1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 递推数列通项的求解策略递推数列通项的求解策略 由数列的递推公式,求数列的通项公式是高考常考的内容,但是由于数列的表现形式各异,有些数列 的递推公式比较复杂,给问题的解决带来不少困难。本文试图归纳几类较为常见的数列通项问题的求法, 给读者一些有益的启示. 1 1累加型累加型 形如形如) 1( 1 nfaa nn ,则则) 1( 1 nfaa nn ) 1 ( 12 faa,),2( 23 faa,) 1( 1 nfaa nn 以上1n个等式经累加, 得 1 1 1 )( n k n kfaa. 例例 1 1 数列 n a满足 2 1 1 a, nn aa
2、 nn 2 1 1 )2( n,求数列 n a的通项. 解:解:由 nn aa nn 2 1 1 且 2 1 1 a,得 1 1 2 1 ) 1() 1( 1 n k n kk aa,所以 n a= 1 1 ) 1 11 ( 2 1 n k kk = n 1 1 2 1 = n 1 2 3 . 2 2累乘型累乘型 形如形如) 1( 1 nfaa nn ,0 n a,则,则) 1( 1 nf a a n n 可利用) 1 ( 1 2 f a a ,),2( 2 3 f a a ,) 1( 1 nf a a n n 以上1n个等式经累乘,得)( 1 1 1 kf a a n k n ,即 )( 1
3、 1 1 kfaa n k n . 例例 2 2 数列 n a中1 1 a,且 1 2 ) 1 1 ( nn a n a)2( n,0 n a,求数列 n a的通项. 解:解:因为 2 1 1 1 na a n n ,1n个等式经累乘得 2 1 1 1 ) 1( 1 1 ka a n k n ,所以 n a ) 1( 1 1 2 1 1 1 k a n k = 1 2 1 1 1 1 k k k k n k = n n 2 1 . 3.3. 构造型构造型 (1 1)形如)形如BAaa nn 1 ,其中,其中BA,为常数且为常数且0, 0, 1BAA的构造的构造 可用待定系数法,构造一个公比为A
4、的等比数列,令)( 1 nn aAa,经整理比较 得,) 1(BA 1 A B ,从而 1 A B an是一个公比为A的等比数列. 例例 3 3 已知数列 n a满足2 3 1 1 nn aa,1 1 a,求 n a的通项公式. 解:解:设)( 3 1 1 nn aa,解之得3,则)3( 3 1 3 1 nn aa,令3 nn ab, 则数列 n b是以23 11 ab为首项, 3 1 为公比的等比数列,所以 1 3 2 n n b,所以 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 1 3 2 3 n n a. 评析:评析:把 n a作为一个整体,求,通过求3 n a的通项,间接的求 n a的通
5、项公式. 若1A,则可以用累加法直接求通项. (2 2)形如)形如 1 n nn aAab ,且,且0, 0bA型的构造型的构造 可变形成1 1 1 n n n n b a b A b a ,令 n n n b a c ,则1 1 nn c b A c, (此问题就转化成BAaa nn 1 的模型求解). 例例 4 4 已知数列 n a满足 1 42n nn aa , 1 4a ,求 n a的通项公式. 解解:原式变型为 1 1 21 22 nn nn aa ,令 2 n n n a b ,则 1 21 nn bb (此问题就转化成BAaa nn 1 的模型),解之得: 21 22 nn n
6、a . 评析评析:等式两边同除以2n,要注意 n a的下标与指数变量同步,即: n a与2n, 1n a 与 1 2n,将问题转 化到BAaa nn 1 模型求解. (3 3)nAaa nn 1 ,且,且0A型的构造型的构造 可用待定系数法构造 )1( 1 naAna nn ,然后经整理比较nAaa nn 1 得出 1 , 1 1 A A A ,从而转化为BAaa nn 1 型的构造. 例例 5 5 已知数列 n a满足naa nn 1 2,2 1 a,求 n a的通项公式. 解:解:设 1 21 nn anan ,解之得1,2 , 则212 1 nana nn ,令nab nn ,则22 1
7、 nn bb(此问题就转化成 BAaa nn 1 的模型),解之得:22 1 na n n . 评析:把nan作为一个整体,要注意 n a的下标与一次变量同步,即: n a与n, 1n a与1n,将 问题转化到BAaa nn 1 的模型求解. 类型类型(1)(2)(3)(1)(2)(3)也可归纳到也可归纳到0),( 1 AnfAaa nn 这类问题中,则还可通过同除这类问题中,则还可通过同除 n A,变形为,变形为 0, )( 1 1 A A nf A a A a nn n n n ,令,令 n n n A a b ,得,得 n nn A nf bb )( 1 ,再通过累加得,再通过累加得 高
8、中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 1 1 1 1 ) 1( n i i n A if bb. (4 4)形如)形如) 1, 0, 0( 1 kkQkmmaa k nn 的构造的构造 可两边取对数得maka nn lglglg 1 ,令 nn ablg,得mbkb nn lg 1 ,所以该问题转化到 BAaa nn 1 模型求解. 例例 6 6 数列 n a中,1 1 a, 3 1 2 nn aa,求 n a 解:解:显然0 n a,对 3 1 2 nn aa的两边同时取以2为底的对数得1log3log 122 nn aa, 令 nn ab 2 log,则13 1 nn bb, (此问题就
9、转化为BAaa nn 1 模型),解之得: )13( 2 1 1 2 n n a. 评析:评析:由于数列 n a是冪型数列,通过取对数将递推关系式转化为qpaa nn 1 的模型, 若1k,可以用累乘法求通项. 例例 7 7 已知数列 n a与 n b有如下关系:, 2 1 a), 1 ( 2 1 1 n nn a aa 1 1 n n n a a b, 求数列 n a和 n b的通项公式. 解:解:有已知得 22 1 1 1 ) 1 1 ( 1) 1 ( 2 1 1) 1 ( 2 1 1 1 n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b ,且0, 3 1 n
10、 bb. 即 2 1nn bb ,取对数得 nn bblg2lg 1 ,即数列lg n b是首项为3lg,公比为2的等比数列. 3lg2lg 1 n n b,于是 1 2 3 n n b,从而 13 13 1 1 1 1 2 2 n n n n n b b a. 评析评析: 虽然数列 n a不是冪型数列, 但由此构造的数列 n b是一个冪型, 所以可以先求出数列 n b的 通项公式,再求数列 n a的通项公式. (5 5)其它一些常见类型的构造)其它一些常见类型的构造 例例 7 7 数列 n a满足1) 1( 1 nn anna,且1 1 a,求数列 n a的通项. 解:解:将原式两边同时除以
11、) 1( nn,变形为 ) 1( 1 1 1 nnn a n a nn . 令 n a b n n , 则 ) 1( 1 1 nn bb nn (即可化为用累加方法求解),解之得: 12 nan. 评析:评析:通过同除) 1( nn,将递推关系式转化为累加型通项求法. 例例 8 8 已知各项都是正数的数列 n a满足 2 3 1 a,)4( 2 1 1nnn aaa ,求数列 n a的通项公式. 解:解:由已知得, 2)2( 2 1 2 1 nn aa令 nn ba 2,则有 2 11 2 1 , 2 1 nn bbb . 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 , 20, 0 1 nn aa又20 1 a,20 n a,从而0 n b. 取对数得2lglg2lg 1 nn bb,令 nn bclg,得2lg2 1 nn cc (此问题就转化为BAaa nn 1 模型),解之得: n n b 21 2 评析评析: 数列 n a是一个二次递推数列,虽然不是基本冪型,但由它可以构造一个新的冪型数列 n b, 通过求 n b的通项公式而达到求数列 n a通项公式的目的.