1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 关于高等数学教学中融入数学建模思想的探讨关于高等数学教学中融入数学建模思想的探讨 论文摘要：数学建模的思想就是用数学的思路、方法去解决实际生产、生活当中所遇 到的问题。当前高等数学教学的一个很大的缺陷就是“学”和“用”脱节。把数学建模的思想溶入到教学 中去是一个解决问题的很好的方法。 一、数学建模在高等数学教学中的重要作用 数学是在实际应用的需求中产生的,要解决实际问题就必需建立数学模型,即数学建模。数学建模是指 对现实世界的一些特定对象,为了某特定目的,做出一些重要的简化和假设,运用适当的数学工具得到一个 数学结构,用它来解释特定现象的现实性态,预测
2、对象的未来状况,提供处理对象的优化决策和控制,设计 满足某种需要的产品等。从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如,欧几里德几何就是一 个古老的数学模型,牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天,数学以空前的广度和深度向其 它科学技术领域渗透,过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化,数量化,需建立大量的数学模 型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起,计算机的普及和广泛应用,数学在许多高新技术上起着十分关键 的作用。因此数学建模被时代赋予了更为重要的意义。 二、数学建模思想在高等数学教学中的运用 高等数学教学的重点是提高学生的数学素质,学生的数学素质主要体现为:抽象思维和逻辑推理的能
3、力;如今在一些教材中也渐渐的补充了与实际问题相对应的例子,习题。如:人大出版社中的第四章第八节 所提到的边际分析与弹性分析,以及几乎各种教材中对于函数极值问题的实际应用的例子。其实这就是实 际应用中的一个简单的建摸问题。但仅仅知道运算还是不够的,我们还要从具体问题给出的数据建立适用 的模型。下面我们就具体的例子来看看高等数学对经济数学的应用。例:有资料记载某农村的达 到小康水平的标准是年人均收入为 2000 元,据调查该村公 400 人,其中一户 4 人年收入 60 万,另一户 4 人 20 万,其中 70%的人年收入在 300 元左右,其余在 500 左右。 对于该村是否能定位在已经达到了小
4、康水平呢。 首先我们计算平均收入:60万,20万各一户共8人,300元共40070%=280人,500元共400-288=112人。 平均收入为元 从这个数据我们可以看出该村的平均收入超过 2000 元,所以认为达到了小康水平,但我们在来看一下 数据,有 99.5%的人均收入低于 2000 千,所以单从人均收入来衡量是不科学的,那么在概率论中我们利用人 均年收入的标准差 a 来衡量这个标准。 我们可以看出标准差是平均水平的六倍多,标准差系数竟超过 100%,所以我们不能把该村看作是达到 了小康水平。因此我们要真正的把高等数学融入到实际应用当中是我们高确良等教育的一个重点要 改革的内容。为了在概
5、念的引入中展现数学建模,首先必须提出具有实际背景的引例。下面我们就以高等 数学中导数这一概念为例加以说明。 （1）引例 模型 I:变速直线运动的瞬时速度 1、提出问题:设有一物体在作变速运动,如何求它在任一时刻的瞬时速度? 2、建立模型 分析:我们原来只学过求匀速运动在某一时刻的速度公式:S=vt 那么,对于变速问题,我们该如何解决 呢?师生讨论:由于变速运动的速度通常是连续变化的,所以当时间变化很小时,可以近似当匀速运动来对 待。 假设:设一物体作变速直线运动,以它的运动直线为数轴,则在物体的运动过程中,对于每一时刻 t,物体 的相应位置可以用数轴上的一个坐标 S 表示,即 S 与 t 之间
6、存在函数关系:s=s(t)。称其为位移函数。设在 t0 时刻物体的位置为 S=s(t0)。当在 t0 时刻,给时间增加了t,物体的位置变为 S=(t0+t):此时位移改 变了S=S(t0+t)-S(t0)。于是,物体在 t0 到 t0+t 这段时间内的平均速度为：v=当t 很小时,v 可作 为物体在t0时刻瞬时速度的近似值。 且当t越小,v就越接近物体在t0时刻的瞬时速度v,即vt0=(1) 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 式； (1)即为己知物体运动的位移函数s=s(t),求物体运动到任一时刻t0时的瞬时速度的数学模型。 模型 II:非恒定电流的电流强度。己知从 0 到 t 这段时
7、间流过导体横截面的电量为 Q=Q(t),求在 t0 时 刻通过导体的电流强度?通过对此模型的分析,同学们发现建立模型 II 的方法步骤与模型 I 完全相同,从而 采用与模型 I 类似的方法,建立的数学模型为:It0=要求解这两个模型,对于简单的函数还容易计算,但 对于复杂的函数,求极限很难求出。为了求解这 两个模型,我们抛开它们的实际意义单从数学结构上看,却具有完全相同的形式,可归结为同一个数学 模型,即求函数改变量与自变量改变量比值,当自变量改变量趋近于零时的极限值。在自然科 学和经济活动中也有很多问题也可归结为这样的数学模型,为此,我们把这种形式的极限定义为函 数的导数。 （2）导数的概念
8、 定义:设函数 y=f(x)在点 x0 的某一领域内有定义,当自变量 x 在 x0 处有增量x 时,函数有相应的增 量y=f(x0+x)-f(x0)。如果当x0 时yx 的极限存在，这个极限值就叫做函数 y=f(x)在 x0 点的 导数。即函数 y=f(x)在点 x0 处可导,记作 f(x0)或 f|x=x0 即 f(x0)=。有了导数的定义,前面两个问 题可以重述为:(1)变速直线运动在时刻 t0 的瞬时速度,就是位移函数 S=S(t)在 t0 处对时间 t 的导数。即 vt0=S(t0)。(2)非恒定电流在时刻 t0 的电流强度,是电量函数 Q=Q(t)在 t0 处对时间 t 的导数。即
9、It0=Q(t0)。 如果函数 y=f(x)在区间(a,b)内每一点都可导,称 y=f(x)在区间(a,b)内可导。这时,对于(a,b)中的每 一个确定的 x 值,对应着一个确定的导数值 f(x),这样就确定了一个新的函数,此函数称为函数 y=f(x)的 导函数,记作 y或 f(x),导函数简称导数。显然,y=f(x)在 x0 处的导数 f(x0),就是导函数 f(x)在 点 x0 处的函数值。由导函数的定义,我们可以推导出一系列的求导公式,求导法则。(略)有了求导公式,求 导法则后,我们再反回去求解前面的模型就容易得多。 现在我们就返回去接着前面模型 I 的建模步骤。 3、求解模型:我们就以
10、自由落体运动为例来求解。设它的位移函数为 s=gt2，求它在 2 秒末的瞬时速 度？由导数定义可知：v(2)=S(2)=*2gtlt=2=2tg 4、模型检验:上面所求结果与高中物理上所求得的结果一致。从而验证了前面所建立模型的正确 性。 5、模型的推广:前面两个模型的实质,就是函数在某点的瞬时变化率。由此可以推广为:求函数在某一 点的变化率问题都可以直接用导数来解,而不须像前面那样重复建立模型。除了在概念教学中可以浸透数 学建模的思想和方法外,还可以在习题教学中浸透这种思想和方法。在这里就不一一列举。 通过数学建模的思想引入高等数学的教学中,其主要目的是通过数学建模的过程来使学生进一步熟悉 基本的教学内容,培养学生的创新精神和科研意识,提高学生应用数学解决实际问题的思想和方法。
