1、大一轮复习讲义 第六章数列 6.3等比数列及其前n项和 考试要求 1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.了解等比数列与指数函数的关系. 主干梳理主干梳理 基础落实基础落实 题型突破题型突破 核心核心探究探究 课时精练课时精练 内容 索引 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 1.等比数列的有关概念等比数列的有关概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比 都等于 (不为零)，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等 比数列的 ，通常用字母q表示，定义的表达式为_ (nN*，q 为非零常数). (2
2、)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列， 那么 叫做a与b的等比中项，此时，G2ab. 知识梳理 同一常数 公比 2 q G 2.等比数列的有关公式等比数列的有关公式 (1)通项公式：an . a1qn1 (2)前n项和公式： Sn_ . 3.等比数列的性质等比数列的性质 (1)通项公式的推广：anamqnm(m，nN*). (2)对任意的正整数m，n，p，t，若mnpt，则 . 特别地，若mn2p，则 . (3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2mSm，S3mS2m仍成等比数列(m为 偶数且q1除外). aman apat (4)在等比数列an中，等距离取出若干
3、项也构成一个等比数列，即an， ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为 . qk 1.若数列an满足an1qan(q0)，则an一定是等比数列吗？ 提示不一定.需验证a10. 2.若数列an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn是等比数列吗？ 提示不一定.当q1时不是等比数列. 微思考 题组一思考辨析题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)等比数列an的公比q1，则该数列单调递增.() (2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2ac.() (3)如果正项数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列.() (4)数列an的通项公式是anan，
4、则其前n项和为Sn .() 基础自测 题组二教材改编题组二教材改编 3.已知数列an为等比数列，a26,6a1a330，则a4_. 54或24 a4a1q323354或a43233824. 4.已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个 数为_. 1,3,9或9,3,1 这三个数为1,3,9或9,3,1. 题组三易错自纠题组三易错自纠 5.(多选)若an是公比为q(q0)的等比数列，记Sn为an的前n项和，则 下列说法正确的是 A.若a10,0q1，则an为递减数列 B.若a10,0q0，则S4S62S5 D.若bn ，则bn是等比数列 解析A，B显然是正确的； C中，若a
5、11，q ，则a6a5，即S6S50， 所以数列anan1是公比为3的等比数列 解由题意知anan1(a1a2)3n123n1， 因为an22an13an， 所以an23an1(an13an)，a23a1， 所以a23a10，所以an13an0， 故an13an， 等比数列的三种常用判定方法 (1)定义法：若 q(q为非零常数，nN*)或 q(q为非零常数且 n2，nN*)，则an是等比数列. (2)等比中项法：若数列an中，an0且a anan2(nN*)，则an是等 比数列. (3)前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0， q0,1)，则 an是等比数列. 思维升
6、华 跟踪训练1(2020泰州模拟)已知数列an，cn满足cn2an1an.若数 列an是等比数列，试判断数列cn是否为等比数列，并说明理由. 解设等比数列an的公比为q， 则cn2an1an2anqan(2q1)an， 所以数列cn是等比数列. 例2(1)已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若a1a2a34， a4a5a68，则S12等于 A.40 B.60 C.32 D.50 解析数列S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比数列， 即4,8，S9S6，S12S9是等比数列， S1248163260. 题型三等比数列性质的应用 师生共研 (2)已知Sn是等比数列an的前n项和，S3，S
7、9，S6成等差数列，a2a54， 则a8_. 2 解析由已知得，2S9S3S6，q1， 解得q3 ， 又a2a5a2(1q3)4， a28，a8a2q68 2. (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项 的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体 的变化特征即可找出解决问题的突破口. (2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要. 思维升华 (2)(2020全国)设an是等比数列，且a1a2a31，a2a3a42， 则a6a7a8等于 A.12 B.24 C.30 D.32 解析设等比数列an的公比为q， 所以a6a7a8(a1a2a3)q512
8、532. 构造新数列拓展视野 对于数列通项公式的求解，除了我们已经学习过的方法以外，根据 数列递推公式的特点，还有以下几种构造方法. 构造法1一阶线性递推(形如an1panq，p0，其中a1a型) (1)若p1，数列an为等差数列； (2)若q0，数列an为等比数列； (3)若p1且q0，数列an为线性递推数列，其通项可通过待定系 数法构造等比数列来求. 方法如下：设an1p(an)，得an1pan(p1)， 又an1panq，所以(p1)q， 例1在数列an中，若a11，an12an3，求an的通项公式. 解an12an3， an132(an3)， 又a134， 数列an3是首项为4，公比q
9、2的等比数列， an342n12n1， an2n13. 变式若例1中“an12an3”变成“an12an3n”，其他条件不 变，求an的通项公式. 解方法一an12an3n， an13n12(an3n)， 即an12an3n，1， 即an13n12(an3n)， 又a132，an3n是首项为2，公比q2的等比数列， an3n22n12n，an3n2n. 方法二an12an3n，等式两边同除以3n1， 构造法2二阶线性递推(形如an1panqan1，其中a1a，a2b型) 可以化为an1x1anx2(anx1an1)，其中x1，x2是方程x2pxq0 的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列an
10、an1，若1不是方 程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列an. 例2(1)在数列an中，a11，a23，an23an12an，则an_. 2n1 解析an2an12(an1an)， a2a12，anan1为首项为2，公比也为2的等比数列， anan12n1(n1)， n1时，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1 2n12n221 2n1. 显然n1时满足上式，an2n1. (2)已知在数列an中，a15，a22，an2an13an2(n3)，求这个 数列的通项公式. 解an2an13an2， anan13(an1an2)， 又a1a27，anan1形成首项为7，公比为
11、3的等比数列， 则anan173n2， 又an3an1(an13an2)， a23a113，an3an1形成首项为13，公比为1的等比数列， 则an3an1(13)(1)n2， 3得，4an73n113(1)n1， KESHIJINGLIAN3 课时精练 1.在正项等比数列an中，a32，a4a664，则 的值是 A.4 B.8 C.16 D.64 12345678910 11 12 13 14 15 16 基础保分练 解析设正项等比数列an的公比为q， a32，a4a664， a1q22，a q864， 解得q24，则 4216. 2.设正项等比数列an的前n项和为Sn，若S3S12S2，且
12、a23，则a5 等于 A.3 B.12 C.24 D.48 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设等比数列an的公比为q， S3S12S2，a23， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 1212n1 (n2)， 当n1时，a11也满足该式，故an (n1)， (1) 2 2 n n (1) 2 2 n n 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16
13、即数列的偶数项成公比为3的等比数列，奇数项都为1， 5.(多选)已知等比数列an的公比为q，前4项的和为a114，且a2，a3 1，a4成等差数列，则q的值可能为 A. B.1 C.2 D.3 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析因为a2，a31，a4成等差数列， 所以a2a42(a31)， 因此a1a2a3a4a13a32a114， 故a34. 又an是公比为q的等比数列， 所以由a2a42(a31)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.(多选)数列an的前n项和为Sn，若a
14、11，an12Sn(nN*)，则有 A.Sn3n1 B.Sn为等比数列 C.an23n1 D.an 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由题意，数列an的前n项和满足an12Sn(nN*)， 当n2时，an2Sn1， 两式相减，可得an1an2(SnSn1)2an， 12345678910 11 12 13 14 15 16 又由n1时，S1a11，适合上式， 所以数列an的前n项和为Sn3n1； 所以数列Sn为公比为3的等比数列， 综上可得选项ABD是正确的. 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.记Sn为等比数列an的前n项和， a11
15、， 且S4a51， 则公比q_.2或1 解析若q1，则S44，a510，等式S4a51不成立，所以q1. 结合a11整理，得(q41)(2q)0. 又q1，所以q2或q1. 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.已知在递增的等比数列an中，a2a83，a3a72，则 _. 解析因为数列an为等比数列，且a3a72，所以a2a82， 因为数列an为递增等比数列， 设等比数列an的公比为q(q0)， 9.(2021安庆模拟)已知公比不为1的等比数列an，且a a7，a62a4 3a5，则数列的通项公式an_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 2
16、n1 解析设等比数列an的公比为q， 则q1，由a a7，a62a43a5， 数列an的通项公式ana1qn142n12n1. 12345678910 11 12 13 14 15 16 2n 2n12 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以其通项是一个关于n的一次函数或常数函数， 所以(d2)20，d2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 11.(2018全国)已知数列an满足a11，nan12(n1)an.设bn . (1)求b1，b2，b3； 将n1代入得，a24a1，而a11
17、，所以a24. 将n2代入得，a33a2，所以a312. 从而b11，b22，b34. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由； 解bn是首项为1，公比为2的等比数列.理由如下： 又b11，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (3)求an的通项公式. 12.已知数列an的前n项和为Sn，且满足2Snann(nN*). (1)求证：数列 为等比数列； 证明2Snann，当n2时，2Sn1an1n1， 两式相减，得2ananan11， 12345678910 11 1
18、2 13 14 15 16 (2)求数列an1的前n项和Tn. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 技能提升练 A.a313 B.数列an3是等比数列 C.an4n3 D.Sn2n1n2 12345678910 11 12 13 14 15 16 即an132(an3)，a11， 故an342n1，故an2n13. a324313，A正确； 数列an3是等比数列，B正确； 12345678910 11 12 13 14 15 16 an2n13，C错误
19、； 故D错误. 故选AB. 14.(多选)已知数列an不是常数列，其前n项和为Sn，则下列选项正确的是 A.若数列an为等差数列，Sn0恒成立，则an为递增数列 B.若数列an为等差数列，a10，S3S10，则Sn的最大值在n6或7时取得 C.若数列an为等比数列，则S2 021a2 0210恒成立 D.若数列an为等比数列，则 也为等比数列 12345678910 11 12 13 14 15 16 2 n a 解析对于A，若数列an为等差数列，Sn0恒成立，则公差d0，故an 为递增数列，故A正确； 对于B，若数列an为等差数列，a10，设公差为d，由S3S10， 12345678910
20、11 12 13 14 15 16 即a16d，故an(n7)d，所以当n7时，an0，a70，故Sn的最大 值在n6或7时取得，故B正确； 对于C，若数列an为等比数列， 12345678910 11 12 13 14 15 16 对于D，若数列an为等比数列， 则 ，所以 不是常数，故 不是等 比数列，故D错误. 2 n a 1 1 2 n a q 1 2 nn aa 1 2 2 n n a a 1 1 () 2 nn aqq 故选ABC. 2 n a 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析因
21、为an12an1，所以an112(an1)， 所以数列an1是首项为a112，公比为2的等比数列， 所以an12n，所以an2n1， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解因为a12，且a1，a2，a38成等差数列， 所以2a2a1a38， 即2a1qa1a1q28，所以q22q30， 所以q3或q1，又q1，所以q3， 所以an23n1(nN*). 12345678910 11 12 13 14 15 16 两式相减，得anbn2n3n1(n2)， 因为an23n1，所以bnn(n2)， 当n1时，由a1b12及a12，得b11(符合上式)， 所以bnn(nN*). 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解因为数列an是首项为2，公比为3的等比数列， 因为nN*，Snm恒成立， 12345678910 11 12 13 14 15 16 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
