1、大一轮复习讲义 3.3导数与函数的极值、最值 第三章导数及其应用 考试要求 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值. 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值. 主干梳理主干梳理 基础落实基础落实 题型突破题型突破 核心核心探究探究 课时精练课时精练 内容 索引 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 1.函数的极值与导数函数的极值与导数 知识梳理 条件 f(x0)0 x0附近的左侧f(x)0，右 侧f(x)0 x0附近的左侧f(x)0 图象 极值f(x0)为_f(x0)为_ 极值点x0为_x0为_ 极大值极小
2、值 极大值点极小值点 2.函数的最值与导数函数的最值与导数 (1)函数f(x)在区间a，b上有最值的条件： 如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条的曲线，那么它必 有最大值和最小值. (2)求yf(x)在区间a，b上的最大(小)值的步骤： 求函数yf(x)在区间(a，b)上的； 将函数yf(x)的各极值与比较，其中最大的 一个是最大值，最小的一个是最小值. 连续不断 极值 端点处的函数值f(a)，f(b) 1.对于可导函数f(x)，“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的什 么条件？ 微思考 提示必要不充分. 2.函数的极大值一定大于极小值吗？ 提示不一定.函数的极大值可能大
3、于、小于或等于函数的极小值. 题组一思考题组一思考辨析辨析 基础自测 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值.() (2)函数的极小值一定是函数的最小值.() (3)函数的极小值一定不是函数的最大值.() (4)函数yf(x)的零点是函数yf(x)的极值点.() 题组二教材题组二教材改编改编 2.如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为 A.1B.2C.3D.4 解析由题意知只有在x1处f(1)0，且其两侧导数符号为左负 右正. 3.当x0时，lnx，x，ex的大小关系是_. 可得x1为函数f(x)在(0，)
4、上唯一的极大值点，也是最大值点， 故f(x)f(1)10，所以lnxx. 同理可得xex，故lnxxex. lnxx0， 6.若函数f(x)x34xm在0,3上的最大值为4，则m_. 4 解析f(x)x24，x0,3， 当x0,2)时，f(x)0， 所以f(x)在0,2)上单调递减，在(2,3上单调递增. 又f(0)m，f(3)3m. 所以在0,3上，f(x)maxf(0)4，所以m4. TIXINGTUPO HEXINTANJIU2题型突破 核心探究 题型一利用导数求函数的极值问题 多维探究 命题点1根据函数图象判断极值 例1(多选)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数g(x
5、) xf(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 A.f(x)有两个极值点 B.f(0)为函数的极大值 C.f(x)有两个极小值 D.f(1)为f(x)的极小值 解析由题图知，当x(，2)时，g(x)0， f(x)0， 当x(2,0)时，g(x)0， 当x(0,1)时，g(x)0，f(x)0，f(x)0. f(x)在(，2)，(0,1)上单调递减， 在(2,0)，(1，)上单调递增. 故AD错误，BC正确. 命题点2求已知函数的极值 例2已知函数f(x)x212alnx(a0)，求函数f(x)的极值. 解因为f(x)x212alnx(x0)， 当a0，且x2a0，所以f(x)0对x0恒成
6、立. 所以f(x)在(0，)上单调递增，f(x)无极值. 所以当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： 无极大值. 综上，当a0时，1lnx2ax0有两个不相等的实数根， 当0 x0；当x1时，(x)1时，当xa或x0，f(x)0； 当1xa时，g(x)0，则f(x)0. x1是函数f(x)的极大值点，不符合题意. 当a1或x0， 当ax1时，f(x)0)， 题型二利用导数求函数的最值 师生共研 例4已知函数g(x)alnxx2(a2)x(aR). (1)若a1，求g(x)在区间1，e上的最大值； 解a1，g(x)lnxx23x， x1，e，g(x)0， g(x)在1，e上单调递增，
7、g(x)maxg(e)e23e1. (2)求g(x)在区间1，e上的最小值h(a). 解g(x)的定义域为(0，)， (1)若函数在区间a，b上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值， 一个为最小值. (2)若函数在区间a，b内有极值，则要先求出函数在a，b上的极值， 再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成. (3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或 最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到. (4)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还 要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的
8、大致图象，然 后借助图象观察得到函数的最值. 思维升华 跟踪训练2已知函数f(x)axlnx，其中a为常数. (1)当a1时，求f(x)的最大值； 解易知f(x)的定义域为(0，)， 当a1时，f(x)xlnx， 令f(x)0，得x1. 当0 x0； 当x1时，f(x)0，得0 x1，令y0，得1x2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.已知函数f(x)2lnxax23x在x2处取得极小值，则f(x)的极大值为 A.2B. C.3ln2D.22ln2 12345678910 11 12 13 14 15 16 f(x)在x2处取得极小值， f(x)在(0,1)，(
9、2，)上单调递增，在(1,2)上单调递减， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由题中图象可知f(x)的图象经过点(1,0)与(2,0)，x1，x2是函数f(x) 的极值点， 所以1bc0,84b2c0，解得b3，c2， 所以f(x)x33x22x， 所以f(x)3x26x2，x1，x2是方程3x26x20的两根， 12345678910 11 12 13 14 15 16 5.(多选)函数yf(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则以下命题错误的是 A.3是函数yf(x)的极值点 B.1是函数yf(x)的
10、最小值点 C.yf(x)在区间(3,1)上单调递增 D.yf(x)在x0处切线的斜率小于零 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析根据导函数的图象可知当x(，3)时，f(x)0， 当x(3，)时，f(x)0， 函数yf(x)在(，3)上单调递减，在(3，)上单调递增， 则3是函数yf(x)的极值点， 函数yf(x)在(3，)上单调递增， 1不是函数yf(x)的最小值点， 函数yf(x)在x0处的导数大于0， yf(x)在x0处切线的斜率大于零. 故错误的命题为BD. 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.(多选)(2021烟台模拟)已知函数f
11、(x)，则下列结论正确的是 A.函数f(x)存在两个不同的零点 B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值 C.当ek0时，方程f(x)k有且只有两个实根 D.若xt，)时，f(x)max，则t的最小值为2 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由f(x)0，得x2x10， 当x(，1)(2，)时，f(x)0， f(x)在(，1)，(2，)上单调递减，在(1,2)上单调递增， f(1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，故B正确. 12345678910 11 12 13 14 15 16 且当x时，f(x)，x时，f(x)0， f(x)的图象如图所示， 由图知C正
12、确，D不正确. 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.函数f(x)2xlnx的最小值为_. 解析f(x)的定义域为(0，)， 1ln2 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.若函数f(x)x32cx2x有两个极值点，则实数c的取值范围为 _. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析若函数f(x)x32cx2x有两个极值点， 则f(x)3x24cx10有两个不相等的实根， 故(4c)2120， 12345678910 11 12 13 14 15 16 f(x)的最大值为f(x0)； f(x)的最小值为f(x0)； f
13、(x)在0，x0上是减函数； f(x0)为f(x)的极大值. 那么上面命题中真命题的序号是_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 因为x00，当0 x0； 当x0 x时，f(x)0，所以f(x)在0，x0)上单调递增，在(x0，上单 调递减， 所以f(x0)为f(x)的极大值且为最大值.故正确，不正确. 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.已知不等式ex1kxlnx对于任意的x(0，)恒成立，则k的 最大值为_. e1 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析x(0，)，不等式ex1kxlnx恒成立， 当x(0,1
14、)时，(x)0， (x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增， (x)min(1)e1，ke1. 12345678910 11 12 13 14 15 16 11.已知函数f(x)lnxax(aR). (1)当a时，求f(x)的极值； 12345678910 11 12 13 14 15 16 令f(x)0，得x2， 于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表. x(0,2)2(2，) f(x)0 f(x)ln21 故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值f(2)ln21，无极小值. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)讨论函数f(x)在定义域
15、内极值点的个数. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解由(1)知，函数的定义域为(0，)， 当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立， 则函数在(0，)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 12345678910 11 12 13 14 15 16 综上可知，当a0时，函数f(x)无极值点， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12.已知函数f(x)xlnx. (1)求函数f(x)的极值点； 12345678910 11 12 13 14 15 16 解f(x)lnx1，x0， 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2
16、)设函数g(x)f(x)a(x1)，其中aR，求函数g(x)在区间(0，e上的 最小值(其中e为自然对数的底数). 12345678910 11 12 13 14 15 16 解g(x)xlnxa(x1)，则g(x)lnx1a， 由g(x)0，得xea1. 所以在区间(0，ea1)上，g(x)单调递减， 在区间(ea1，)上，g(x)单调递增. 当ea1e，即a2时，g(x)在(0，e上单调递减， g(x)ming(e)aeae， 当ea1e即a0)， f(x)lnx1mex(x0)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 h(x)在(0，)上单调递减且h(1)0， 当x
17、(0,1时，h(x)0，即g(x)0，g(x)在(0,1上单调递增； 当x(1，)时，h(x)0，即g(x)0，g(x)在(1，)上单调递减， 而当x0时，g(x)，当x时，g(x)0， 若f(x)有两极值点，只要ym和g(x)的图象在(0，)上有两个交点， 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.(2019全国)已知函数f(x)2x3ax22. (1)讨论f(x)的单调性； 12345678910 11 12 13 14 15 16 解f(x)的定义域为R， f(x)6x22ax2x(3xa). 若a0，则f(x)在(，)上单调递增； 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)当0a3时，记f(x)在区间0,1的最大值为M，最小值为m，求Mm 的取值范围. 12345678910 11 12 13 14 15 16 最大值为f(0)2或f(1)4a. 12345678910 11 12 13 14 15 16 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
