1、1. 本课件需用office2010及以上版本打开，如果您的电脑是office2007及以下版本或者WPS软件， 可能会出现不可编辑的文档，建议您安装office2010及以上版本。 2. 因为课件中存在一些特殊符号，所以个别幻灯片在制作时插入了文档。如您需要修改课件，请双 击插入的文档，即可进入编辑状态。如您在使用过程中遇到公式不显示或者乱码的情况，可能是因 为您的电脑缺少字体，请打开网页 3. 本课件显示比例为16:9，如您的电脑显示器分辨率为4:3，课件显示效果可能比较差，建议您将 电脑显示器分辨率更改为16:9。如您不知如何更改，请 360搜索“全品文教高中”或直接打开网页 。 4.
2、如您遇到有关课件技术方面的问题，请打开网页 或致电010-58818058；有关内容方面的问题，请致电010-58818084。 新高考2 思维形成 空间几何体与球的切、接问题常见模型 一、外接球的有关性质与结论 1.性质: (1)过球心的平面截球面所得的圆是大圆,大圆的半径与球的半径相等; (2)经过小圆的直径且与小圆面垂直的平面必过球心,该平面截球面所得的圆是 大圆; (3)过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面(类比:圆的垂径定理); (4)球心在小圆面上的射影是相应圆的圆心; (5)在同一球中,分别过两相交圆的圆心且垂直于相应的圆面的直线相交,交点是 球心(类比:在同一个圆中,两相
3、交弦的中垂线的交点是圆心). 2.结论: 结论1:长方体的外接球的球心在体对角线的交点处,即长方体的体对角线的中 点是外接球的球心; 结论2:若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点,则所得多面体 的外接球与原长方体的外接球相同; 结论3:长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角 形的外接圆直径,换言之,长方体底面的一条对角线与一条高构成的直角三角形 的外接圆是该长方体外接球的大圆; 结论4:圆柱的外接球球心在上、下两底面圆的圆心连线构成的线段的中点处; 结论5:圆柱轴截面(矩形)的外接圆是圆柱外接球的大圆,该矩形的对角线(外接 圆直径)是外接球的直径; 结论6:直
4、棱柱与该棱柱的外接圆柱有相同的外接球; 结论7:圆锥的外接球球心在圆锥的高所在的直线上; 结论8:圆锥轴截面(等腰三角形)的外接圆是圆锥外接球的大圆,该三角形的外 接圆的直径是外接球的直径; 结论9:侧棱相等的棱锥与该棱锥的外接圆锥有相同的外接球. 3.基本方法: 勾股定理、正弦定理及余弦定理(解三角形求线段长度). 二、内切球的有关结论与方法 1.结论: (1)若球与平面相切,则切点与球心的连线与切面垂直(类比:圆与直线相切); (2)内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均 相等(类比:多边形的内切圆与外接圆); (3)正多面体的内切球和外接球的球心重合; (4
5、)正棱锥的内切球和外接球球心都在棱锥的高所在的直线上,但两者不一定重合. 2.基本方法: (1)构造三角形利用相似比和勾股定理; (2)等体积法(体积分割). 模型一“墙角”模型 “墙角”模型是指具有三条棱两两垂直或三个平面两两垂直的特征,应 用数学建模素养,构建“两两垂直”模型,亦即“墙角”模型,将该三棱锥放入 长方体中,把该三棱锥的外接球转化为该长方体的外接球,不用找出球心的具 体位置,即可求出该球的半径,如图. D 一通百通破解此类题的关键:一是“见数思形”,需在草稿纸上画出三棱锥的 草图,判断是否有两两垂直的三条棱;二是“会构造”,即会构造长方体;三是“用 公式”,4R2=a2+b2+
6、c2(其中R为该三棱锥的外接球的半径,a,b,c为两两垂直的三 条棱的长.) C 28 模型二“对棱相等”模型 “对棱相等”模型是指三棱锥的相对的两条棱相等,应用数学建模素 养,构建长方体,将该三棱锥放入该长方体中,使三棱锥的顶点与长方体的顶点 重合,将该三棱锥的外接球转化为该长方体的外接球,从而求出该外接球的半 径,如图. 13 一通百通破解此类题的关键:一是会翻折,即通过翻折,明确不变量与变化的量; 二是会构造,即根据所给的相等对棱的长度,构造符合条件的长方体;三是会列出 方程组,即设出长方体的长、宽、高,根据三棱锥的三对棱的长度,列出方程组,解 方程组,即可求出所构造的长方体的共顶点的相
7、邻的三条棱的长;四是用公式,利 用长方体的体对角线长等于该三棱锥的外接球的直径,求出该三棱锥的外接球 的半径,利用球的表面积与体积公式,即可得到外接球的表面积与体积. C 模型三“汉堡”模型 “汉堡”模型是指对于直棱柱,应用数学建模素养,结合球与直棱柱的 有关性质,建立“汉堡”模型,上、下底面外接圆的圆心连线构成的线段的中 点即为直棱柱外接球球心,球心到各个顶点的距离都等于外接球的半径,如图. 例3 2021石家庄质检 已知直 三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC 为等边三角形,若该三棱柱存在 外接球与内切球,则其外接球与 内切球的表面积之比为() A.25 1B.1 25 C.1 5D.5
8、 1 D 例3 2021石家庄质检 已知直 三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC 为等边三角形,若该三棱柱存在 外接球与内切球,则其外接球与 内切球的表面积之比为() A.25 1B.1 25 C.1 5D.5 1 D 一通百通破解此类题的关键是画出草图,确定直三棱柱的外接球球心的位置为 直三棱柱的上、下底面三角形外接圆的圆心连线所构成的线段的中点;二是利 用正弦定理求出底面三角形的外接圆的半径,若是特殊三角形,如等边三角形或 直角三角形,可利用特殊三角形的特点,快速获得其外接圆的半径;三是用定理,即 利用勾股定理,求出球的半径;四是用公式,即利用球的表面积或体积公式求解,注 意直三棱柱的外
9、接球与内切球的本质区别. C 模型四“心有所依”模型 “心有所依”模型是指对于圆锥、圆台、侧棱相等的棱锥等几何体,可得球 心必在该几何体的高所在的直线上,或者在棱锥一个底面的高所在直线上,由 此可把相关信息集中到某一个直角三角形内,利用勾股定理求解,如图. C 一通百通破解此类题的关键:一是确定球心O的位置,如例4,先确定底面三角形 的外接圆的圆心O1,则M,O,O1三点共线;二是计算出三棱锥底面外接圆的半径;三 是利用勾股定理,即可求出球心到底面的距离,从而求出三棱锥的高. 变式题 (1) 2020湖南长郡中学模拟 已知圆锥SO1的顶点和底面圆周均在 球O的球面上,且该圆锥的高为8,母 线S
10、A=12,点B在SA上,且SB=2BA,则 过点B的平面被球O截得的截面面积 的最小值为() A.27B.32C.45D.81 B 5 模型五“双心”模型 “双心”模型:无法利用上面四种模型求解的问题,可利用球心、三角 形(或四边形等)外接圆的圆心以及外接圆与球的交点所构成的直角三角形进 行破解,如图. A 一通百通对一般棱锥来讲,外接球球心到各顶点的距离相等,当问题难以考虑时, 可减少点的个数进行考虑,如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外 心,球心一定在过此点与此平面垂直的直线上. A (2)2021山西运城9月调研 在三棱锥A-BCD中,ABD和CBD均是边长为2的等边三角形, 且
11、二面角A-BD-C的平面角为60,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为. 模型六“等体积法”模型 “等体积法”模型:利用几何体的体积不变,求出所需求的几何体的内 切球的半径的方法. C C C C 一通百通破解此类题的关键:一是图形的特征判断,如本题,根据三棱锥的三个 侧面的面积,以及顶点在底面的射影的特征,判断该三棱锥的特征;二是活用等面 积法,即会利用等面积法求出底面三角形内切圆的半径;三是应用等体积法,即三 棱锥的体积等于以其内切球的球心为顶点,分别以三棱锥的四个面为底面的四 个小三棱锥的体积之和,由此得内切球的半径;四是用公式,会利用球的表面积公 式,求出内切球的表面积. B D D (3) 2021蚌埠质检 如图SX-8,E,F分别是 正方形ABCD的边AB,AD的中点,把 AEF,CBE,CFD折起构成一个三棱锥 P-CEF(A,B,D重合于P点),则三棱锥P- CEF的外接球与内切球的半径的比值是 .
