1、第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 高中数学 必修第二册 人教A版 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用 6.46.4平面向量的应用平面向量的应用 1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会 向量在解决数学和实际问题中的作用. 2.借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理、正弦定理. 3.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用 余弦定理及其推论 文字语言 三角形中任何一边的平方 ,等
2、于其他两边平方 的和 减去这两边与它 们夹角的余弦的积 的两 倍 符号语言 a2= b2+c2-2bccos A , b2= a2+c2-2accos B , c2= a2+b2-2abcos C 推论 cos A= , cos B= , cos C= 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用 正弦定理及其常见变形 文字语言 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦 的比相等 符号语言 =2R(R为ABC外接圆的半径) 常见变形 a=2Rsin A,b=2Rsin B ,c=2Rsin C , sin A=,sin B= ,sin C= , a
3、 b c= sin A sin B sin C , =2R 三角形的面积 ABC的面积S= absin C= bcsin A= acsin B. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用 判断正误,正确的画“”,错误的画“”. 1.余弦定理只适用于锐角三角形.( ) 2.由余弦定理可知a2=b2+c2+2bccos A.( ) 3.在ABC中,若b2+c2a2,则此三角形是锐角三角形. ( ) 提示：由cos A=和b2+c2a2可得cos A0,所以A为锐角.但一个内角为锐 角的三角形不一定是锐角三角形,所以此结论错误. 4.在ABC中,
4、必有asin C=csin A. () 提示：由=,得asin C=csin A. 5.在ABC中,一定有a b c=cos A cos B cos C. ( ) 6.在ABC中,abABsin Asin B. () 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用 利用余弦定理和正弦定理解三角形 三角形共有六个元素,当已知条件较复杂时,需要我们辨别条件,恰当地选择定 理来求解. 常见情况: (1)当已知条件以边与正弦值之比的关系出现时,选择正弦定理; (2)当已知条件涉及正弦或外接圆半(直)径时,选择正弦定理; (3)当已知条件涉及边的平方或者两
5、边的积时,选择余弦定理; (4)如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含 有角的正弦或边的一次式,要考虑用正弦定理. 以上特征都不明显时,两个定理都有可能用到. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用 在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B+acos C=b+c,则ABC的形状是 (D) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 思路点拨 思路1:利用正弦定理化边为角化简得出cos A(sin B+sin C)=0由cos A=0 得出A=判断出ABC是直角三角形;思
6、路2:利用余弦定理的推论化角为边 化简得出(a2-b2-c2)(b+c)=0由a2=b2+c2得出ABC是直角三角形. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用 解析 解法一:acos B+acos C=b+c, 由正弦定理得sin Acos B+sin Acos C=sin B+sin C. A+B+C=, sin B+sin C=sin(A+C)+sin(A+B), sin Acos B+sin Acos C=sin(A+C)+sin(A+B), 化简,得cos A(sin B+sin C)=0. 又A(0,),B(0,),C(0,),
7、 cos A=0,即A=, ABC是直角三角形. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用 解法二:acos B+acos C=b+c, 由余弦定理的推论,得a+a=b+c,化简得(a2-b2-c2)(b+c) =0. a,b,c为ABC的三边, a2-b2-c2=0,即a2=b2+c2, ABC是直角三角形. 答案答案 D 技巧点拨 解法一利用正弦定理与三角恒等变换求出A=;解法二利用余弦定理 的推论将角化为边,通过化简求出a2=b2+c2.从运算量看,解法一优于解法二,解题时 可根据具体情况进行选择. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运
8、动的基本概念 第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用 如图,在四边形ABCD中, ADBD,AC平分BAD,BC=2,BD=3+,BCD的 面积S=,ABC为锐角. (1)求CD; (2)求ABC的大小. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用 思路点拨 (1)由S=BDBCsinCBD求出sinCBD,从而求得CBD的大小,再由余弦定理 求出CD. (2)在BCD中,利用正弦定理求出sinBDC,进而求出cosBDC. 在ACD中,由正弦定理得=, 在ABC中,由正弦定理得=, 联立,结合AC平分BAD即可求得sinABC,进而
9、求出ABC的大小. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用 解析 (1)在BCD中,S=BDBCsinCBD.因为BC=2,BD =3+,所以sinCBD=. 因为ABC为锐角,所以CBD=30. 在BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BCBDcosCBD=(2)2+(3+)2- 22(3+)=9,解得CD=3(负值舍去).所以CD的长为3. (2)在BCD中, 由正弦定理得=, 即= , 解得sinBDC=, 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用 BCBD, BDC也
10、为锐角,cosBDC=. 在ACD 中,由正弦定理得=, 即=, 在ABC中,由正弦定理得=, 即=, AC平分BAD, CAD=BAC, 由得= , 解得sinABC=,因为ABC为锐角,所以ABC=45. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用 正弦定理、余弦定理与平面向量的综合应用 在解三角形的问题中,必然要用到三角形的内角和定理、正弦定理、余弦定 理及三角形的有关性质进行边角转化,这有利于找出解决问题的思路. 解决余弦定理与三角恒等变换、平面向量的综合应用问题时,思路是以余弦 定理、平面向量为解题工具,通过三角恒等变换来解决,对于
11、有些问题需正弦定理 与余弦定理结合使用来解决. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用 设向量a=,b=(cos x,sin x+cos x),xR,记函数f(x)=ab. (1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f(A)=,a=,求ABC面积的 最大值. 思路点拨 (1)利用平面向量数量积的运算以及三角恒等变换即可求得f(x),从而求出f(x)的单调 递增区间. (2)利用f(A)= 可求得A,再利用余弦定理和基本不等式求出bc的最大值,最后利用三 角形面积公式即可得解. 第第1
12、讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用 解析 (1)由题意得, f(x)=ab=sin xcos x+(sin x-cos x)(sin x+cos x)=sin 2x- cos 2x=sin. 令2k-2x-2k+,kZ, 解得k-xk+,kZ, 函数f(x)的单调递增区间为,kZ. (2)f(A)=, sin=, 又ABC为锐角三角形, 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用 2A-=, A=. 在ABC中,由余弦定理,得2=b2+c2-bc(2-)bc(当且仅当b=c时,等号成立),
13、 bc=2+. SABC=bcsin A=bc(2+)=(当且仅当b=c时,等号成立). ABC面积的最大值为. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用 正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用 把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角,通过建 立数学模型来求解.具体步骤如下: 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用 在解三角形实际应用题中,作图是最关键的一步,只有根据实际问题作出准确 的图形,才能如实地反映实际情况,才能将实际问题抽象成解三角形的数学模型,才 能正确解
14、决问题. 要正确画出和理解实际问题中的平面图形应注意以下几点: 1.准确把握实际测量中的有关名词和术语,比如方向角与方位角的区别; 2.将空间问题转化成平面问题; 3.恰当构造三角形. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用 如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的两个观测点,现位于A点北偏 东45,B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60且与B点 相距20海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援 船到达D点需要多长时间? 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第六章第
15、六章 平面向量及其应用平面向量及其应用 解析 由题意知AB=5(3+)海里,DBA=90-60=30,DAB=45,ADB=105. 在DAB中,由正弦定理得=, DB= =10(海里). 又DBC=DBA+ABC=30+(90-60)=60,BC=20 海里,在DBC中,由余弦 定理得CD2=BD2+BC2-2BDBCcosDBC=300+1 200-210 20 =900, CD=30海里, 该救援船到达D点需要的时间为 =1小时. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用 疑难提示转换数学问题时,要重视以下几个方面: 第一,解答距离问题时,注意基线选择要适当,选定或创建的三角形要确定,选择正弦 定理还是余弦定理要确定. 第二,解答高度问题时,要理解仰角、俯角的概念,仰角与俯角都在同一铅垂平面内, 把“高”放在直角三角形中,根据所给的角、边的关系,求出与高相关的一条边长, 再求高. 第三,解答角度问题时,要注意弄清方位角、方向角的概念,区分它们与三角形内角 的关系,找出它们的内在联系.
