2019版人教A版数学选择性必修第三册教师用书-免费下载.pdf

普通高中教科书 教师教学用技 人民教育出版社课程教材研究所l 编著 中学数学课程教材研究开发中心 人必是以J钱家主 版 主编：章建跃 李增沪 副主编：李勇李海东 李龙才 册主编：程海奎 编写人员：王蝶章建跃自涛程海奎金克勤 张唯一 张淑梅 李增沪 张伟 责任编辑：张唯一 美术编辑：王俊宏 图书在版编目（ CIP）数据 普通高中教科书教师教学用书 数学：选择性必修 第三册：A版人民教育出版社课程教材研究所中学数 学课程教材研究开发中心编著 一北京：人民教育出版社，2020.6 ISBN 978-7-107-34791-7 I . 普II . 人E中学数学课高中教学参考资料N.633 中同版本图书馆ClP数据核字（2020）第127907号 普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第册 出版发行 、.,t,., A !f/J民主韭 （北京市海淀区中关村商大街 17 号院l号楼邮编：100081) 网址 http：、 ，生二 叉 r: 销全国新华书店 印刷唐山市润丰印务有限公司 版 次2020年6月第l版 印 次2020年8月第l次印刷 开本890毫米1240毫米，1/16 印张 14.25 字数 342千字 定 价44.70元 版权所有未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分违者必究 4”Ll.iTfil.-1-噜哇可r仨岳王王R口四百r:n冯主E号t主且；：；ur而主是牛ll瓦多7由主事二 AN 01( 700 说fJJl 普通高中教科书数学（人教A版）， 是以教科书为基础的系列化教材， 包括基本教材和 配套教学资源基本教材是教科书和教师教学用书；配套教学资源包括同步解析与测评、数学欣 赏丛书、人教数字教材、教科书配套光盘、教师用书配套光盘等 普通高中教科书数学（人教A版） 是根据教育部制定的普通高中数学课程标准 (2017年版）（以下简称标准（2017年版） ）编写的全套书分为必修和选择性必修， 其 中必修两册（8学分）， 选择性必修三册（6学分）， 内容包括标准（2017年版）规定的必修 课程和选择性必修课程的所有内容， 教科书突出函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动 与数学探究活动四条主线， 在体系结构的设计上力求反映这些内容之间的联系与综合， 使它们成 为个有机的整体其中数学建模活动设置在与现实联系更加紧密的函数、概率与统计等主题 中；数学探究活动设置在数学知识的交汇点上；数学文化融入在正文内容之中， 并以 “文献阅读 与数学写作”等方式提出具体学习要求 本套教科书在体例安排上有如下特点： 1.每章开始均用反映本章主要内容的章头图和章引言引人本章内容， 使学生了解本章内容 的概貌， 了解本章的主要思想方法和学习方法， 既可供学生预习用， 也可作为教师导人新课的 材料 2.正文以研究一个数学对象的基本套路为依据， 以 “问题引导学习” 为指导， 根据需要安 排 “观察”“思考”“探究”“归纳” 等栏目， 或穿插一些开放性的问题， 以激发学生的创新思维、 引导学生的数学活动 内容展开过程中注重 “类比” “归纳” “特殊化”“一般化” 等逻辑方法的 使用， 促使学生开展主动学习， 在落实 “四基” 的过程中， 培养学生的数学学科核心素养 3.正文的边空设有 “贴士” 和 “思考”，“贴土” 介绍与正文内容相关的背景知识，“思考” 中是些有助于理解正文的问题 4.适当安排了 “阅读与思考”“探究与发现”“信息技术应用” 等选学栏目， 为加深学生对 相关内容的认识、扩大学生的知识面、运用信息技术学习等提供资源 5.每章安排了 “小结”， 包括本章的知识结构和对本章内容的回顾与思考“本章知识结构” 以框图形式体现了本章知识要点、发展脉络和相互联系； “ 回顾与思考 ” 对本章主要内容及其反 映的思想和方法进行提炼与概括， 并通过在重点、难点和关键点七提出的有思考力度的具体问 题， 深化学生对本章核心内容及其反映的数学思想和方法的理解 6. 本书的习题分为练习、习题、复习参考题三类 练习供课上使用， 有些练习是对所学内 容的巩固， 有些练习是相关内容的延伸；习题供课肉或课外作业时选用；复习参考题供复习全章 时选用其中习题、复习参考题按照题目的功能分为 “复习巩固”“综合应用”“拓广探索” 三个 层次 这套教师教学用书与普通高中教科书数学 （人教A版）相对应， 供教师教学时参考 使用 本套书中中学数掌及主主教掌”是对中学数学内容及其教学的整体刻画与描述类似于知 识逻辑框图，按照 “数、量及其运算”“空间形式” “数形结合”等线索展开，展示它们之间的相 互联系；结合 “ 四基” “ 四能”的教学，分析了培养数学学科核心素养的策略与方法 希望这一 内容对广大教师从整体上理解中学数学的内容及有效地将数学学科核心素养落实子课堂有所 帮助 本套教师用书按相应教科书的顺序安排了总体设计、教科书分析、习题解答、教学设计案 例、评价建议与测试题五部分内容 I.总体设计是对全章进行的概括性介绍，重点说明本章的设计思想包括本章概述、本章 学习目标、本章知识结构框图、内容安排、课时安排、本章编写思考、本章教学建议等内容 1)本章概述说明本章内容的定位以及本章编写的指导思想，包括本章的核心内容、思想方 法以及重点培养的数学核心素养 (2）本章学习目标说明学生通过学习本章内容应达到的要求，突出 “ 四基 ”“ 四能 ” 目标领 域的阐述，把数学学科核心素养的培养目标融入知识、技能、能力等目标中表述时还关注了目 标的可测性，努力体现目标的 “导学”“导教” “导测评 ” 的副能 (3）本章知识结构框图展示了本章知识的逻辑关系以及发展线索，以利于教师从整体上把握 本章知识发生发展的脉络 (4）内容安排在从整体上对本章内容的地位作用、处理方法进行介绍的基础上，按照全章内 容的编排顺序阐述各节内容要点及其逻辑关系，引导教师体会 “数学地认识和解决问题的方法” 在此基础上，概述本章的核心内容及其反映的数学思想和方法，并由此阐述本章内容的重点、 难点 (5）课时安排根据教科书的具体内容提出课时分配的建议，教师叮以根据自己的教学实际进 行调整 (6）本章编写思考从编写者角度出发，阐释编写本章时重点关注的问题，体现本章内容、思 想方法的核心，并利用典型事例，在如何挖掘本章内容蕴含的育人资源，以有效培养学生的数学 学科核心素养上作出说明对变化较大的内容，结合具体内容给出 “为什么如此变化” 的说明， 以帮助教师理解变化的意图 (7）本章教学建议从教师教和学生学两方面给出本章的教法和学法建议 关注木章的核心内 容和思想方法的教学，对学生学习以及教师如何引导学生学习做出分析，并给出教学建议结合 本章的典型内容，以 “ 囚基 ”“ 四能”为载体，给出了落实有关核心素养的具体建议 其中特别 注意从 “一般观念” 的层次，即如何构建本章的研究路径，如何51导学生发现和提出本章的核心 问题，如何使学生想到研究方法等方面给出教学建议，以使数学基本思想的领悟和基本活动经验 的积累得到落实 2.教科书分析以教科书的节为单位，按照教科书顺序展开分析，着重说明教科书编写意图， 并提出具体的教学建议，以利于教师准确把握相关内容内容包括本节知识结构框图，重点、难 点，教科书编写意图及教学建议三部分 (1）本节知识结构框图讲述本节知识点及其发生发展过程和逻辑关系，说明学习本节知识内 容时，涉及的前后相关知识 (2）重点是指本节中的核心概念及其蕴含的数学思想和方法难点主要指学生在学习过程中 可能遇到的困难和问题，特别是在理解概念（原理）的过程中可能出现的问题 (3）教科书编写意图及教学建议对 “教科书为什么这样写” 进行分析结合教科书中的案 例，阐述学习本节内容应具备的知识基础，如何理解内容的本质以及知识中蕴含的数学思想和方 法，创设情境所选素材的意图，如何提出有数学含金量的问题，如何引导学生开展数学探究活 动，如何突破重点、难点等，以及激发学生学习兴趣、渗透能力培养，进而有效落实数学学科核 心素养的培养等 教科书编写意图及教学建议对教师如何引导学生学习进行分析，从教科书编写者的角度结合 具体内容给教师提出切实可行的建议例如针对某个内容如何设问，学生可能会出现哪些理解 上的困难，应当如何化解，可以从哪些方面进行类比、联想、推广，要注意哪些数学思想方法的 应用等 3.习题解答给出了教科书练习、习题、复习参考题的参考答案对于其中的综合性问题， 给出了完整的解答步骤或解题思路 4.教学设计案例选取了一些具有典型性、教学难度大及新增知识给出教学设计，特别是给 出了一些典型的单元教学设计设计框架包括内容和内容解析、日标和目标解析、教学问题诊断 分析、教学支持条件分析、教学过程设计、目标检测设计等几方面 (1）内容和内容解析 “内容” 是对当前教学内容的内涵和外延所作的简要说明 “内容解 析”是对教学内容的本质、内容蕴含的数学思想和方法、知识的上下位关系、内容的育人价值 （着重在数学学科核心素养的发展）的分析 在此基础上，阐明本节课（单元）的教学重点 (2）日标和目标解析 “ 目标”是指通过本节课（单元）教学要达到的目标，指向学生的变 化，一般用 “了解” “理解 ”“ 幸握 ” 以及有关行为动词 “ 经历 ”“体验”“探究” 等表述 “目标 解析”是与目标对应的，是从可达成、可操作、可检测等角度对 “了解”“理解”“掌握” 以及 “经历” “体验” “探究” 的含义作出解析 目标和目标解析注意过程与结果的融合、隐性目标与 显性目标的融合 (3）教学问题诊断分析是设计者根据教学经验、数学内在的逻辑关系以及思维发展理论，对 本内容在教与学中可能遇到的障碍进行预测，并对出现障碍的原因进行分析.=C！A.最后，“同样地” 将获得 上述等式的方法推广到一般情形，得到组合数公式 ( 2）从不同角度看问题，灵活转换如何得出等式A!=C！码，既是组合数公式推导的关 16 I普通高中教科书教师教学周书 数学选择性必修第三册 键，也是教学难点虽然以 “元亲相同” 分组，可以求得c；，町等组合数，但是很难得到一般 的公式，这就需要 “一条路走不通时，寻找另一条路”事实上，在数学上，这是很普遍的，而 且也由此产生r许多新思想、新方法在教学中，重点是引导学生转换角度来重新分析己有结 果，即 “还可以怎样理解” 求解的过程，获得新的推理方法 卜事实上， “从不同角度看问题” 不仅可以解决求组合数的教学难点，它也可以解决本章很多 学习难点这是因为计数问题一般都涉及实际背景，有一个数学化的过程，这个过程中容易出现 理解上的错漏，而且分类或分步过程中都街可能产生重复或遗漏的情况但是从不同角度思考； 对二个问题给出不同的解决方法，既可以加深对问题本质的理解，又可以检验解答是否正确，而 且对于培养学生思维的灵活性，提高他们分析和解决问题的能力等都是十分有利的 3.关注原理，淡化技巧 在标准（2017年版）中，关于计数原理的教学，要求 “结合具体情境，引导学生理解 许多问题可以归结为分类和分步两类问题，引导学生根据计数原理分析问题、解决问题”；关于 计数原理的学习，要求 “能解决简单的实际问题，特别是概率中的某些问题”因此，教科阳始 终把两个计数原理的理解放在突出位置，并给学生提供辨别容易混淆的概念、用不同思路分析和 解决问题的机会在教学中，一是要把握好这种定位，避免在技巧和难度上做文章；二是要让学 生意识到原理的重要性，往往很多时候，无法直接套用公式时，需要回归到原理本身来分析问题 和解决问题 第六章计数原理17 教科书分析 章引言及童头图 章引言有如下几方面的意图： 一是引导学生认识现实中的计数问题普遍存在，学习一些计数 知识是非常必要的，同时通过引言中这几个有趣的、对学生的智力有一定挑战性的问题，激发他 们学习本章的兴趣；二是概述了研究计数问题的总体思路，即 “如何能不通过一个一个地数而确 定出这个数 ”，重在探究解决计数问题的基本原理而不是技巧 ；三是明确了本章要学习的主要 内容 引言的教学要注意贯彻教科书的上述三个意图另外，教学中还要注意引导学生通过类比加 法与乘法的关系，体会引进乘法运算是为了实现 “简便、快捷地运算” 这一最原始的想法，从而 使学生明确研究计数原理的最基本的指导思想当然，只有通过本章的学习和训练才能使学生理 解这个思想并运用自如，所以对它应点到为止，不一定苦细展开 6. 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一、本节知识结构框图 实际问题实际问题 分类力口法计数原理 分步乘法计数原理 二、重点、难点 重点：归纳得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能应用它们解决简单的实际问题 难点：正确理解 “完成一件事情” 的含义；根据实际问题的特征，正确地区分 “分类” 或 “ 分步 ” 三、教科书编写意图及教学建议 两个计数原理是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律它们不仅是推导排列 数、组合数计算公式的依据，而且其基本思想和方法贯穿本章内容的始终事实上，从思想方法 的角度看，运用分类加法计数原理解决问题就是将一个复杂问题分解为若干 “类别” 然后各个 18 I普通高中教科书教师教学用书 数学选择性必修第三册 击破，分类解决；运用分步乘法计数原理则是将一个复杂问题的解决过程分解为若干 “步骤”， 先对每一个步骤进行细致分析，再整合为一个完整的过程这样做的目的都是分解问题、简化问 题因为排列、组合及工项式定理的研究都是作为两个计数原理的典型应用而设置的，所以理解 和掌握两个计数原理是学好本章内容的关键 I.两个计数原理应真数学 (1）两个计数原理近乎于常识，学生对原理本身的理解难度不大困难在于其应用需要 根据具体问题的背景选择相应的原理，对问题的背景分析往往有困难，同时还需要通过一定的技 巧对问题进行转化，这也是困难的特别是综合应用两个计数原理解决问题时，学生常常会在该 用哪个原理、该如何分解不同情况、如何合理安排计数步骤、如何避免重复计数等方面感到困 难因此，本节采取先通过典型的、学生熟悉的实例（座位编号问题） ，经过抽象概括而得出两 个计数原理，然后按照从单一到综合的方式，安排比较多的例题，引导学生逐步体会两个计数原 理的基本思想及其应用方法 值得注意的是，教科书对两个计数原理的定义中，分别只涉及 “两类方案” 和 “两个步骤”， 而把含有 “ 类方案”和 “n个步骤” 的问题作为计数原理的推广，用探究的方式，让学生自己 去思考研究这样做不但使定义简洁又不失 一般性，容易与学生熟悉的数的加法、乘法建立联 系，从而更有利于认识两个计数原理之间的内在联系，而且也给学生留出了一定的独立思考、自 主学习的空间 在教学中，应注意结合实例阐述两个计数原理的基本内容，分析原理的条件和结论，特别是 要注意使用对比的方法，11导学生认识它们的异同 (2）分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都是讨论 “完成一件事情” 所有不同方法种数 的问题这里， “完成一件事情” 是一个比较抽象的概念，它比学生熟悉的解应用题中遇到的 “完成件工作”“完成一项工程” 等的含义要广泛得多，教学中应结合实例让学生进行辨析 例如： 从甲地到乙地；从甲地经内地再到乙地 从所有教科书中任取一本；从所有教科书中任取数学书、语文书各一本 从19这九个数字中任取两个组成没有重复数字的两位数 这些都是原理中所说的 “完成一件事情” 排列、组合中的 “确定一个满足条件的排列”“确 定一个满足条件的组合 ” 也是指 “完成一件事情” 在实际应用中，学生容易把 “完成一件事情” 与 “计算完成这件事情的方法总数” 混同例如，在分析 “从19这丸个数字中任取两个，共 可组成多少没有重复数字的两位数 ” 时，学生容易把要完成的 “一件事情” 理解成为 “求满足条 件的两位数的个数 ” 又如，在解决 “求（a，十2向）(b1 +h 2+b3十b1) (c l斗c2+c3+c4+c5) 展开式的项数 ” 时，大多数学生都不清楚这里要完成的是 “得到展开式的一项” 教学时应当注 意利用简单实例引导学生消除这种误解只有准确理解了什么是 “完成一件事情”，才能进一步 分析可以用什么方法完成，是否需要分类或分步完成，这样才能确定到底应该用哪个计数原理 (3）两个计数原理的区别在于：分类计数原理与 “分类” 有关，类与类之间互不相容，用任 何类中的任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与 “步骤” 有关，只有依次完成每一 个步骤，才能完成这件事情 第六章计数原理19 为了更清楚地认识两个计数原理的内涵及其区别，我们从集合运算的角度来分析一下 设完成一件事情的方法的集合是U，且card(U)=N. 如果完成这件事的方法可以区分为互不相同的A, B两类，即 AUB=U, AnB=0, 记card(A)=m, card(B） ，那么 N =card(U)=card(A LJB) =card(A）十card(B)=m+n. 如果完成这件事需要分成A, B两个步骤，即 U=AB=C，b): aA, bB i己card(A)=m, card(B） ，那么， N =card(U)=card(A B) =card(A）card CB） 二m n. (4）在引导学生理解和应用两个计数原理时，应使学生认识到分类加法计数原理中的 “完成 一件事有两类不同方案 ”，是指完成这件事的所有方法可以分为两类，即任何一类中的任何一种 方法都可以完成任务，两类中没有相同的方法，且完成这件事的任何一种方法都在某一类中；分 步乘法计数原理中的 “完成一件事需要两个步骤”，是指完成这件事的任何一种方法都要分成两 个步骤，在每一个步骤中任取一种方法，然后相继完现这两个步骤就能完成这件事，即各个步骤 是相互依存的，每个步骤都要做完才能完成这件事情 在分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类标准，然后在这个标准下进行分类，一般 地，标准不同，分类的结果也不同；其次，分类时要注意满足一个基本要求：完成这件事的任何 一种方法必须属于且只能属于某一类方案简单地说，就是应用分类加法计数原理时要做到 “不 重不漏 ” 在分步时，要根据问题的特点确定一个分步标准，标准不同，分成的步骤数也会不同一个 合理的分步应当满足：第一，完成这件事情必须且只需连续做完所分步骤，即分别从各个步骤中 选一种完成该步骤的方法，将各步的方法依次组合在一起就得到完成这件事情的一种方法；第 二，完成任何一个步骤可选用的方法数与其他步骤所选用的方法无关简而言之，就是应用分步 乘法计数原理时要做到 “步骤完整” ( 5）教科书在讲解两个计数原理时采用了如下过程：首先给出一个简单的、学生熟悉的计数 问题；得出解答后，利用 “探究” 引导学生分析问题的本质特征；然后概括出原理；接着配以简 单应用以使学生初步熟悉原理；最后通过 “探究” 引导学生将原理推广到更加一般的情形为了 突出两个原理的区别，两个例子研究的都是座位编号的方法数 在教学中，应当注意使学生充分经历从具体实例中概括出计数原理的过程，特别是要在分析 问题的本质特征上多给学生一些时间和空间为了使学生更好地概括出计数原理，教师可以再举 一些简单的例子，例如从A地到B地的不同路线问题、参加某项活动的人员组合问题等，也可 以让学生自己举一些例子 另外，两个计数原理的教学应该在同一课时中进行，这样可以让学生进行对比，在比较中加 深认识 一般地，学生在刚刚接触一个概念时所留下的印象是最深刻的，这里进行对比学习，可 以让学生先入为主地明白两个计数原理的差异及其相互联系 为了帮助学生理解，教学中应当注意使用 、“树状图”，而且应当要求学生学会使用树状图分 20 I普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第三册 析问题 2.例题应真教学 本小节安排了8个例题 Cl）例l和例2都是用于巩固两个计数原理的简单题可以引导学生自己分析完成教学时 应当把重点放在引导学生分析其中的 “一件事情” 是什么例 1 中的 “件事情” 是 “选择一个 专业”，例 2 中的 “一件事情” 是 “选出男、女生各一名” (2）例3中，第Cl）小题是单独运用分类计数原理解决的问题，第（2）小题是单独运用分 步计数原理解决的问题它们的背景都是从书架上取节，目的是帮助学生体悟两个原理的意义及 其区别教学时仍然要把注意力集中在分析要完成的 “一件事情” 是什么上第( 1）小题是 “从i-S架t任取一本书”，由于取到的书可能是计算机书或文艺书或体育节，因此可以用分类加法 计数原理；第（2）小题是 “从书架的第1, 2, 3层各取一本书”，由于取到的书必须分属气层， 因此采用分步完成的方法可以保证满足要求 (3）例4的背景虽然简单，但学生认识这个问题中要完成的 “一件事情” 可能会有困难实 际上，这里的 “一件事情” 不仅要从3幅画中选出2幅，而且还要 “挂在左、右两边墙上的指定 位置”，所以要分两步完成教学中还可以引导学生思考用不同于教科书中的方法解答本题，例 如：第一步，从3幅画中选出2幅，有3种选法 （ “ 甲乙” “甲丙” “乙丙”） ；第二步，将选出的 两幅画挂好，有2种挂法，所以共有32种挂法这样做可以为后续排列、组合的学习作些 准备 (4）例 5、例 6、例7的背景都有时代性，是学生在日常阅读或在其他学科的学习中可能会 碰到的问题，这些题目都有一定的综合性 例 5 是简单的两个计数原理综合题这里的 “一件事情” 是 “选 3 个字符给一个程序模块命 名”值得注意的是一个模块名中的数字符可以重复，因此第二步与第二步都有9种方法 如果学生有一定的计算机编码、存储知识，那么理解例6 是容易的事实上，本例开头对此 也作了简明易懂的解释，这里关键是要知道 “一个字符可以用一个或多个字节表示” 和 “一个字 节由8个二进制位构成 ” 为了达到 “最多”，每个字符用一个字节来表示，例如 00000000, 10000000 , 11111111 ，都分别表示一个字符这样，问题 (1）就是一个与例5 一样的 “可重 复排列 ” 问题；对于问题 （2） ，由于国标码包含了6 7 63个汉字，至少需要676 3个不同字符， 而用一个字节最多只能表示256个字符，因此不够，这样就考虑2个字节能够表示多少个不同的 字符，而这是一个分步计数问题由于2个字节可以表示256256= 65 5 36个不同字符，因此用 2个字节就可以表示常用汉字当然，也可以用2个以t的字节来表示，这可以表示更多的汉字 另外，还可以让学生考虑为什么英文字母、阿拉伯数字都是用 1个字节表示的实际上，由于26 个英文字母与 10个阿拉伯数字加起来只有36个不同字符，因此用一个字节就足够表示它们了 例7是两个计数原理的综合应用题这里的 “一件事情” 是 “从 开始 经A点到 结 束 ” 在本例的分析中已经明确指出，整个模块的任意一条执行路径都分两步完成，而在每一 步中可以选择不同的子模块而得到不同的子路径这样，求整个模块的执行路径条数时，应当先 用分类加法计数原理分别求出第1, 2步中的子路径，然后再用分步乘法计数原理得出总的路径 数例的另一个问题是：怎样做可以减少测试次数？通过这个问题的解决，可以使学生了解两 第六章计数原理I21 个计数原理的实际意义，即通过比较不同测试方法所需要的测出次数的差异，使学生感受改进测 试方法的重要性 例8的背景是真实的，其目的一方面是理解两个计数原理 另一方面是引出下一节的排列 这里，要完成的 “一件事情” 是 “从10 个数字和除（），I外的24个英文字母中应5个 其中字 母至多2 个 再将5个符号排序编码成一个汽东牌照序号”，简单地说，就是 “按照规则生成一 个汽车牌照序号”本例的求解，首先要正确理解题意，例如 最多能发放的牌照数”的含义， 序号中的数字、 字母是可重复的，序号的分类方法（为什么以含字母的多少为分类标准？）等 另外，因为没有排列知识，所以教科目所给出的解法是比较烦琐的之所以如此不庆其烦地把步 骤一一列出，主要是为了给下一节的学习作准备，因为学生可以从中感受到这样做太麻烦，产生 “能否简化” 的想法，而且也可以从中发现各步骤在结构j二的一致性 在讲完上述例题后，教科书以归纳栏目给出了用两个计数原理解决问题的一般思路，教学时 应注意引导学生自己先进行总结 一般来说，解决计数问题时，可以 “先分类，再对每一类分步 计算”，分类或分步时都要注意按照统一标准进行 第10页的 “思考”，目的是让学生用联系的观点，类比（正整） 数的加法与乘法的关系，进 一步认识两个计数原理之间的关系 实际上，分步乘法计数原理也可以看成是特定条件下的分类 加法计数原理的简化例如，我们可以这样来考虑例4 ：一方面，先分为 “甲在左”“ 乙在左 ” “丙在左” 三类，然后再计算每一类中的挂法，即 “甲乙、 甲丙”“ 乙甲、 乙丙” “丙甲、 丙乙” 共有2+2十2=6种挂法另一方面，由于每一类的挂法都是 2种，因此可以简化为 “分步”：第 一步，选左边的画（选法3 种）；第二步，选右边的画（选法2种），共有32=6种挂法 3. 关于 “探究与发现 子集的个数有多少” 这个选学内容的内涵比较丰富 除了获得V元集合的不同子集有2 ” 个 ” 这结论 主要 是从中nJ以使学生学到研究问题的方法：从具体事例的分析中得到规律性的猜想，再通过严格的 数学推理获得 一般结论 因此，对于3 个元素的 集合的子集问题，应当引导学生认真分析，在此 基础上，可以让学生仿照分析4元集、 5元集的情形，以形成更加明确的关于子集个数的猜想 分析中应使学生明确：之所以说列举法是计数的某本方法，是因为我们可以从列举的过程中 得到如何简便地进行计数的启发，这就要求在列举时做到 “有序” 但利用列主在法解决这个问题 时，很难发现 “总数” 的规律，由此引导学生换一个角度从 “子集” 的定义出发考虑问题， 即S1，川J中的元素与S的子集的关系，这就容易使学生想 到：对于S的一个f集51, “，S1或“，t/:.s, (i=l, 2, 3）二占必用其一且只居其 这样就可以使学生理解教科书上的 做 法了 我们还可以这样来思考解决这个问题的过程：这里要完成的 “一件事情” 是 “确定集合 S= 、I 句 “的一个子集飞为此 我们叮以通过考察S中的每一个;tA是沓在某个子集中的方 式来产生个子集如果用 “1” 表示 “是”，用“0” 表；J之 “ 再 ”，那么二进制数“10。” 就点示 子集l.全部表示 如表6-1所辰 表6-1 元素向应叫 。 。 二 。 ( a 3 i 一 一 。 。 a 2 。 1 a2, a3 斗 。 。 Gt I 。 a1, ad 。 ai, a2 一 a a, a3) k述过程实际上就是按照数字顺序列举8个三位的二进制数，即从表示0 的二进制数 000到 表示7的二进制数lll. 通过这样有序的列举，我们不仅得到了8种不同的排法，而且可以做到 “不重不漏”，更重要的是从中发现了一般规律： n元集合A的每一个子集对应于二个n位的二进制数 第i个位置上是 “。” 表示集合A的 第i个元素不在相应的子集中，第t个位于t上是 “1” 表示集合A的第i个元素在柑应的子集中 这样，按照分步乘法计数原理可以得到，位的二进制数从oo,. o （表示0） 到11. ,1 （表示2- 1)共有 2 个于是元集合A的子集共有T个 上述思想方法涉及了气进制、 一一映射等较多的知识，而且学牛对于用“1”和 “ 。”分别表 示 “是” 和 “否” 的方法也不熟悉，是否向学生介绍这种方法应视学生的能力而定 6.2 排列与组合 、 本节知识结掏怪圈 排列与组合 排列 组合 概念 -. 概念王战及丁 应用 li luitE 二 22 普通高中教科书教师教学周书 数学选择性必修第三册 ；第六章计数原理I23 F叶 二、重点、 难点 重点：排列和排列数公式，组合和组合数公式 难点：推导组合数公式，排列与组合的应用 三、教科书编写意图及教学建议 排列与组合是两类特殊的计数问题，是两个计数原理的典型应用为了更好地表示和解决计 数问题，教科书在计数原理的基础上，将实际问题中抽取的对象抽象为元素，引入了排列与组合 的概念，然后用字母表示排列数和组合数，并给出了计算排列数和组合数的公式在此过程中， 体现了将实际问题转化为排列与组合问题的数学抽象，推导排列数与组合数公式的逻辑推理，将 其体问题转化为排列数或组合数的数学建模，以及利用公式便捷求出计数结果的数学运算 在教学时，要结合具乐事例区别排列问题和组合问题，将实际计数问题抽象为排列或组合， 并用排列数和组合数公式进行计算，提升学生数学抽象、数学运算和数学建模等素养 在计算过 程中，还可以利用信息技术便捷地得出结果，并对不同计数方法进行检验 6. 2. 1 排列 1.问题的提出 本节从 对上一节例8的解答过程的反思开始，在用分步乘法计数原理解决问题时，因做了一 些重复性工作而显得烦琐，能否给出一种简捷的方法加以改进？为了引导学生对这类问题的结构 进行分析，从而找到简捷的方法，本小节提出了两个求排列数的具体问题，并进行了详细的 分析 在问题1巾，要完成的 “一件事情” 是 “从3名同学中选出2名，并按上午在前下午在后的 顺序排列 ” 问题2中，要完成的 “一件事情” 是 “从4个数字中选 3个，并按 百位、十位、 个位 的顺序排列 ” 上述两个问题都可以用分步乘法计数原理解决，为学生概括排列概念提供了背景支持只是 问题2比问题1稍复杂教师可以带领学生分析问题1解答的全过程，并让学生模仿问题1的解 答过程完成问题2的解答通过对比两个问题的解答，形成解决这类问题的结构，进而抽象出排 列问题，并积累求一般的排列数公式的经验 2.排列概念的抽象 教科书是通过问题l和问题2的具体背景，分以下两步抽象出排列的概念的： 第一步，将两个具体问题抽象为将元素排成一列的问题首先，将问题1的对象 “同学” 和 问题2的对象“数字”都抽象为 “元素” ；然后，将问题1一般化为 “从3个不同元素中任取2 个排成一列 ” 的问题，将问题2一般化为 “从4个不同元素中任取 3个排成一列” 的问题，并列 出它们不同的排列和方法种数 第二步，归纳两个具体问题的共同特点，将它们推广到一般情形，从而给出排列的概念对 比问题1和问题2.它们都属于 “从 一些不同元素中取出部分元素，并按一定的顺序排成一列” 的问题，可归纳为“从个不同元素中取出m(m）个元素并按照一定的顺序排成一列 ” ，。 这样便得到了从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 24 I普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第三册 定义中的 n个元素是互不相同的，且抽取的m个元素是从个元素中不重复地抽取的，因 而这m个元素也是互不相同的教学中可向学生指出，在研究排列问题时，是从一些不同元素 中任取部分不同元素，这里既没有重复的元素，又没有重复抽取同一元素的情况 排列的定义包含两个基本内容：一是 “取出元素”，二是“按一定顺序排列” 因此，排列要 完成的 “一件事情” 就是 “取出m个元素，再按顺序排列” 这里，学生可能对 “一定顺序” 的 理解会有困难教学可以结合具体问题向学生解释：在问题1中，由于 “甲上午、乙下午” 与 “乙上午、甲下午” 是两种不同的选法，因此 一种选法与两名同学的顺序有关，这样， “上午在 前、下午在后”就是 “一定的顺序”，按照这个顺序，就有6种不同的选法 同样，在问题2巾， 由于三位数与三个数字的顺序有关，这样， “百位、十位、个位” 就是 “一定的顺序”，尽管1 23 与13 2, 21 3, 23 1, 312, 3 2 1含有相同的数字，但却是互不相同的数，因为其中数字的顺序不 同所以，若干个元素按照一定的顺序排成一列，元素不同或元素相同但顺序不同的排列都是不 同的排列，当且仅当两个排列的元素和顺序都相同才是同一个排列 通过抽象和概括排列的概念，可以帮助学生发展数学抽象的核心素养 3.以具体问题为载体，经历求排列数的过程 问题1的分析、解答过程，就是一个不断化归为能直接应用分步乘法计数原理的数学化的过 程：先将问题叙述为 “从3名同学中选出2名，按照上午在前下午在后的顺序排列，共有多少种 排法”，进一步明确 “解决这一问题可分两个步骤.”，从而与分步乘法计数原理的条件一致； 获得答案后，再以树状图表示出所有选派同学的方法，以使学生确认所得结果的正确性；最后抽 象为 “从3个不同元素中任取2个，然后按 一定顺序排成一列，共有多少种不同排法” 教学中 应该让学生充分经历上述过程，以达到该问题的设计目的 问题2的分析、解答过程与问题1完全一致，教学中可以让学生在解决问题1的基础上完成 问题2的解答，再次经历求排列数的过程 4.例题应真教学 在例l的教学中，要让学生注意，完成的 “一件事情” 是否与顺序有关由于有主客场的要 求，所以每场比赛都有 “主队、客队” 的顺序例如， “甲队为主队、乙队为客队” 与 “乙队为 主队、甲队为客队 ” 就是不同顺序的两个排列 在例2的教学中，要提醒学生注意 “所选元素是否可重复”. 3名同学从桌上的5盘菜中选出 的 3盘菜各不相同，且他们的不同选法就是不同顺序的排列；而 3名同学从食堂窗口的5种菜中 各选一种菜却可能重复，例如他们可能选同一种菜，所以这个问题不能看成是一个排列 结合例题，还可以让学生举出不同的具体实例，并说明这些例子是否属于排列问题，通过这 些实例增强对排列的认识 6.2.2 排列数 1.在排列基础上给出排列数的概念 给出排列数公式的主要目的是更加便捷地求出不同排列的个数从个不同元素中取出 m(m芝三n） 个元素，并按一定的顺序排成一列，叫做从个元素中取出m个元素的一个排列而 从n个石同元素中取出m个元素的所有不同排列的个数就是排列数，并表示为A：.有了排列数 的定义和符号表示，就为导出排列数的公式奠定了基础 第六章计数原理I25 在排列数概念的教学中，要注意引导学生区分排列数与排列两个概念排列是指 “从 个干 同元素中取出m个元素，按一定的）附排成的一列 ”，它不是一个数；而排列数则是指从 n: 不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”，这是一个自然数例如，从Gb, c 中任取 2个 的排列有础，缸，缸，ca, be, cb ，其中每一个都叫做一个排列，共有6个，即从h b c 中任 取 2个的排列数为6. 2.排列数公式的推导 教科书推导排列数公式用的是不完全归纳法先列出问题11 2的答案，目的是让学生观察 答案，对排列数公式产生一定的感性认识，教学时可引导学生对排列数公式进行猜想在此基础 上，教科书通过 “探究” 提出求A；的任务由于已经有了较多的求具体问题的排列数的经验， 学生按照教科书所述的方式，从此，叫的具体情况到A的一般情况，应该不会有太大的困难 在推导A;=n （1)（2） （n-m 十1)时，可以从n到 一l，到n-2, .，到 一 (m一1) ，来说明为什么第：n 个位置共有n-m 十1种填法这可能是学生容易产生问题的地方 教科书之所以没有给出严格的证明，主要是因为严格的证明需要采用数学归纳法另外，也 不必要求学生去严格证明 恤 3.排列数公式的理解 导出排列数公式后，要引导学生对公式的特点进行分析，以帮助学生准确把握公式公式 八m =n (n-1) （2）（m+l)的特点是：右边第 一个因数是n ，后面每个因数都比它前面 的一个因数少1，最后一个因数是n-m 十1，共有m个连续的正整数相乘当hm是具体的数 或字母时，只要根据这些特点就能很快写出算式；当n, m是其他代数式（ 如此，A！；）时， 容易把最后一个因式写错，教学时应重点给予关注 当n固定，m的取值不同时，公式A；了n（ l) (n-2） （m十1）右边的因数个数也不 同 而用阶乘表示的排列数公式A；，贝lj使m不同取值的表达式都是一个分数形式， 且对含 有字母的排列数的式子进行变形时，利于发现相互之间的关系 教科书将正整数n的阶乘！定义为正整数1到n的连乘积需要注意的是，O! =l是规定 ！ 的，这是为了有关公式的表示和运算的方便这样规定后，像公式A百石页，l，= ！ ，在m 时就都有意义了 m ! (n-m)