1、一轮复习大题专练一轮复习大题专练 23解三角形（取值范围、最值问题解三角形（取值范围、最值问题 2） 1在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin() 62 ab cA （1）求C； （2）若ABC的面积为3c，求c的最小值 解： （1）因为sin() 62 ab cA ， 所以 31 (sincos) 222 ab cAA ，由正弦定理可得sin( 3sincos)sinsinCAAAB，即 3sinsinsincossinsin()CACAAAC， 可得3sinsinsinsincosCAAAC， 又sin0A ， 所以3sin1cosCC ，即2sin()1 6 C ，可得
2、1 sin() 62 C ， 又0C， 所以 66 C ， 可得 3 C （2）由题意可得 1 sin3 23 abc ，即4abc， 由余弦定理可得 222 cos 2 abc C ab ，可得 222 1 28 abc c ， 所以 22 128 288 abccc cc ， 解得4c，0c， （舍去） ，当且仅当4ab时等号成立， 所以c的最小值为 4 2已知ABC的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，33 cossinacBbC （1）求角C的大小； （2）如图，设P为ABC内一点，1PA ，2PB ，且APBACB ，求ACBC的 最大值 解（1）33 cossinacBbC
3、 3sin3sincossinsinACBBC 3sin()3sincossinsinBCCBBC 整理得3sincossinsinBCBC 易知sin0B ，tan3C， 又C为三角形内角， 3 C （2）由（1）与APBACB ，得 2 3 APB ， 在PAB中，由余弦定理， 222 1 2cos142 1 2()7 2 ABAPPBPA PBAPB ， 又在ABC中， 2 222222 () 2cos()3()3 () 24 ACBCACBC ABACBCAC BCACBACBCAC BCACBC ， 2 7ACBC，当且仅当ACBC时取等“”所以ACBC的最大值为2 7 3ABC的三
4、个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinsin 2 AB bcB （1）求C； （2）若1c ，求 1 2 ab的取值范围 解： （1）因为sinsin 2 AB bcB ， 由正弦定理sinsinsinsin 2 AB BCB ， 因为sin0B ， 所以sinsinsin() 2 AB CAB ， 所以sin()sin2sincos 2222 CCC C ， 即cos2sincos 222 CCC ， 由C为三角形内角得cos0 2 C ， 故 1 sin 22 C ， 所以 3 C ； （2）由（1） 3 C ，1c ， 由正弦定理得 12 3 2 33 2 R ， 所以 12
5、 332 3232 3313 sinsinsin()sin(cossin)sincos 2333333223 abABBBBBBB ， 因为 2 (0,) 3 B ， 所以 1 cos( 2 B ，1)， 所以 1 2 ab的取值范围 1 (,1) 2 4在ABC中，已知角A，B，C所对边分别为a，b，c， sinsin tan coscos AB C AB （1）求角C； （2）若2c ，求ab的取值范围 解： （1）因为 sinsinsin tan coscoscos CAB C CAB ， 所以sin(coscos)cos(sinsin)CABCAB； 即sincoscossincoss
6、insincosCACACBCB， 所以sin()sin()CABC， 故CABC或()CABC， 解得2ABC或BA（舍) 又因为在ABC中，ABC， 所以60C （2） （法一）由余弦定理知 22222 2coscababCabab， 所以 22222 31 4()3()()() 44 cababababab， 所以4ab ，当且仅当2ab时等号成立 又因为a，b，c是ABC的三条边， 所以24ab ， 所以24ab （2） （法二）因为2c ，60C ， 由正弦定理， 4 3 sin3 c C ， 所以 4 34 3 sin,sin 33 aA bB 所以 4 3 (sinsin) 3
7、abAB， 4 331 (sinsin(120)4(sincos)4sin(30 ) 322 AAAAA， 因为A，B，C是ABC的三个内角，且60C 所以(0 ,120 )A， 所以30(30 ,150 )A， 所以 1 sin(30 ) 1 2 A ， 所以24ab 5在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos3sin2BB， coscos2sin 3sin BcA bcc （1）求角B的大小和边长b的值； （2）求ABC面积的取值范围 解： （1）cos3sin2BB， 13 cossin1 22 BB， sin()1 6 B ， 2 62 Bk ，kZ， B为锐角，
8、3 B ， coscos2sin 3sin BcA bcc ， 由正余弦定理可得 222222 2 223 acbabca abcabcc ， 整理可得 2 22 23 aa abcc ， 解得 3 2 b （2） 3 2 1 sinsinsin3 2 acb ACB ， sinaA， 31 sinsin()sin()cossin 322 cCABAAA ， 2 11313331 sinsin(cossin)(sincossin) 22222422 ABC SacBAAAAAA ， 3311 (sin2cos2) 8222 AA， 33 sin(2) 8616 A ， 0 2 A ，0 2 C
9、 ， 2 3 CA ， 62 A ， 5 2 666 A ， 1 sin(2) 1 26 A ， 3 ( 8 ABC S， 3 3 16 6 在 4 sinsinsinsin 3 bAaBcAB， 2 sin3 coscos3 cosbCcACaC， ()sinsinsinabAbBcC，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问 题 已知锐角ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，2c ，_ （1）求角C； （2）求ab的取值范围 解：若选 4 sinsinsinsin 3 bAaBcAB， （1）由 4 sinsinsinsin 3 bAaBcAB及正弦定理得， 4 si
10、nsinsinsinsinsinsin 3 BAABCAB，即 4 2sinsinsinsinsin 3 ABCAB， 3 sin 2 C， 又C为锐角， 3 C ； （2）ABC为锐角三角形， 0 2 2 0 32 B B ，解得 62 B ， 由正弦定理得： 24 3 sinsinsin33 2 bac BAC ， 4 324 331 sinsin()(sincossin) 33322 baBBBBB 4 3 33 ( sincos)4sin() 3226 BBB 62 B ， 2 (,) 633 B ，则 3 sin()(,1 62 B (2 3ba ，4； 若选 2 sin3 cosc
11、os3 cosbCcACaC， （1）由 2 sin3 coscos3 cosbCcACaC及正弦定理得， sinsin3cos(sincossincos)BCCCAAC， 即sinsin3cossin()BCCAC， sinsin3cossinBCCB， 0 2 B ，sin0B，可得tan3C ， 又0 2 C ， 3 C ； （2）ABC为锐角三角形， 0 2 2 0 32 B B ，解得 62 B ， 由正弦定理得： 24 3 sinsinsin33 2 bac BAC ， 4 324 331 sinsin()(sincossin) 33322 baBBBBB 4 3 33 ( sin
12、cos)4sin() 3226 BBB 62 B ， 2 (,) 633 B ，则 3 sin()(,1 62 B (2 3ba ，4； 若选()sinsinsinabAbBcC， （1）由()sinsinsinabAbBcC及正弦定理得 22 ()ab abc， 即 222 abcab， 由余弦定理得： 222 1 cos 22 abc C ab ， 0 2 C ， 3 C ； （2）ABC为锐角三角形， 0 2 2 0 32 B B ，解得 62 B ， 由正弦定理得： 24 3 sinsinsin33 2 bac BAC ， 4 324 331 sinsin()(sincossin) 33322 baBBBBB 4 3 33 ( sincos)4sin() 3226 BBB 62 B ， 2 (,) 633 B ，则 3 sin()(,1 62 B (2 3ba ，4
