1、第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 高中数学 选择性必修第二册 人教A版 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 1.探索并掌握等差数列前n项和公式及其获取思路. 2.理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系,在五个量(a1,d,n,an,Sn)中,由其 中三个求另外两个. 3.能利用等差数列的前n项和公式解决实际问题. 知识清单破 4.2.2等差数列的前n项和公式 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 已知量首项、末项与项数首项、公差与项数 求和公式 Sn=Sn=na1+d 1n n(aa ) 2 n(n-1)
2、2 1 |等差数列前n项和公式 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 Sn=na1+=n2+n. (1)该表达式中没有常数项; (2)当d0时,Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次式,即点(n,Sn)在其相应的 二次函数的图象上,这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数,它的 图象是抛物线y=x2+x上横坐标为正整数的一系列孤立的点. ( -1) 2 n nd 2 d 1- 2 d a 2 d 1- 2 d a 2 |等差数列an的前n项和公式的函数特征 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 性质1等差数列中依次k
3、项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,组成公差为k2d的等差数列 性质2 若等差数列的项数为2n(nN*),则S2n=n(an+an+1),S偶-S奇=nd,=(S奇0); 若等差数列的项数为2n-1(nN*),则S2n-1=(2n-1)an(an是数列的中间项),S奇-S偶=an, =(S奇0) 性质3 an为等差数列为等差数列 性质4 两个等差数列an、bn的前n项和Sn、Tn之间的关系为=(bn0,T2n-10) S S 偶 奇 1n n a a S S 偶 奇 -1n n n S n n n a b 2 -1 2 -1 n n S T 3 |等差数列前n项和的性质 第第1讲描述运动
4、的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 1.等差数列an的前n项和为Sn=(n3,nN*).() 提示:易知等差数列的前n项和公式为Sn=,由等差数列的性质,得a1+an=a3+ an-2,所以Sn=(n3,nN*). 2.等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数.() 提示:公差为0时,等差数列的前n项和是关于n的一次函数. 3.若数列an的前n项和Sn=n2+1,则数列an是公差为2的等差数列.() 提示:等差数列的前n项和公式是关于n的且不含常数项的表达式,题中Sn=n2+1有 常数项,所以an不是等差数列. 3-2 () 2 n n aa 1 () 2 n
5、n aa 3-2 () 2 n n aa 判断正误，正确的画“ ” ，错误的画“ ” 。 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 4.已知an是等差数列,公差d=2,前n项和为Sn,则数列也是等差数列,且公差 为1.() 提示:由Sn=na1+得,=a1+=n-1+a1,所以数列是公差为1的等差 n S n ( -1) 2 n nd n S n ( -1) 2 nd n S n 数列. 5.已知Sn是等差数列an的前n项和,则S2,S4,S6成等差数列.() 提示:若Sn是等差数列an的前n项和,则S2,S4-S2,S6-S4成等差数列. 第第1讲描述运动的基本
6、概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 1|等差数列前n项和公式及其应用 1.求等差数列的前n项和 (1)条件与d有关,运用公式Sn=na1+d求其前n项和; (2)条件与等差数列的项an有关,运用公式Sn=求其前n项和,解题时与等差 数列的性质结合可以起到事半功倍的效果. 2.在等差数列问题中共涉及五个量:a1,d,n,an及Sn,利用等差数列的通项公式及前n 项和公式即可“知三求二”.其解题通法可以概括为:设出基本量a1,d,构建方程 组.因此利用方程思想求出基本量a1,d是解决等差数列问题的基本途径. ( -1) 2 n n 1 () 2 n n aa 第第1讲描述运动的基本概
7、念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 在等差数列an中: (1)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10; (2)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n. 解析设等差数列an的首项为a1,公差为d. (1)解法一:由已知得解得 S10=10a1+d=103+4=210. 解法二:由已知得a1+a10=42, 5101 491 21358, 21150, aaad aaad 1 3, 4. a d 10 (10-1) 2 10 9 2 510110 49110 ()458, ()250, aaaad aaaad S10=542=210. (2)S7=7a4=42,
8、a4=6.Sn=510,n=20. 110 10() 2 aa 17 7() 2 aa 1 () 2 n n aa 4-3 () 2 n n aa(645) 2 n 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 已知数列an的前n项和Sn=32n-n2,求数列|an|的前n项和Sn. 思路点拨 由Sn求出an求出an的正负项分界点去绝对值求和. 解析an=Sn-Sn-1=33-2n(n2),且a1=S1=31,代入上式符合,an=33-2n(nN*). 由an0得n16,此数列的前16项均为正数,从第17项起以后各项均为负数,则对于 数列|an|:当1n16时,Sn=
9、Sn=32n-n2;当n17时,Sn=|a1|+|a16|+|a17|+|an| =(a1+a2+a16)-(a17+a18+an)=S16-(Sn-S16)=2S16-Sn=2(3216-162)-(32n-n2) =n2-32n+512. Sn= 2* 2* 32 -n (116,N ), n -32512(17,N ). nnn nnn 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 易错警示 由于含绝对值的问题首先要考虑去绝对值,因此要根据不等式组或 找出满足条件的临界值n. 1 0, 0 n n a a 1 0, 0 n n a a 第第1讲描述运动的基本概念
10、讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 2|等差数列前n项和性质的应用 在解决与等差数列前n项和Sn的性质有关的问题时,恰当运用相关性质可以达到 化繁为简、化难为易、事半功倍的效果. 利用性质解决等差数列前n项和运算的几种思维方法: (1)整体思路:利用公式Sn=,设法求出整体a1+an,再代入求解. (2)待定系数法:利用Sn是关于n的二次函数,设Sn=An2+Bn(A0),列出方程组求出A, B即可;也可以利用是关于n的一次函数,设=an+b(a0)进行计算. (3)利用相关性质中的结论进行求解. 1 () 2 n n aa n S n n S n 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运
11、动的基本概念 第四章第四章 数列数列 已知等差数列an的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和 之比为32 27,求该数列的公差d. 思路点拨 思路一:由已知列方程组解出d. 思路二:利用S偶-S奇=6d求出d. 解析解法一:设等差数列an的首项为a1, 由解得 解法二:由已知得解得 又S偶-S奇=6d,所以d=5. 121 11 11 1266354, 636632 , 630527 Sad Sadad Sadad 偶 奇 1 2, 5. a d 354, 32 27, SS SS 奇偶 奇偶 192, 162. S S 偶 奇 192-162 6 第第1讲描述运动的基本概念
12、讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 (1)已知等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,求数列an的前3m项的和S3m; (2)已知两个等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,且=,求的值. 解析(1)解法一:由等差数列前n项和的性质可知,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列, 30,70,S3m-100成等差数列.270=30+(S3m-100),S3m=210. 解法二:由等差数列前n项和的性质可知,成等差数列, =+,即S3m=3(S2m-Sm)=3(100-30)=210. n n S T 72 3 n n 5 5 a b m S m 2 2 m S m
13、 3 3 m S m 2 2 2 m S m m S m 3 3 m S m (2)=. 5 5 a b 19 19 1 () 2 1 () 2 aa bb 19 19 9() 2 9() 2 aa bb 9 9 S T 7 92 93 65 12 解题模板:根据已知条件,灵活应用等差数列前n项和的性质,既能帮助我们解决问题, 又能减少运算,提高解题速度和准确度. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 已知an为等差数列,其前n项和为Sn,若Sn=m,Sm=n,其中mn,m,nN*,求Sm+n. 思路点拨 思路一:由已知列方程组求出a1,d求出Sm+n. 思路
14、二:整体代换由Sn,Sm求Sm+n. 思路三:设Sx=Ax2+Bx(xN*)分别表示出Sm,Sn求出Sm+n. 思路四:利用性质,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq推导出Sm+n. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 解析解法一(常规解法,方程思想): 设等差数列an的首项为a1,公差为d, 由题意得解得 Sm+n=(m+n)a1+d=-m-n. 解法二(常规方法,整体代换,不求a1,d):设等差数列an的首项为a1,公差为d, 由题意得, 以上两式相减,得 2a1(n-m)+(n2-n-m2+m)d=m-n. 1 1 ( -1) , 2 ( -1)
15、 , 2 n n mnad m m nmad 2 1 ( -1)() , 2() -. nmmn a mn mn d mn ()(-1) 2 mn mn 11 11 ( -1) 2( -1) , 22 ( -1) 2( -1) , 22 n nn mnadand m mm nmadamd 1 2 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 mn,m-n0.上式可化为-2a1+(1-m-n)d=2,即2a1+(m+n-1)d=-2. Sm+n=(m+n)a1+=2a1+(m+n-1)d=(-2)=-m-n. 解法三:设Sx=Ax2+Bx(xN*),则 ()(-1) 2
16、 mn mnd 2 mn 2 mn 2 2 , , AmBmn AnBnm -,得A(m2-n2)+B(m-n)=n-m. mn,A(m+n)+B=-1.A(m+n)2+B(m+n)=-(m+n),即Sm+n=-m-n. 解法四(利用性质,简化运算):设等差数列an的首项为a1. 在等差数列中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq,不妨设mn,则Sm-Sn=an+1+an+2+am-1+am= n-m=(an+1+am),an+1+am=a1+am+n=-2.Sm+n=(a1+am+n)=-m-n. - 2 m n2( - ) - n m m n2 mn 第第1讲描述运动的基本概念讲描述
17、运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 3|等差数列前n项和的最值的求法 1.等差数列前n项和Sn存在最大(小)值的情形: 若a10,d0,则Sn存在最大值,即所有非负项之和; 若a10,则Sn存在最小值,即所有非正项之和. 2.求等差数列(公差d0)的前n项和Sn的最大(小)值的常用方法如下: (1)用配方法转化为求解二次函数的最大(小)值问题,解题时要注意nN*; (2)邻项异号法:可利用或来寻找正、负项的分界点. 3.一般地,在等差数列an中,当a10,且Sp=Sq(pq)时,若p+q为偶数,则当n=时, Sn最大;若p+q为奇数,则当n=时,Sn最大. 1 0, 0 n n a a 1
18、 0, 0 n n a a 2 pq 1 2 pq 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 已知an是等差数列,其公差为非零常数d,前n项和为Sn,设数列的前n项和为 Tn,当且仅当n=6时,Tn有最大值,则的取值范围是(C) A.B.(-3,+)C.D.(-,-3) n S n 1 a d 5 - ,- 2 5 -3,- 2 5 -, 2 思路点拨 求出由T6最大得,0,0,d0求出的范围. n S n 6 6 S 7 7 S 1 a d 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 解析an是等差数列,其公差为非零常数d,前n项和为
19、Sn,=n+. 数列的前n项和为Tn,当且仅当n=6时,Tn有最大值, 解得-30,d=-20,a140,+2an=4Sn+3. (1)求数列an的通项公式; (2)设bn=,求数列bn的前n项和. 解析(1)由+2an=4Sn+3,得+2an+1=4Sn+1+3,两式相减得,-+2(an+1-an)=4an+1, 即2(an+1+an)=-=(an+1+an)(an+1-an).由于an0,所以an+1-an=2.当n=1时,+2a1=4a1+ 3,解得a1=3或a1=-1(舍去).所以an是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an= 2n+1,nN*. (2)由(1)可知,an=2n+1,nN*,所以bn=. 2 n a 2 -121 1 nn aa 2 n a 2 1n a 2 1n a 2 n a 2 1n a 2 n a 2 1 a 2 -121 1 nn aa 1 (4 -1)(43)nn 1 4 11 - 4 -1 43nn 设数列bn的前n项和为Tn,则Tn=b1+b2+bn=+ =. 1 4 1 1 - 3 7 11 - 7 11 11 - 11 15 11 - 4 -1 43nn 1 4 11 - 3 43n 3(43) n n
