1、本资料分享本资料分享 自千人教师自千人教师 QQ群群 323031380 期期 待你的加入待你的加入 与分享与分享 ？ 1.4.2充要条件充要条件 ？ 课标定位课标定位 素养阐释素养阐释 1.通过对典型数学命题的梳理通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的理解充要条件的 意义意义. 2.理解数学定义与充要条件的关系理解数学定义与充要条件的关系. 3.体会充要条件在表述数学内容和论证数学结体会充要条件在表述数学内容和论证数学结 论中的作用论中的作用. 4.培养逻辑推理素养与数学运算素养培养逻辑推理素养与数学运算素养. 自主自主预习预习新知新知导学导学 合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑 思思 想想
2、 方方 法法 随随 堂堂 练练 习习 ？ 自主自主预习预习新知导学新知导学 ？ 一、逆命题的概念一、逆命题的概念 【问题思考】【问题思考】 1.给出以下两个命题给出以下两个命题: (1)若一个数是负数若一个数是负数,则它的平方是正数则它的平方是正数; (2)若一个数的平方是正数若一个数的平方是正数,则它是负数则它是负数; 你能说出命题你能说出命题(1)与命题与命题(2)的条件与结论有什么关系吗的条件与结论有什么关系吗? 提示提示:命题命题(1)的条件和结论与命题的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换的条件和结论恰好互换 了了. ？ 2.填空填空:将命题将命题“若若p,则则q”中的条件中的
3、条件p和结论和结论q互换互换,就得到一个就得到一个 新的命题新的命题“若若q,则则p”,称这个命题为原命题的称这个命题为原命题的逆逆命题命题. 3.做一做做一做:命题命题“若若AB=B,则则A B”的逆命题是的逆命题是. 答案答案:若若A B,则则AB=B ？ 二、充要条件二、充要条件 【问题思考】【问题思考】 给出以下两个给出以下两个“若若p,则则q”形式的命题形式的命题: (1)若两个三角形全等若两个三角形全等,则这两个三角形三边对应相等则这两个三角形三边对应相等. (2)若若 ,则关于则关于x的方程的方程x2+x+m=0(mR)有实数根有实数根. 1.你能判断它们的真假吗你能判断它们的真
4、假吗? 提示提示:(1)真真.(2)真真. ？ 2.你能写出它们的逆命题你能写出它们的逆命题,并判断真假吗并判断真假吗? 提示提示:(1)逆命题逆命题:若两个三角形的三边对应相等若两个三角形的三边对应相等,则这两个三则这两个三 角形全等角形全等,是真命题是真命题. (2)逆命题逆命题:若关于若关于x的方程的方程x2+x+m=0(mR)有实数根有实数根, 则则 ,是真命题是真命题. 3.以上两个命题中以上两个命题中,p是是q的什么条件的什么条件?q是是p的什么条件的什么条件? 提示提示:因为因为pq,且且qp,所以所以p是是q的充分条件也是必要条件的充分条件也是必要条件;同同 理理,q是是p的充
5、分条件的充分条件,也是必要条件也是必要条件. ？ 4.填表填表: ？ 答案答案:充充要要 ？ 【思考辨析】【思考辨析】 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打正确的在后面的括号内打“ ”,错误错误 的打的打“”. (1)如果原命题如果原命题“若若p,则则q”与其逆命题都为真与其逆命题都为真,那么那么p是是q的充要的充要 条件条件.( ) (2)若若p是是q的充要条件的充要条件,则则p是唯一的是唯一的.( ) (3)当当p是是q的充要条件时的充要条件时,也可说成也可说成q成立当且仅当成立当且仅当p成立成立.( ) ？ 合作合作探究探究释疑解惑释疑解惑 ？ 探究探究一一
6、充分条件充分条件、必要条件、充要条件的判断、必要条件、充要条件的判断 【例【例1】 有命题有命题a,b,c,d,e,已知已知: a是是b的必要条件的必要条件; b是是d的充要条件的充要条件; 由由d不可推出不可推出c,但但c可推出可推出d; ce成立成立,e是是b的充要条件的充要条件. 问问:(1)d是是a的什么条件的什么条件? (2)a是是c的什么条件的什么条件? (3)c是是b的什么条件的什么条件? (4)d是是e的什么条件的什么条件? ？ 分析分析:本题条件间有较多的交叉本题条件间有较多的交叉,从文字叙述的条件来推理容从文字叙述的条件来推理容 易混淆易混淆,可以先将各个命题的关系用可以先
7、将各个命题的关系用“”“”“”连接起来连接起来, 形成一个网络形成一个网络,再利用充分条件、必要条件、充要条件的定再利用充分条件、必要条件、充要条件的定 义进行判断义进行判断. ？ 解解:由由知知ba;由由知知bd;由由知知d c,cd;由由知知ce, eb. (1)因为因为bd,ba,所以所以da,即即d是是a的充分条件的充分条件. (2)因为因为ce,eb,ba,所以所以ca;又又cd,d c,bd,ba,从集从集 合角度考虑得出合角度考虑得出a c,即即a是是c的必要不充分条件的必要不充分条件. (3)因为因为ce,eb,所以所以cb;又因为又因为bd,d c,所以所以b c,即即c 是
8、是b的充分不必要条件的充分不必要条件. (4)因为因为eb,bd,所以所以de,即即d是是e的充要条件的充要条件. ？ 反思感悟反思感悟 充分条件充分条件、必要条件和充要条件反映了条件、必要条件和充要条件反映了条件p与结论与结论q之间的之间的 因果关系因果关系,在具体判断时在具体判断时,常用如下方法常用如下方法 (1)定义法定义法: 若若pq,但但q p,则则p是是q的充分不必要条件的充分不必要条件; 若若qp,但但p q,则则p是是q的必要不充分条件的必要不充分条件; 若若pq,且且qp,则则p是是q的充要条件的充要条件; 若若p q,且且q p,则则p是是q的既不充分也不必要条件的既不充分
9、也不必要条件. ？ (2)命题法命题法: 如果原命题为如果原命题为“若若p,则则q”,逆命题为逆命题为“若若q,则则p”,那么那么p与与q的关系的关系 有以下四种情形有以下四种情形: 如果原命题为真如果原命题为真,逆命题为假逆命题为假,那么那么p是是q的充分不必要条件的充分不必要条件; 如果原命题为假如果原命题为假,逆命题为真逆命题为真,那么那么p是是q的必要不充分条件的必要不充分条件; 如果原命题与逆命题都为真如果原命题与逆命题都为真,那么那么p是是q的充要条件的充要条件; 如果原命题与逆命题都为假如果原命题与逆命题都为假,那么那么p是是q的既不充分也不必的既不充分也不必 要条件要条件. ？
10、 (3)集合法集合法: ？ 【变式训练【变式训练1】 如果如果A是是B的必要不充分条件的必要不充分条件,B是是C的充要条的充要条 件件,D是是C的充分不必要条件的充分不必要条件,那么那么A是是D的的() A.充分不必要条件充分不必要条件 B.必要不充分条件必要不充分条件 C.充要条件充要条件 D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析解析:根据题意得根据题意得,A B,BA,BC,DC,C D, 所以所以DCBA,即即DA;可从集合的角度考虑得出可从集合的角度考虑得出A D. 答案答案:B ？ 探究探究二二 充要条件充要条件的证明的证明 【例【例2】 求证求证:关于关于x的方程的方程a
11、x2+bx+c=0有一个根为有一个根为1的充要的充要 条件是条件是a+b+c=0. 分析分析:设设p:a+b+c=0,q:方程方程ax2+bx+c=0有一个根为有一个根为1.要证明要证明p 是是q的充要条件的充要条件,只需分别证明充分性只需分别证明充分性(pq)和必要性和必要性(qp)即即 可可. ？ 证明证明:充分性充分性:a+b+c=0, c=-a-b,代入方程代入方程ax2+bx+c=0中可得中可得ax2+bx-a-b=0, 即即(x-1)(ax+a+b)=0. 故方程故方程ax2+bx+c=0有一个根为有一个根为1. 必要性必要性:方程方程ax2+bx+c=0有一个根为有一个根为1,
12、x=1满足方程满足方程ax2+bx+c=0, a12+b1+c=0,即即a+b+c=0. 综上可得综上可得,方程方程ax2+bx+c=0有一个根为有一个根为1的充要条件是的充要条件是 a+b+c=0. ？ 反思感悟反思感悟 有关有关充要条件的证明问题充要条件的证明问题,要分清哪个是条件要分清哪个是条件,哪个是结论哪个是结论,由由 “条件条件结论结论”是证明命题的充分性是证明命题的充分性,由由“结论结论条件条件”是证明命是证明命 题的必要性题的必要性.证明要分两个环节证明要分两个环节:一是证明充分性一是证明充分性;二是证明必二是证明必 要性要性. ？ 【变式训练【变式训练2】 求证求证:一元二次
13、方程一元二次方程ax2+bx+c=0有两异号实有两异号实 根的充要条件是根的充要条件是ac0,x1x2= 0(x1,x2为方程的两根为方程的两根),所以所以 ac0. 充分性充分性:由由ac0及及x1x2= 0(x1,x2为方程的为方程的 两根两根), 故方程故方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根有两个不相等的实根,且两根异号且两根异号,即方程即方程 ax2+bx+c=0有两异号实根有两异号实根. 综上可得综上可得,方程方程ax2+bx+c=0有两异号实根的充要条件是有两异号实根的充要条件是acy,试探求试探求 的的充要条件充要条件,并并 加以证明加以证明. ？ ？ ？ 反思感悟反思感悟
14、 探求探求充要条件的方法充要条件的方法 方法一方法一:先由结论寻找使之成立的条件先由结论寻找使之成立的条件,再由条件来验证它成再由条件来验证它成 立立,即保证必要性和充分性都成立即保证必要性和充分性都成立. 方法二方法二:变换命题为其等价命题变换命题为其等价命题,使每一步都可逆使每一步都可逆,直接得到使直接得到使 结论成立的充要条件结论成立的充要条件. ？ 思思 想想 方方 法法 ？ 等价转化思想在充要条件中的应用等价转化思想在充要条件中的应用 等价转化思想是把未知解的问题转化到已有知识范围内可解等价转化思想是把未知解的问题转化到已有知识范围内可解 的问题的一种重要的思想方法的问题的一种重要的
15、思想方法,通过不断地转化通过不断地转化,将不熟悉、将不熟悉、 不规范、复杂的问题转化成熟悉、规范甚至模式化、简单的不规范、复杂的问题转化成熟悉、规范甚至模式化、简单的 问题问题. ？ 【典例】【典例】 已知已知p:-2 2,q:(x-1+m)(x-1-m)0(m0),q 是是p的必要不充分条件的必要不充分条件,则实数则实数m的取值范围为的取值范围为. 审题视角审题视角:对题目中的条件进行化简对题目中的条件进行化简,等价转化为不等式的解等价转化为不等式的解 集集,再将充分条件、必要条件和集合间的关系进行等价转化再将充分条件、必要条件和集合间的关系进行等价转化. 解析解析:q是是p的必要不充分条件
16、的必要不充分条件, p是是q的充分不必要条件的充分不必要条件. 由由-2 2,得得-2x10, p对应的集合为对应的集合为x|-2x10. ？ 设设M=x|-2x10. (x-1+m)(x-1-m)0(m0),1-mx1+m(m0). q对应的集合为对应的集合为x|1-mx1+m,m0. 设设N=x|1-mx1+m,m0. 由由p是是q的充分不必要条件的充分不必要条件,知知M N, 实数实数m的取值范围为的取值范围为m|m9. 答案答案:m|m9 ？ 方法点睛方法点睛 本题本题中既有对题目条件的化简中既有对题目条件的化简,又有充分条件、必要条件和又有充分条件、必要条件和 集合间关系的转化集合间
17、关系的转化,将复杂的条件转化为简单的条件将复杂的条件转化为简单的条件,将不熟将不熟 悉的充分条件、必要条件转化为熟悉的集合间的关系悉的充分条件、必要条件转化为熟悉的集合间的关系,注意注意 逻辑推理素养和数学运算素养的培养逻辑推理素养和数学运算素养的培养. ？ 【变式训练】【变式训练】 已知已知p:(2x+1)(x-2)0,q:(x-a)(x-a+2)0,若若p是是 q的充分不必要条件的充分不必要条件,求实数求实数a的取值范围的取值范围. ？ 随随 堂堂 练练 习习 ？ 1.已知命题已知命题“若若p,则则q”,假设其逆命题为真假设其逆命题为真,则则p是是q的的() A.充分条件充分条件B.必要条
18、件必要条件 C.充要条件充要条件D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析解析:原命题的逆命题原命题的逆命题:“若若q,则则p”,它是真命题它是真命题,即即qp,所以所以p是是 q的必要条件的必要条件. 答案答案:B ？ 2.函数函数y=x2+2mx+1的图象关于直线的图象关于直线x=1对称的充要条件是对称的充要条件是( ) A.m=-2B.m=2 C.m=-1D.m=1 解析解析:由由y=x2+2mx+1,得其图象的对称轴为得其图象的对称轴为x=-m, 由由题意得题意得-m=1,故故m=-1. 答案答案:C 3.“三角形是等边三角形三角形是等边三角形”的充要条件是的充要条件是. 答案
19、答案:三角形的三边相等三角形的三边相等(或三角形的三个角相等或有一个角或三角形的三个角相等或有一个角 是是60 的等腰三角形的等腰三角形)(答案不唯一答案不唯一) ？ 4.如图如图,有四个电路图有四个电路图,条件条件A:“开关开关S1闭合闭合”,条件条件B:“灯泡灯泡L亮亮”, 则则A是是B的充要条件的图为的充要条件的图为. 答案答案:乙乙 ？ 5.已知已知p,q都是都是r的必要条件的必要条件,s是是r的充分条件的充分条件,q是是s的充分条件的充分条件. 那么那么:(1)s是是q的什么条件的什么条件? (2)r是是q的什么条件的什么条件? (3)p是是q的什么条件的什么条件? 解解:(1)因为因为qs,srq,所以所以s是是q的充要条件的充要条件. (2)因为因为rq,qsr,所以所以r是是q的充要条件的充要条件. (3)因为因为qsrp,所以所以p是是q的必要条件的必要条件.
