，舍去，所以“m2”是“l1l2”的充要条件. (2)直线 x3y10 的斜率为1 3，直线 l 的斜率 k3，tan 3， 1 2 cos 2 019 2 2 1 2 cos 3 2 2 1 2 sin 2 1 2 2sin cos sin cos sin2cos2 tan tan21 3 91 3 10. 答案(1)C(2)C 规律方法1.当含参数的直线方程
10、为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要 考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意 x，y 的系数不能同时为零这一隐含条件. 2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结 论. 【训练 1】 (1)若直线 ax4y20 与直线 2x5yb0 垂直，垂足为(1，c)， 则 abc() A.2B.4C.6D.8 (2)已知三条直线 2x3y10，4x3y50，mxy10 不能构成三角形， 则实数 m 的取值集合为() A. 4 3， 2 3B. 4 3， 2 3， 4 3 C. 4 3， 2 3D. 4 3， 2 3， 2 3 解析(1)由
11、已知得： a 4 2 51，a4c20，25cb0，解得 a10， c2，b12.abc4. (2)由题意得直线 mxy10 与 2x3y10，4x3y50 平行，或者直线 mxy10 过 2x3y10 与 4x3y50 的交点.当直线 mxy10 与 2x3y10，4x3y50 分别平行时，m2 3或 4 3；当直线 mxy10 过 2x3y10 与 4x3y50 的交点时，m2 3.所以实数 m 的取值集合为 4 3， 2 3， 2 3 . 答案(1)B(2)D 考点二两直线的交点与距离问题 【例 2】 (1)求经过直线 l1：3x2y10 和 l2：5x2y10 的交点，且垂直 于直线
12、l3：3x5y60 的直线 l 的方程为_. (2)(2020广州模拟)已知点 P(4，a)到直线 4x3y10 的距离不大于 3，则 a 的 取值范围是_. 解析(1)先解方程组 3x2y10， 5x2y10， 得 l1，l2的交点坐标为(1，2)， 再由 l3的斜率3 5求出 l 的斜率为 5 3， 于是由直线的点斜式方程求出 l： y25 3(x1)，即 5x3y10. (2)由题意得，点 P 到直线的距离为|443a1| 5 |153a| 5 . 又|153a| 5 3，即|153a|15，解之得 0a10， 所以 a 的取值范围是0，10. 答案(1)5x3y10(2)0，10 规律
13、方法1.求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条 件写出直线方程. 2.利用距离公式应注意：(1)点 P(x0，y0)到直线 xa 的距离 d|x0a|，到直线 y b 的距离 d|y0b|；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中 x，y 的 系数分别化为相等. 【训练 2】 (1)(2020葫芦岛调研)若直线 l 与两直线 y1，xy70 分别交于 M，N 两点，且 MN 的中点是 P(1，1)，则直线 l 的斜率是() A.2 3 B.2 3 C.3 2 D.3 2 (2)若 P，Q 分别为直线 3x4y120 与 6x
14、8y50 上任意一点， 则|PQ|的最 小值为() A.9 5 B.18 5 C.29 10 D.29 5 (3)(一题多解)直线 l 过点 P(1，2)且到点 A(2，3)和点 B(4，5)的距离相等， 则直线 l 的方程为_. 解析(1)由题意，设直线 l 的方程为 yk(x1)1，分别与 y1，xy70 联立解得 M 2 k1，1，N k6 k1， 6k1 k1.又因为 MN 的中点是 P(1，1)，所以 由中点坐标公式得 k2 3. (2)因为3 6 4 8 12 5 ，所以两直线平行，由题意可知，|PQ|的最小值为这两条平行 直线间的距离，即|245| 6282 29 10，所以|P
15、Q|的最小值为 29 10. (3)法一当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y2k(x1)，即 kxyk 20. 由题意知|2k3k2| k21 |4k5k2| k21 ， 即|3k1|3k3|，k1 3. 直线 l 的方程为 y21 3(x1)， 即 x3y50. 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1，也符合题意. 法二当 ABl 时，有 kkAB1 3，直线 l 的方程为 y2 1 3(x1)，即 x 3y50. 当 l 过 AB 中点时，AB 的中点为(1，4). 直线 l 的方程为 x1. 故所求直线 l 的方程为 x3y50 或 x1. 答案(1)A(2)
16、C(3)x3y50 或 x1 考点三对称问题多维探究 角度 1点关于点对称 【例 31】 直线 x2y30 关于定点 M(2，1)对称的直线方程是 _. 解析设所求直线上任一点(x，y)，则关于 M(2，1)的对称点(4x，2y) 在已知直线上，所求直线方程为(4x)2(2y)30，即 x2y110. 答案x2y110 规律方法1.点关于点的对称：点 P(x，y)关于 O(a，b)对称的点 P(x，y)满足 x2ax， y2by. 2.直线关于点的对称：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决， 也可考虑利用两条对称直线是相互平行的， 并利用对称中心到两条直线的距离相 等求解. 角度
17、2点关于线对称 【例 32】 如图，已知 A(4，0)，B(0，4)，从点 P(2，0)射 出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上，最后经直线 OB 反射后又回到 P 点，则光线所经过的路程是() A.3 3B.6 C.2 10D.2 5 解析直线 AB 的方程为 xy4，点 P(2，0)关于直线 AB 的 对称点为 D(4，2)，关于 y 轴的对称点为 C(2，0)，则光线 经过的路程为|CD| 62222 10. 答案C 规律方法1.若点 A(a，b)与点 B(m，n)关于直线 AxByC0(A0，B0)对 称，则直线 AxByC0 垂直平分线段 AB，即有 nb ma A B
18、1， Aam 2 Bbn 2 C0. 2.几个常用结论 (1)点(x，y)关于 x 轴的对称点为(x，y)，关于 y 轴的对称点为(x，y). (2)点(x，y)关于直线 yx 的对称点为(y，x)，关于直线 yx 的对称点为(y， x). (3)点(x，y)关于直线 xa 的对称点为(2ax，y)，关于直线 yb 的对称点为(x， 2by). 角度 3线关于线对称 【例 33】 直线 2xy30 关于直线 xy20 对称的直线方程是 _. 解析设所求直线上任意一点 P(x，y)， 则 P 关于 xy20 的对称点为 P(x0，y0)， 由 xx0 2 yy0 2 20， xx0（yy0），
19、得 x0y2， y0 x2， 由点 P(x0，y0)在直线 2xy30 上， 2(y2)(x2)30，即 x2y30. 答案x2y30 规律方法求直线 l1关于直线 l 对称的直线 l2，有两种处理方法： (1)在直线 l1上取两点(一般取特殊点)， 利用求点关于直线的对称点的方法求出这 两点关于直线 l 的对称点，再用两点式写出直线 l2的方程. (2)设点 P(x，y)是直线 l2上任意一点，其关于直线 l 的对称点为 P1(x1，y1)(P1在 直线 l1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用 x，y 表示出 x1，y1，再代入直 线 l1的方程，即得直线 l2的方程. 【训练 3】 已
20、知直线 l：2x3y10，点 A(1，2).求： (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A的坐标； (2)直线 m：3x2y60 关于直线 l 的对称直线 m的方程； (3)(一题多解)直线 l 关于点 A 对称的直线 l的方程. 解(1)设 A(x，y)，则 y2 x1 2 31， 2x1 2 3y2 2 10， 解得 x33 13， y 4 13， 即 A 33 13， 4 13 . (2)在直线 m 上取一点，如 M(2，0)，则 M(2，0)关于直线 l 的对称点必在 m上. 设对称点为 M(a，b)， 则 2 a2 23 b0 210， b0 a2 2 31， 解得 a 6 13，
21、b30 13， 即 M 6 13， 30 13 . 设 m 与 l 的交点为 N，则由 2x3y10， 3x2y60， 得 N(4，3).又 m经过点 N(4，3)， 由两点式得直线 m的方程为 9x46y1020. (3)法一在 l：2x3y10 上任取两点， 如 P(1，1)，N(4，3)， 则 P，N 关于点 A 的对称点 P，N均在直线 l上. 易知 P(3，5)，N(6，7)，由两点式可得 l的方程为 2x3y90. 法二设 Q(x，y)为 l上任意一点，则 Q(x，y)关于点 A(1，2)的对称点为 Q(2x，4y)， Q在直线 l 上，2(2x)3(4y)10， 即 2x3y90
22、. 数学抽象活用直线系方程 1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则， 能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系 方程就是其具体表现之一. 2.直线系方程的常见类型 (1)过定点 P(x0，y0)的直线系方程是：yy0k(xx0)(k 是参数，直线系中未包括 直线 xx0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程； (2)平行于已知直线 AxByC0 的直线系方程是：AxBy0(是参数且 C)； (3)垂直于已知直线 AxByC0 的直线系方程是：BxAy0(是参数)； (4)过两条已知直线 l1：A1xB1yC10 和 l2：A2xB2
23、yC20 的交点的直线系 方程是：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R，但不包括 l2). 类型 1相交直线系方程 【例 1】 (一题多解)已知两条直线 l1：x2y40 和 l2：xy20 的交点为 P，求过点 P 且与直线 l3：3x4y50 垂直的直线 l 的方程. 解法一解 l1与 l2组成的方程组得到交点 P(0，2)，因为 k33 4，所以直线 l 的 斜率 k4 3，方程为 y2 4 3x，即 4x3y60. 法二设所求直线 l 的方程为：4x3yc0，由法一可知：P(0，2)，将其代入 方程，得 c6，所以直线 l 的方程为 4x3y60. 法三设所求直线 l 的方程为：
24、x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y 420，因为直线 l 与 l3垂直，所以 3(1)4(2)0，所以11，所以直 线 l 的方程为 4x3y60. 类型 2平行直线系方程 【例 2】 已知直线 l1与直线 l2：x3y60 平行，l1与 x 轴、y 轴围成面积为 8 的三角形，请求出直线 l1的方程. 解设直线 l1的方程为：x3yc0(c6)，则令 y0，得 xc；令 x0， 得 yc 3， 依照题意有： 1 2|c| c 3|8， c4 3.所以 l1的方程是： x3y4 3 0. 【例 3】 (一题多解)已知直线方程 3x4y70，求与之平行而且在 x 轴、y 轴 上的截距和是
25、1 的直线 l 的方程. 解法一设存在直线 l：x a y b1，则 ab1 和 b a 3 4组成的方程组的解为 a 4，b3. 故 l 的方程为：x 4 y 31，即 3x4y120. 法二根据平行直线系方程可设直线 l 为：3x4yc0(c7)，则直线 l 在两坐 标轴上截距分别对应的是c 3， c 4，由 c 3 c 41，知 c12.故直线 l 的方程为： 3x4y120. 类型 3垂直直线系方程 【例 4】 求经过 A(2，1)，且与直线 2xy100 垂直的直线 l 的方程. 解因为所求直线与直线2xy100垂直， 所以设该直线方程为x2yc0， 又直线过点 A(2，1)， 所以
26、有 221c0，解得 c0， 即所求直线方程为 x2y0. 类型 4直线系方程的应用 【例 5】 求过直线 2x7y40 与 7x21y10 的交点，且和 A(3，1)， B(5，7)等距离的直线方程. 解设所求直线方程为 2x7y4(7x21y1)0， 即(27)x(721)y(4)0， 由点 A(3，1)，B(5，7)到所求直线等距离，可得 |（27）（3）（721）14| （27）2（721）2 |（27）5（721）74| （27）2（721）2 ， 整理可得|433|11355|， 解得29 35或 1 3， 所以所求的直线方程为 21x28y130 或 x1. A 级基础巩固 一、
27、选择题 1.直线 2xym0 和 x2yn0 的位置关系是() A.平行B.垂直 C.相交但不垂直D.不能确定 解析直线 2xym0 的斜率 k12，直线 x2yn0 的斜率为 k21 2， 则 k1k2，且 k1k21. 答案C 2.(2020昆明诊断)圆(x1)2y22 的圆心到直线 yx3 的距离为() A.1B.2C. 2D.2 2 解析圆(x1)2y22 的圆心坐标为(1，0)，由 yx3 得 xy30，则 圆心到直线的距离 d |103| 12（1）2 2. 答案C 3.(2019高安期中)经过抛物线y22x的焦点且平行于直线3x2y50的直线l 的方程是() A.6x4y30B.
28、3x2y30 C.2x3y20D.2x3y10 解析因为抛物线 y22x 的焦点坐标为 1 2，0，直线 3x2y50 的斜率为3 2， 所以所求直线 l 的方程为 y3 2 x1 2 ，化为一般式，得 6x4y30. 答案A 4.设aR， 则“a1”是“直线axy10与直线xay10平行”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析当 a1 时，两直线分别为 xy10 和 xy10，满足两直线平行. 当直线 axy10 与直线 xay10 平行时，若 a0，两直线分别为y1 0 和 x10，不满足两直线平行，所以 a0.故a 1 1 a 1 1，解
29、得 a 21，且 a1， 所以 a1.即“a1”是“直线 axy10 与直线 xay10 平行” 的充要条件.故选 C. 答案C 5.点 P 在直线 3xy50 上，且点 P 到直线 xy10 的距离为 2，则点 P 的坐标为() A.(1，2)B.(2，1) C.(1，2)或(2，1)D.(2，1)或(2，1) 解析设 P(x0，y0)，则 3x0y050， |x0y01| 2 2， 解得 x01， y02 或 x02， y01， 所以点 P 的坐标为(1，2)或(2，1).故选 C. 答案C 6.(2020河北五校联盟质检)若直线 l1：xay60 与 l2：(a2)x3y2a0 平 行，
30、则 l1与 l2间的距离为() A. 2B.8 2 3 C. 3D.8 3 3 解析因为 a0 或 a2 时，l1与 l2均不平行，所以 a0 且 a2.因为 l1l2， 所以 1 a2 a 3 6 2a，所以 a（a2）3， 2a218， a2， a0， 解得 a1，所以 l1：xy60，l2： xy2 30，所以 l 1与 l2之间的距离 d| 62 3| 2 8 2 3 .故选 B. 答案B 7.(2020山东省精英对抗赛)直线 axy3a10 恒过定点 N，则直线 2x3y 60 关于点 N 对称的直线方程为() A.2x3y120B.2x3y120 C.2x3y120D.2x3y12
31、0 解析由 axy3a10 可得 a(x3)y10， 令 x30， y10，可得 x3，y1，N(3，1). 设直线 2x3y60 关于点 N 对称的直线方程为 2x3yc0(c6). 则|636| 49 |63c| 49 ，解得 c12 或 c6(舍去). 所求直线方程为 2x3y120，故选 B. 答案B 8.已知直线 l1：mxy30 与 l2关于直线 yx 对称，l2与 l3：y1 2x 1 2垂直， 则实数 m() A.1 2 B.1 2 C.2D.2 解析由于 l2与 l3：y1 2x 1 2垂直，故 l 2的斜率是 2.设 l2：2xyn0，因为 l1：mxy30 过定点(0，3
32、)，l2和 x 轴的交点为 n 2，0，l1：mxy30 与 l2关于直线 yx 对称，所以3 n 2 1，则 n6.易知 l2：2xy60 和直线 yx 的交点为(6，6)，该点也在 l1：mxy30 上，所以 6m630，解得 m1 2. 答案B 二、填空题 9.点(1，2)关于直线 xy1 对称的点的坐标是_. 解析设点(1，2)关于直线 xy1 对称的点的坐标是(m，n)，则 m1 2 n2 2 1， n2m1， 所以 m3， n2， 故所求坐标为(3，2). 答案(3，2) 10.(2020长沙一调)已知入射光线经过点 M(3，4)，被直线 l：xy30 反射， 反射光线经过点 N(
33、2，6)，则反射光线所在直线的方程为_. 解析设点 M(3，4)关于直线 l：xy30 的对称点为 M(a，b)，则反射光 线所在直线过点 M，由 b4 a（3）11， 3a 2 b4 2 30， 解得 a1， b0. 又反射光线经过点 N(2，6)，所以所求直线的方程为y0 60 x1 21，即 6xy60. 答案6xy60 11.如果平面直角坐标系内的两点 A(a1，a1)，B(a，a)关于直线 l 对称，那么 直线 l 的方程为_. 解析因为直线 AB 的斜率为a1a a1a1，所以直线 l 的斜率为 1.设直线 l 的 方程为 yxb，由题意知直线 l 过点 2a1 2 ，2a1 2，
34、所以2a1 2 2a1 2 b， 解得 b1，所以直线 l 的方程为 yx1，即 xy10. 答案xy10 12.在平面直角坐标系中，已知点 P(2，2)，对于任意不全为零的实数 a，b，直 线 l：a(x1)b(y2)0，若点 P 到直线 l 的距离为 d，则实数 d 的取值范围是 _. 解析易知直线 l 经过定点(1，2)，则点 P 到直线 l 的距离 d 的最大值为 （21）2（22）25，最小值为 0，所以 d 的取值范围是0，5. 答案0，5 B 级能力提升 13.设ABC 的一个顶点是 A(3，1)，B，C 的平分线的方程分别是 x0， yx，则直线 BC 的方程是() A.y3x
35、5B.y2x3 C.y2x5D.yx 2 5 2 解析A 关于直线 x0 的对称点是 A(3，1)，关于直线 yx 的对称点是 A(1，3)，由角平分线的性质可知，点 A，A均在直线 BC 上，所以直线 BC 的方程为 y2x5.故选 C. 答案C 14.(2019洛阳期末)已知点 P(x0，y0)是直线 l：AxByC0 外一点，则方程 Ax ByC(Ax0By0C)0 表示() A.过点 P 且与 l 垂直的直线 B.过点 P 且与 l 平行的直线 C.不过点 P 且与 l 垂直的直线 D.不过点 P 且与 l 平行的直线 解析因为点 P(x0，y0)不在直线 AxByC0 上，所以 Ax
36、0By0C0，所以 直线 AxByC(Ax0By0C)0 不经过点 P，排除 A，B；又直线 AxBy C(Ax0By0C)0 与直线 l：AxByC0 平行，排除 C.故选 D. 答案D 15.(2020济南质检)l1，l2是分别经过 A(1，1)，B(0，1)两点的两条平行直线， 当 l1，l2间的距离最大时，直线 l1的方程是_. 解析当两条平行直线与 A，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大. 因为 A(1，1)，B(0，1)，所以 kAB11 01 2，所以当 l1，l2间的距离最大时， 直线 l1的斜率为 k1 2，此时，直线 l 1的方程是 y11 2(x1)，即 x2y
37、3 0. 答案x2y30 16.(一题多解)已知直线 l 经过直线 2xy50 与 x2y0 的交点，若点 A(5， 0)到直线 l 的距离为 3，则 l 的方程为_. 解析法一两直线交点为(2，1)，当斜率不存在时，所求直线方程为 x20； 当斜率存在时，设其为 k，则所求直线方程为 y1k(x2)，即 kxy(12k) 0. 由点线距离公式得 d|5k12k| k21 3，解得 k4 3，故所求直线方程为 4x3y5 0. 综上知，所求直线方程为 x20 或 4x3y50. 法二经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0，即(2)x (12)y50， 所以 |1055| （2
38、）2（12）23，解得2 或 1 2. 所以 l 的方程为 x2 或 4x3y50. 答案x2 或 4x3y50 C 级创新猜想 17.(多选题)已知直线 l1：xy10，动直线 l2：(k1)xkyk0(kR)，则 下列结论正确的是() A.存在 k，使得 l2的倾斜角为 90 B.对任意的 k，l1与 l2都有公共点 C.对任意的 k，l1与 l2都不重合 D.对任意的 k，l1与 l2都不垂直 解析对于动直线 l2：(k1)xkyk0(kR)，当 k0 时，斜率不存在，倾斜 角为 90，故 A 正确；由方程组 xy10， （k1）xkyk0，可得(2k1)x0，对任 意的 k，此方程有解
39、，可得 l1与 l2有交点，故 B 正确；因为当 k1 2时， k1 1 k 1 k 1成立，此时 l 1与 l2重合，故 C 错误；由于直线 l1：xy10 的斜率 为 1，动直线 l2的斜率为k1 k 11 k1，故对任意的 k，l 1与 l2都不垂直， 故 D 正确. 答案ABD 18.(多填题)在平面直角坐标系内，已知 A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，1)， 则平面内任意一点到点 A 与点 C 的距离之和的最小值为_，平面内到 A， B，C，D 的距离之和最小的点的坐标是_. 解析设平面上任一点 M，因为|MA|MC|AC|2 5，当且仅当 A，M，C 共 线，且 M 在 A，C 之间时取等号，同理，|MB|MD|BD|，当且仅当 B，M，D 共线，且 M 在 B，D 之间时取等号，连接 AC，BD 交于一点 M，此时|MA|MC| |MB|MD|最小，则点 M 为所求.因为 kAC62 312，所以直线 AC 的方程为 y 22(x1)，即 2xy0. 又因为 kBD5（1） 17 1，所以直线 BD 的方程为 y5(x1)，即 xy60. 联立得 2xy0， xy60，解得 x2， y4，所以 M(2，4). 答案2 5(2，4)
