1、第第 5 节节指数与指数函数指数与指数函数 考试要求1.通过对有理数指数幂 a m n(a0，且 a1；m，n 为整数，且 n0)、实 数指数幂 ax(a0，且 a1；xR)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指 数幂的运算性质；2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的 概念；3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数 函数的单调性与特殊点. 知 识 梳 理 1.根式的概念及性质 (1)概念：式子 n a叫做根式，其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数. (2)性质：( n a)na(a 使 n a有意义)；当 n 为奇数时， n ana，当 n 为偶
2、数时， n an |a| a，a0， a，a0，m，nN*，且 n1)；正数 的负分数指数幂的意义是 a m n 1 n am (a0，m，nN*，且 n1)；0 的正分数指数 幂等于 0；0 的负分数指数幂没有意义. 3.指数幂的运算性质 实数指数幂的运算性质：arasar s；(ar)sars；(ab)rarbr，其中 a0，b0，r， sR. 4.指数函数及其性质 (1)概念：函数 yax(a0，且 a1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，函数的 定义域是 R，a 是底数. (2)指数函数的图象与性质 a10a0 时，y1； 当 x0 时，0y1 当 x1； 当 x0 时，0y0，且
3、 a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)， 1，1 a . 2.指数函数 yax(a0，且 a1)的图象和性质跟 a 的取值有关，要特别注意应分 a1 与 0a0，且 a1)的图象越高，底数越大. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1) 4 （4）44.() (2)分数指数幂 a m n可以理解为 m n 个 a 相乘.() (3)函数 y2x 1 是指数函数.() (4)函数 yax 21(a1)的值域是(0，).( ) 解析(1)由于 4 （4）4 4 444，故(1)错. (2)当m n 0，且 a1)的图象经过 2，1 3 ， 则 f(1)
4、() A.1B.2C. 3D.3 解析依题意可知 a21 3，解得 a 3 3 ， 所以 f(x) 3 3 x ，所以 f(1) 3 3 1 3. 答案C 3.(新教材必修第一册 P119 习题 4.2T6 改编)设 a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则 a，b，c 的大小关系是() A.abcB.acb C.bacD.bca 解析根据指数函数 y0.6x在 R 上单调递减可得 0.61.50.60.61，ba0 且 a1)的图象过定点 A， 则 点 A 的坐标为_. 解析令 x2 0200，得 x2 020，则 y2 021， 故点 A 的坐标为(2 020，2 021). 答
5、案(2 020，2 021) 6.(2020菏泽一中月考)计算： 3 2 1 37 6 0 8 1 4 4 2 2 3 2 3_. 解析原式 2 3 1 3123 42 1 4 2 3 1 32. 答案2 考点一指数幂的运算 【例 1】 化简下列各式： (1) 27 8 2 30.0021 210( 52) 10_； (2) a3b2 3 ab2 （a 1 4b 1 2） 4a1 3b 1 3 (a0，b0)_. 解析(1)原式 3 2 2 500 1 2 10（ 52） （ 52）（ 52）1 4 910 510 5201 167 9 . (2)原式 （a3b2a 1 3b 2 3） 1 2
6、 ab2a 1 3b 1 3 a3 2 1 61 1 3b1 1 32 1 3 a b. 答案(1)167 9 (2)a b 规律方法1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利 用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后 顺序. 2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【训练 1】 化简下列各式： (1)(0.064 1 5)2.5 2 3 3 33 8 0； (2)5 6a 1 3b 23a 1 2b 1 4a 2 3b 3 1 2. 解(1)原式 64 1
7、 000 1 5 5 2 2 3 27 8 1 31 4 10 3 1 5 5 2 2 3 3 2 31 31 5 2 3 210. (2)原式5 2a 1 6b 34a 2 3b 3 1 2 5 4a 1 6b 3(a1 3b 3 2) 5 4a 1 2b 3 2 5 4 1 ab3 5 ab 4ab2 . 考点二指数函数的图象及应用 【例 2】 (1)(组合选择题)已知实数 a，b 满足等式 2 020a2 021b，下列五个关系 式： 0ba；ab0；0ab；ba0；ab. 其中不可能成立的关系式有() A.B.C.D. (2)若函数 f(x)|2x2|b 有两个零点，则实数 b 的取值
8、范围是_. 解析(1)如图，观察易知 a，b 的关系为 ab0 或 0ba 或 ab0. (2)在同一平面直角坐标系中画出 y|2x2|与 yb 的图象， 如图所示. 当 0b1，b1，b0 C.0a0 D.0a1，b0 (2)如果函数 y|3x1|m 的图象不经过第二象限，则实数 m 的取值范围是 _. 解析(1)由 f(x)ax b 的图象可以观察出，函数 f(x)ax b 在定义域上单调递减， 所以 0a1. 函数 f(x)ax b 的图象是在 f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以 b1.73B.0.6 10.62 C.0.8 0.11.250.2 D.1.70.30.93.1 解析
9、A 中，函数 y1.7x在 R 上是增函数，2.53， 1.72.51.73，错误； B 中，y0.6x在 R 上是减函数，10.62，正确； C 中，(0.8) 11.25， 问题转化为比较 1.250.1与 1.250.2的大小. y1.25x在 R 上是增函数，0.10.2， 1.250.11.250.2，即 0.8 0.11, 00.93.10.93.1，错误. 答案B 规律方法比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂， 再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小. 角度 2解简单的指数方程或不等式 【例 32】 (1)(2020厦
10、门模拟)已知实数 a1，函数 f(x) 4x，x0， 2a x，x0，若 f(1 a)f(a1)，则 a 的值为_. (2)设函数 f(x) 1 2 x 7，x0， x，x0， 若 f(a)1，则实数 a 的取值范围是_. 解析(1)当 a1 时，代入不成立.故 a 的值为1 2. (2)当 a0 时，原不等式化为 1 2 a 71， 则 2 a3，所以3a0. 当 a0 时，则 a1，0a0 且 a1)f(x)g(x).(2)af(x)ag(x)，当 a1 时，等价于 f(x)g(x)；当 0a1 时，等价于 f(x)g(x).(3)有些含参数的指数不等式，需要分离 变量，转化为求有关函数的
11、最值问题. 角度 3指数函数性质的综合应用 【例 33】 (1)若存在正数 x 使 2x(xa)0，且 a1)在区间1，1上的最大值是 14，则 a 的值为_. 解析(1)不等式 2x(xa)1 可变形为 xa 1 2 x ， 如图在同一 平面直角坐标系中作出直线 yxa 与 y 1 2 x 的图象， 由题 意知，在(0，)内，直线有一部分在 y 1 2 x 图象的下方， 由图可知，a1. (2)令 axt，则 ya2x2ax1t22t1(t1)22.当 a1 时，因为 x1， 1，所以 t 1 a，a，又函数 y(t1)22 在 1 a，a上单调递增，所以 ymax(a 1)2214， 解得
12、 a3(负值舍去).当 0abcB.acb C.cabD.bca (2)(多填题)(角度 3)若 f(x)a（2 x1）2 2x1 是 R 上的奇函数，则实数 a 的值为 _，f(x)的值域为_. (3)(角度 2)当 x(，1时，不等式(m2m)4x2x0，a1)的图象经过点 A(1，6)，B(3，24).若不等式 1 a x 1 b x m0 在 x(，1上恒成立，则实数 m 的最大值为_. 解析(1)因为 a20.21，b0.40.21，c0.40.6b，ac.又 y0.4x是 以 0.4 为底的指数函数， 且在 R 上单调递减， 所以 0.40.20.40.6， 即 bc， 所以 ab
13、c. (2)函数 f(x)是 R 上的奇函数，f(0)0， 2a2 2 0，解得 a1，f(x)2 x1 2x11 2 2x1. 2x11，0 2 2x12，11 2 2x11， f(x)的值域为(1，1). (3)原不等式变形为 m2m 1 2 x ， 因为函数 y 1 2 x 在(，1上是减函数，所以 1 2 x 1 2 1 2. 当 x(，1时，m2m 1 2 x 恒成立等价于 m2m2，解得1m0，且 a1，解得 a2， b3，所以 f(x)32 x.要使 1 2 x 1 3 x m 在区间(， 1上恒成立， 只需保证函 数 y 1 2 x 1 3 x 在区间(， 1上的最小值不小于
14、m 即可.因为函数 y 1 2 x 1 3 x 在区间(，1上为减函数，所以当 x1 时，y 1 2 x 1 3 x 有最小值5 6.所以只需 m5 6即可.所以 m 的最大值为 5 6. 答案(1)A(2)1(1，1)(3)(1，2)(4)5 6 A 级基础巩固 一、选择题 1.(2019永州模拟)下列函数中，与函数 y2x2 x 的定义域、单调性与奇偶性均 一致的是() A.ysin xB.yx3 C.y 1 2 x D.ylog2x 解析y2x2 x 是定义域为 R 的单调递增函数，且是奇函数.ysin x 不是单调 递增函数，不符合题意； y 1 2 x 是非奇非偶函数，不符合题意；
15、ylog2x 的定义域是(0，)，不符合题意； yx3是定义域为 R 的单调递增函数，且是奇函数，符合题意. 答案B 2.函数 f(x)ax 1(a0，a1)的图象恒过点 A，下列函数中图象不经过点 A 的是 () A.y 1xB.y|x2| C.y2x1D.ylog2(2x) 解析f(x)过定点 A(1，1)，将点 A(1，1)代入四个选项，y 1x的图象不过点 A(1，1). 答案A 3.(2020西安调研)已知 0ba1，则 ab，ba，aa，bb中最大的是() A.baB.aaC.abD.bb 解析0baaa，babb. 综上，ab最大. 答案C 4.在我国大西北，某地区荒漠化土地面积
16、每年平均比上一年增长 10.4%，专家预 测经过 x 年可能增长到原来的 y 倍，则函数 yf(x)的图象大致为() 解析设原有荒漠化土地面积为 b，经过 x 年后荒漠化面积为 z，则 zb(1 10.4%)x，故 yz b(110.4%) x，其是底数大于 1 的指数函数.其图象应为选项 D. 答案D 5.若函数 f(x)a|2x 4|(a0， 且 a1)， 满足 f(1)1 9， 则 f(x)的单调递减区间是( ) A.(，2B.2，) C.2，)D.(，2 解析由 f(1)1 9，得 a 21 9， 所以 a1 3或 a 1 3(舍去)，即 f(x) 1 3 |2x4| . 由于 y|2
17、x4|在(，2上单调递减，在2，)上单调递增，所以 f(x)在( ，2上单调递增，在2，)上单调递减. 答案B 二、填空题 6.化简 （a 2 3b 1）1 2a 1 2b 1 3 6 ab5 _. 解析原式 a 1 3b 1 2a 1 2b 1 3 a 1 6b 5 6 a 1 3 1 2 1 6b 1 2 1 3 5 6 1 a. 答案 1 a 7.若函数 f(x) 1 3 ax24x3 有最大值 3，则 a_. 解析令 h(x)ax24x3，y 1 3 h（x） ，由于 f(x)有最大值 3，所以 h(x)应有最小 值1， 因此必有 a0， 12a16 4a 1，解得 a1， 即当 f(
18、x)有最大值 3 时，a 的值为 1. 答案1 8.设偶函数 g(x)a|x b|在(0，)上单调递增，则 g(a)与 g(b1)的大小关系是 _. 解析由于 g(x)a|x b|是偶函数，知 b0， 又 g(x)a|x|在(0，)上单调递增，得 a1. 则 g(b1)g(1)g(1)， 故 g(a)g(1)g(b1). 答案g(a)g(b1) 三、解答题 9.已知函数 f(x)3 xa 3x1为奇函数. (1)求 a 的值； (2)判断函数 f(x)的单调性，并加以证明. 解(1)因为函数 f(x)是奇函数，且 f(x)的定义域为 R；所以 f(0)1a 110，所以 a1(经检验，a1 时
19、 f(x)为奇函数，满足题意). (2)由(1)知 f(x)3 x1 3x11 2 3x1，函数 f(x)在定义域 R 上单调递增.证明如下： 设 x1x2R， 则 f(x1)f(x2) 2（3x13x2） （3x11）（3x21）. 因为 x1x2，所以 3x13x2，所以 3x13x20， 所以 f(x1)0，a1)，其中 a，b 均为实数. (1)若函数 f(x)的图象经过点 A(0，2)，B(1，3)，求函数 y 1 f（x）的值域； (2)如果函数 f(x)的定义域和值域都是1，0，求 ab 的值. 解(1)因为函数 f(x)的图象经过点 A(0，2)，B(1，3)， 1b2， ab
20、3， a2， b1， 函数 f(x)2x11，函数 y 1 f（x） 1 2x10，故函数 y 1 f（x）的值域为(0，1). (2)如果函数 f(x)的定义域和值域都是1，0， 若 a1，则函数 f(x)axb 为增函数， 1 ab1， 1b0， 无解. 若 0a1 且 a2)在区间(0，)上具有不同的单调 性，则 M(a1)0.2与 N 1 a 0.1 的大小关系是() A.MNB.MN C.MN 解析因为 f(x)x2 a 与 g(x)ax(a1 且 a2)在区间(0， )上具有不同的单调 性，所以 a2，所以 M(a1)0.21，N 1 a 0.1 N. 答案D 12.(2020衡水
21、中学检测)已知函数 f(x) 2 3 |x| x 2 3且满足 f(2a1)f(3)，则 a 的取 值范围为() A.a2B.a2 C.1a2D.a2 解析易知 f(x) 2 3 |x| x 2 3是 R 上的偶函数， 又当 x0 时，f(x) 2 3 x x 2 3单调递减. 由 f(2a1)f(3)f(|2a1|)f(3)， |2a1|3，解得1a0，函数 f(x) 2x 2xax 的图象经过点 P p，6 5 ， Q q，1 5 .若 2p q36pq，则 a_. 解析因为 f(x) 2x 2xax 1 1ax 2x ，且其图象经过点 P，Q， 则 f(p) 1 1ap 2p 6 5，即
22、 ap 2p 1 6， f(q) 1 1aq 2q 1 5，即 aq 2q6， 得a 2pq 2p q1，则 2 pqa2pq36pq， 所以 a236，解得 a6，因为 a0，所以 a6. 答案6 14.已知定义在 R 上的函数 f(x)2x 1 2|x|. (1)若 f(x)3 2，求 x 的值； (2)若 2tf(2t)mf(t)0 对任意 t1，2恒成立，求实数 m 的取值范围. 解(1)当 x0，所以 2x2，所以 x1. (2)当 t1，2时，2t 22t 1 22tm 2t1 2t0， 即 m(22t1)(24t1)，因为 22t10， 所以 m(22t1)， 又 y22t1，t
23、1，2为减函数， ymax2215，故 m5. C 级创新猜想 15.(多选题) (2020山东新高考调研)已知 3a5b15，则 a，b 不可能满足的关系 是() A.ab4 B.ab4 C.(a1)2(b1)22 D.a2b28 解析3a5b15，(3a)b15b，(5b)a15a.3ab15b，5ba15a，3ab5ba 15b15a， 15ab15a b， abab， 则 abab2 ab， ab， ab2 ab， abab4， (a1)2(b1)2a2b22(ab)22ab2(ab)22， a2b22ab8，故选 ABC. 答案ABC 16.(多填题)已知函数 f(x) 2x 1a2x的图象关于点 0，1 2 对称， 则 a_， f(x) 的值域为_. 解析依题设 f(x)f(x)1， 则 2x 1a2x 2 x 1a2 x1， 整理得(a1)4x(a1)2x10. 所以 a10，则 a1. 因此 f(x) 2x 12x1 1 12x. 由于 12x1，0 1 12x1，0f(x)1. 故 f(x)的值域为(0，1). 答案1(0，1)
