1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 复数问题的处理策略复数问题的处理策略 数的扩充，带来了复数的引入，从而解决了我们所遇到的一些新问题下面举例来谈谈复数问题的处 理策略 一、数形结合 例 1、若1 21 zz且2 21 zz，求 21 zz 分析：由已知条件不难联想到本题所隐含的“形”是 12 zz和 21 zz 是以 1 OZ 和 2 OZ 为两邻边的 平行四边形的两条对角线的长 解：如图 1 所示，由1 21 zz，2 21 zz知四边形为正方形故另一条对角线长 2 21 zz 点拨：这样巧妙地以形译数，数形结合不需要计算就解决了问题，充分显示了数形结合的思想方法在 解题中的作用 例
2、 2、若复数53 iz，求2z的最大值和最小值 分析：利用复数的几何意义求最值 解：如图 2，满足53 iz的复数z所对应的点是以3 , 0C为圆心，5为半径的圆2z表示复 数z所对应的点Z和点0 , 2A的距离，由题设z所对应的点在圆周上，而此圆周上的点到点A距离的最 大值与最小值是过A的圆的直径被A点所分成的两部分 133002 22 AC， 1352,1352 minmax zz 点拨：利用复数的几何意义解题，形象直观，提高数形结合的解题能力 二、待定系数法 例 3、已知, x y为共轭复数，且 2 ()346xyxyii，求, x y. 分析：解决此类问题的基本方法是设复数的代数形式，
3、化虚为实. 解：设(xabi a、)bR，则yabi，代入原式，得 222 (2 )3()46aab ii， y x O Z1 Z1+ Z2 Z2 y x O A B C 图 1图 2 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 根据复数相等得 2 22 44, 3()6, a ab 解得 1, 1; a b 或 1, 1; a b 或 1, 1; a b 或 1, 1; a b 所求复数为 1, 1; xi yi 或 1, 1; xi yi 或 1, 1; xi yi 或 1, 1. xi yi 点拨：利用复数相等实现了复数问题向实数问题的转化，体现了转化思想. 例 4、已知|2| 2z ，且
4、 4 zR z ，求z. 解：设(zabi a、)bR，则|(2)| 2abi. 依题意，得 222222 44()44 ()()()() abiab abiabiabi abiababab . 4 zR z , 22 4 (1)0b ab . 由、，得 22 0, (2)2; b ab 或 22 22 4, (2)2. ab ab 解得 0, 0 a b （舍） ； 4, 0; a b 或 1, 3; a b 或 1, 3. a b 123 4,13 ,13zzi zi . 三、取模法 例 5、已知| 2zzi，求|z. 解：由题设知2 |zzi ,两边同时取模，得 2 |(2 |)1zz,
5、 平方，得 22 |44|1zzz. | |zz,4| 5z, 5 | 4 z , 5 | 4 z. 点拨：显然，上述两边取模的方法从整体的角度来处理，比利用复数相等的充要条件来处理要简捷得 多. 例 6、已知z、为复数，(1 3 ) i z为纯虚数， 2 z i ，且| 5 2，求. 分析：设(zabi a、)bR，利用复数为纯虚数的充要条件求得z，再代入求. 解法 1：设(zabi a、)bR，则(1 3 )3(3)i zabab i.由题意，得30ab. |5 2 2 z i , 22 |5 10zab. 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 将3ab代入，解得15a ,5b .故
6、15 (7) 2 i i i . 解法 2：由题意，设(1 3 ),0i zki k，且kR，则 (2)(1 3 ) ki ii . | 5 2,50k .故(7) i . 四、方程思想 例 7、在复数范围内解方程 2 3 |() 2 i zzz i i （i为虚数单位）. 解：原方程化简为 2 |()1zzz ii . 设(zxyi x、)yR，代入上述方程得 22 21xyxii , 22 1, 21. xy x 解得 1 , 2 3 . 2 x y 原方程的解是 13 22 zi . 点拨：本题主要考查复数方程等知识，一般是设出代数形式，利用复数相等的充要条件转化为代数方 程. 例 8、
7、已知 2 (3)(1) ,8Mabi，集合 2 3 ,(1)(2) Ni abi同时满足MNM， MN ，求整数, a b. 解：依题意得： 2 (3)(1)3abii， 或 2 8(1)(2)abi， 由得，3,2ab ，经检验，3,2ab 不合题意，舍去. 3,2ab . 由得，3,2ab ，又3,2ab . 3,2ab . 综合、得3,2ab 或3,2ab . 点拨：此题中复数之间的等量关系并未直接给出，而是通过集合之间的关系间接给出，因此复习时应 注意知识之间的相互联系，解题时应注意思维的广阔性和严谨性的训练. 五、转化思想 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 例 9、当实数m为
8、何值时， 2 2 6 (56) 3 mm zmmi m . （1）为实数； （2）为虚数； （3）为纯虚数； （4）复数z对应的点在复平面的第二象限内. 分析：根据复数的有关概念的定义，把此复数的实部与虚部分离开，转化为实部与虚部分别满足定义 的条件这一实数问题去求解. 解： （1）若z为实数，则 2 560, 30, mm m 得2m . （2）若z为虚数，则 2 560mm，且30m，得2m ，且3m 且mR. （3）若z为纯虚数，则 2 2 6 0, 3 560 mm m mm 得3m . （4）若复数z对应的点在第二象限，则 2 2 6 0, 3 560 mm m mm 3,23, 3
9、,2. mm mm 或 或 3,23mm 或. 点拨：本题考查复数集中各数集的分类及复数的几何意义，本题中给出的复数采用的是标准的代数形 式，若不然，则应先化为代数形式再依据概念求解. 例 10、计算： （1） 3 ( 22 ) (45 ) (54 )(1) ii ii ； （2） 8 313 () 22 ii . 分析： （1）将45i化为(54 ) i i，使分子、分母可以约分，简化了运算. （2）找到括号内两个复数之间的内在联系： 313 () 22 ii i 是简化运算的关键. 解： （1）原式= 342 2 2 2 2(1) (54 )2 2(1)2 2(1) 2(2 )4 2 (5
10、4 )(1)(1)(1)2 ii ii iii i ii iiii ； （2）设 13 2 i ，则 3 1， 3 2 i i . 原式= 888 ()(1)ii= 6242 (2 )16i= 2 13 16()88 3 22 ii . 点拨： （1）复数abi与bai及bai 有如下关系：bai=() ()abii ， bai =()abii本例的两个小题都运用了上述关系，达到了简化运算的目的. （2）分子分母同乘以1 i，使分母实数化，也是常用的化简技巧. 六、分类讨论 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 例 11、已知 2 86zi，求 3 100 16zz z . 分析：如果由题
11、设求86i的平方根z，再代入计算，则会很复杂，所以可以先对所求式子进行变换， 需要什么，再由已知条件求什么. 解：原式= 42222 2 16100(8)164(6 )164200200200 | zzzizz zzzzzzz ， 22 | |86 | 10zzi， 又由 22 86 (3)zii ，得(3)zi ， 3zi 或3zi 当3zi时，原式= 200 (3) 6020 10 i i . 当3zi 时，原式= 200 ( 3) 6020 10 i i . 综上，原式=6020i或6020i. 点拨： （1）求一个数的平方根有两个基本方法：设出代数形式，然后根据复数相等的充要条件求解；
12、 配方，如上例中的解法. （2）对于条件求值问题，何时使用条件，应根据问题而定，一般情况下，应先化简再求值. 例 12、已知复数z满足|4| |4 |zzi且 14 1 z zR z ，求z的值. 分析：确定一个复数需且仅需两个实数a、b，而题目恰给出了两个独立条件，采用待定系数法可求 出a、b确定z. 判断一个复数是否为实数除用定义外，还可用zRzz，可使运算简化. 解：设(zxyi x、yR） ， 14 1 z zR z ， 1414 11 zz zz zz ， 即 13 ()10 (1)(1) zz zz ， 解得zz或 2 |1|13z 将zxyi代入|4| |4 |zzi，可得xy， zxxi 当zz时，即zR，则有0 x ； 当 2 |1|13z 时，即有 2 60 xx，则有3x 或2x . 综上所述，0z 或33zi或22zi . 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 点拨：注意熟练运用共轭复数的性质，其性质有：| |zz，2zza，2zzbi， 22 |z zzz， 12 zz 12 zz， 12 zz 12 zz， 11 2 22 (0) zz z zz .
