1、一轮大题专练一轮大题专练 15导数（数列不等式的证明导数（数列不等式的证明 1） 1已知函数( )(cos1)sinf xaxblnxxx （1）若1a ，0b ，证明：( )f x在区间(0, )内存在唯一零点； （2）若0a ，b， （）证明：(0,) 2 x 时，( )0f x ； （）证明： 2 11 sin() (1)2 3 n i n ln nln nn （其中2n，且)nN 证明： （1）若1a ，0b ，则( )cos1sinf xxxx ，( )cosfxxx， 当(0,) 2 x 时，( )0fx，当(, ) 2 x 时，( )0fx， ( )f x在(0,) 2 上单调递
2、增，在(, ) 2 上单调递减， 又(0)0,()0,( )20 2 fff ， ( )f x在区间(0, )内存在唯一零点； （2）若0a ，b，则( )sin ,( )cossinf xlnxxx fxxxx x ， （）( )tan cossin2sinfxxxxx xx ， 令( )2sin ,(0,) 2 g xx x x ，易知( )g x在(0,) 2 上单调递增， ( )()0 2 g xg ，即( )0fx， ( )f x在(0,) 2 上单调递减， 2 ( )( )(1)0 22224 f xflnln ，即得证； （）当2n，nN时， 1 (0,) 32n ， 又 11
3、1 3nn ，故 11 sin()sin(1) 3nn ，则 1111 sin()sin(1) 3 nn nnnn ， 由（）知，(0,) 2 x 时，sinxxlnx， 令 1, 2,3,4, k xkn k ， 11111 sin()sin(1) 3 nnn ln nnnnn ， 313 414 sin(),sin(), 2322 3333 lnln ， 111 sin() 3 nn ln nnn ， 以上各式相加得， 314111341 sin()sin()sin()() 232333323 nn lnlnln nnn ， 即 2 111 sin() 32 n i nn ln nn ，即
4、 2 11 sin() (1)2 3 n i n ln nln nn ，即得证 2已知函数( )(1)f xxlnx （1）求曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程； （2）求证： 2 * 2 27(2)23 (2,) 1632 lnlnln n nnN nn 解： （1）函数( )(1)f xxlnx，f（1）0， 1 ( ) x fxlnx x ，f（1）2， 曲线( )yf x在1x 处的切线方程为：02(1)yx， 2(1)yx； （2）证明：令( )(1)2(1)h xxlnxx，(0,)x， 则 11 ( )21( ) x h xlnxlnxu x xx ， 22 11
5、1 ( )0 x u x xxx ， 函数( )u x在(1,)x单调递增， ( )( )h xu xu （1）0， 函数( )h x在(1,)x单调递增， ( )h xh（1）0 当1x 时：(1)2(1)xlnxx， 令 2 2xn，则化为： 2 22 (2)211 3111 ln n nnnn ， 21 1 13 ln ， 711 624 ln ， 1411 1235 ln ， 2 22 (2)211 3111 ln n nnnn ， 2 2 2714(2)11132 1 16123212 lnlnlnln n nnnn ，2n， * nN， 2 * 2 27(2)23 (2,) 163
6、2 lnlnln n nnN nn 3设函数 （1）若1a ，求( )f x的极值； （2）讨论函数( )f x的单调性； （3）若*nN，证明： 2222 123 (1) 234(1) n ln n n 解： （1）( )f x的定义域是(0,)， 当1a 时， 1(21)(1) ( )21 xx fxx xx ， 令( )0fx，解得：1x ，令( )0fx，解得：01x， ( )f x在(0,1)递减，在(1,)递增， ( )f xf 极小值 （1）0，无极大值 （2） (2)(1) ( )2(2)(0) axa x fxxax xx ， 当0a时，若( )0fx，则1x ，若( )0f
7、x，则01x， ( )f x在(0,1)递减，在(1,)递增； 当01 2 a 即20a 时， 若( )0fx，则0 2 a x 或1x ，若( )0fx，则1 2 a x， ( )f x在( 2 a ，1)递减，在(0,) 2 a ，(1,)递增； 当1 2 a ，即2a 时，( ) 0fx恒成立， ( )f x在(0,)上单调递增； 当1 2 a 即2a 时， 若( )0fx，则01x或 2 a x ，若( )0fx，则1 2 a x ， ( )f x在(1,) 2 a 递减，在(0,1)，( 2 a ，)递增， 综上：当2a 时，( )f x在(0,1)递增，在(1,) 2 a 递减，在
8、( 2 a ，)递增， 当2a 时，( )f x在(0,)递增， 当20a 时，( )f x在(0,) 2 a 递增，在( 2 a ，1)递减，在(1,)递增， 当0a时，( )f x在(0,1)递减，在(1,)递增 （3）由（1）知 2 ( )f xxxlnx在(0,1)递减， (0,1)x 时， 2 xxlnxf（1）0， 2 xxlnx， 令 1 n x n ，得 2 2 (1) n xx n ， 2 1 (1)1 nnn lnln nnn ，即 2 1 (1) nn ln nn ， 2 1 2 2 ln， 2 32 23 ln， 2 43 34 ln， 2 1 (1) nn ln nn
9、 ， 累加得： 2222 341123 2 23234(1) nn lnlnlnln nn ， 2222 123 (1) 234(1) n ln n n 4已知函数( )f xlnx， 2 ( )g xx （1）若不等式( )1f xax 对(0,)x恒成立，求实数a的范围； （2）若正项数列 n a满足 1 1 2 a ， 1 2 () (1) n n nn g a a a a ，数列 n a的前n项和为 n S，求证： 221 n Sn e 解： （1）不等式( )1f xax 对(0,)x恒成立， 1lnx a x 对(0,)x恒成立， 设 1 ( )(0) lnx F xx x ，则
10、2 ( ) lnx F x x ， 令( )0F x，解得01x，令( )0F x，解得1x ， 故( )F x在(0,1)递增，在(1,)递减， ( )maxF xF（1）1， a的取值范围是1，)； （2）证明：取1a ，由（1）可知1lnx x对(0,)x恒成立， 则(1)lnxx， 2 ( )g xx， 1 2 () (1) n n nn g a a a a ， 1 1 2 a ， 2 1 22 (1)1 nn n nnn aa a a aa ， 1 1111 22 nn aa ， 1 111 1(1) 2 nn aa ， 1 11 2(1)2 (1) nn nn aa ， 数列 1
11、2 (1) n n a 是常数列， 1 11 2 (1)2(1)2 n n aa ， 1 1 2 (0,1) 21 n n n a ， 1 1 11 221 (1)(1)(21)(21) 2121 nn nn nn nn alnalnlnlnln ， (Tex translation failed)， 21 2 n n S e ，221 n Sn e，原结论成立 5已知函数( )11f xlnxax ，0a （）讨论( )f x的单调性； （）证明： * 12 22() 3 34 4(2)2 lnlnlnn nN nn 解： （）由于 2 1(1 1) ( )0 2121 aax fx xax
12、x ax ， 故( )f x在 1 ,) a 上单调递减 （）证明：当2a 时，( )211f xlnxx 由（）知( )f x在 1 ,) 2 上单调递减 注意到f（1）0，则当1x 时，恒有211lnxx 取 * 1 1()xnN n ，有 12 (1)11ln nn ，即 1 (1) 11 22 ln n nnn ， 又 2(21) 2() 2(2)212 lnnlnnnnlnnlnn nnnnn ， 因此 111 (1)(1)(1) 12111111211 112 22()2(1)22 23 34 4(2)23412132411212 lnlnln lnlnlnnlnnlnnlnn n
13、 nnnnnnnnnn 6函数( )sin1f xxax （1） 1 2 a ，求( )f x的单调区间； （2）若( )cosf xx在0 x，上恒成立，求实数a的取值范围； （3）令函数( )( )1g xf xax，求证： 2382 2 ()()()() 151515155 gggg 解： （1） 1 2 a ， 1 ( )sin1 2 f xxx， 1 ( )cos 2 fxx， 当22 33 kxk ，kZ时，( )0fx， 当 5 22 33 kxk ，kZ时，( )0fx， 所以( )f x的单调递增区间是(2,2) 33 kk ，kZ， ( )f x的单调递减区间是 5 (2,
14、2) 33 kk ，kZ （2）不等式恒成立等价于cossin1 0axxx ， 令( )cossin1h xaxxx，则由 (0) 0 ( ) 0 () 0 2 h h h ，可得到 2 a ， cossin1yaxxx可以看作是关于a的一次函数，单调递增， 令 2 ( )cossin1xxxx ， 对于 2 a ，0 x ，( )( )h xx恒成立， 只需证明 2 ( )cossin1 0 xxxx 即可， 22 ( )sincos2sin() 4 xxxx ， 1当(0,) 2 x ，sincos2sin()(1,2 4 xxx ， 则 22 ( )sincos10 xxx ，( )x
15、在(0,) 2 上单调递减，又( )0 x， 所以此时( )0 x恒成立 2当 3 (, ) 4 x 时， 22 ( )sincos2sin()0 4 xxxx 恒成立； 3当 3 (,) 24 x 时， 22 ( )sincos2sin() 4 xxxx 单调递增， ()0 2 ， 3 ()0 4 ，所以在 3 (,) 24 上存在唯一的 0 x，使得 0 ()0 x， 当 0 (0,)xx时，( )0 x，当 0 (xx，)时，( )0 x， 所以( )x在 0 (0,)xx时单调递减，在 0 (xx，)时单调递增， (0)0，( )0 ， 0 ()0 x， ( )0 x恒成立，故( )( )0h xx恒成立， 2 a （3） 证明： 由 （2） 可知 2222 sincos12sin()1sin() 442 xxxxxxx ， ( )sing xx，令 415 k x ， 415 60 k x ，1k ，2，8， 可得到 2(415)22 sin(415) 1560260 kk k ， 从而 88 11 228 (1 8)2 2 sin(415)(415 8) 15606025 kk k k ， 即 2382 2 ()()()() 151515155 gggg 得证
