1、1 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 第二课时等比数列的性质及实际应用第二课时等比数列的性质及实际应用 课标要求素养要求 1.能根据等比数列的定义推出等比数列 的性质，并能运用这些性质简化运算. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的 等比关系，并解决相应的问题. 通过推导等比数列的性质及其应用，提 升学生的数学抽象和逻辑推理素养，通 过利用等比数列的相关公式解决实际应 用问题，提升学生的数学建模和数学运 算素养. 本资料分享自千人QQ群323031380 期待你的加入与分享 2 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 新知探究 1915年，波兰数学家谢尔宾斯基创造了一个美妙的“艺
2、术品”， 被人们称为谢尔宾斯基三角形，如图所示.我们来数一数图中那些 白色的同一类三角形的个数，可以得到一列数：1，3，9， 27，我们知道这是一个等比数列. 问题在等差数列an中有这样的性质：若mnpq，那么amanapaq， 用上述情境中的数列验证，在等比数列中是否有类似的性质？ 提示在等比数列an中，若mnpq，那么amanapaq. 3 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 常用等比数列的性质 1.如果mnkl(m，n，k，lN*)，则有_. amanakal 4 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 a2an1 5 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 拓展深化 微
3、判断 1.知道等比数列的某一项和公比，可以计算等比数列的任意一项.( ) 2.若an为等比数列，且mnp(m，n，pN*)，则amanap.( ) 6 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 3.若an，bn都是等比数列，则anbn是等比数列.( ) 提示反例：an为：1，1，1，1，bn为1，1，1，1，则 anbn为：0，0，0，0，显然不是等比数列. 4.若数列an的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则an是等比数 列.( ) 提示反例：1，3，2，6，4，12，显然满足条件，但不是等比数列. 7 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 答案C 8 创新设计创新设计 课堂
4、互动课前预习素养达成 2.在等比数列an中，已知a31，a54，a128，则a10_. 解析由a3a12a5a10得184a10，解得a102. 答案2 9 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 微思考 1.在等比数列an中，若amanakal，是否有mnkl成立？ 提示不一定成立，如an2，a1a2a3a4，但1234. 2.若数列an是各项都是正数的等比数列，那么数列lg an还是等比数列吗？ 提示是等差数列. 10 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 题型一等比数列性质的应用 【例1】已知an为等比数列. (1)若an0，a2a42a3a5a4a625，求a3a5； (2)
5、若an0，a5a69，求log3a1log3a2log3a10的值. (2)根据等比数列的性质，得a5a6a1a10a2a9a3a8a4a79， a1a2a9a10(a5a6)595， log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a9a10)log39510. 11 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 【迁移1】在例1(1)中，添加条件a1a74，求an. 解由等比数列的性质得a1a7a3a54，又由例1(1)知a3a55，解得a3 1，a54或a34，a51， 若a31，a54，则q2，an2n3； 12 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 【迁移2】把例1(2)
6、的条件改为“公比为3，a1a2a3a303300，求log3a1log3a2 log3a10的值. 解 a1a2a3a30(a1a2a3a10)q100(a1a2a3a10)q200(a1a2a3a10)q300(a1a2a3a10)3 3300， 即a1a2a3a101， 则log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10)log310. 13 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 规律方法巧用等比数列的性质解题 (1)解答等比数列问题的基本方法基本量法. 基本思路：运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，解出a1和q，然后利用通 项公式求解； 优缺点：适用面广，入手简单
7、，思路清晰，但有时运算稍繁. (2)利用等比数列的性质解题 基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关 系，选择恰当的性质解题； 优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量. 14 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 15 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 解析(1)由a6a12a4a146，且a4a145，解得a42，a143或a43，a142， 答案(1)A(2)16 16 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 题型二等差数列与等比数列的综合问题 【例2】已知an为等差数列，且a1a38，a2a412. (1)求an的通项公式； (2
8、)记an的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk2成等比数列，求正整数k的值. 所以ana1(n1)d22(n1)2n. 17 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 即k25k60，解得k6或k1(舍去)，因此k6. 18 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 规律方法解决等差、等比数列的综合问题应注意的四个方面 (1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用. (2)对于解答题注意基本量及方程思想. (3)注重问题的转化，利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比 数列，以便利用公式和性质解题. (4)当题中出现多个数列时，既要纵向考查单一数列的项与项之间的关系，又要 横向考查
9、各数列之间的内在联系. 19 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 【训练2】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且 第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数. 所以，当a4，d4时，所求四个数为0，4，8，16； 当a9，d6时，所求四个数为15，9，3，1. 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 20 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 当a8，q2时，所求四个数为0，4，8，16； 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 21 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 题型三等比数列的实际应用 【
10、例3】某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速 度贬值. (1)用一个式子表示n(nN*)年后这辆车的价值. (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 22 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 解(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，an， 由题意，得a113.5，a213.5(110%)，a313.5(110%)2，. 由等比数列定义，知数列an是等比数列， 首项a113.5，公比q110%0.9， ana1qn113.5(0.9)n1. n年后车的价值为an113.50.9n万元. (2)由(1)得a5a1q4
11、13.50.948.9(万元)， 用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元. 23 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 规律方法求解此类问题应先把实际问题转化为等比数列问题，在建立等比数列 模型后，运算中往往要运用指数运算等，要注意运算的准确性，对于近似计算问 题，答案要符合题设中实际问题的需要. 24 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 【训练3】画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个 正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，这样共画了 10个正方形，则第10个正方形的面积等于_. 25 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 一、
12、素养落地 1.通过学习等比数列性质的应用，提升数学运算素养，通过解决等比数列实际应 用问题，提升数学建模素养. 2.解决等比数列的问题，通常考虑两种方法： (1)基本量法：利用等比数列的基本量a1，q，先求公比，后求其他量. (2)数列性质：等比数列相邻几项的积成等比数列、与首末项等距离的两项的 积相等、等比中项的性质等在解题中经常被用到. 26 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 3.解决数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数 列问题，是哪种数列.在求解过程中应注意首项的确立，时间的推算，不要在 运算中出现问题. 27 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养
13、达成 二、素养训练 1.(多选题)若数列an是等比数列，则下面四个数列中也是等比数列的有() 解析当c0时，can不是等比数列，当数列an的公比q1时，anan10， 不是等比数列；由等比数列的定义，选项CD中的数列是等比数列. 答案CD 28 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 2.在等比数列an中，a46，a818，则a12() A.24 B.30 C.54 D.108 答案C 29 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 答案1 30 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 4.在九章算术中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，甲、乙、 丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为_. 31 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 5.在等比数列an中，已知a4a72，a5a68，求a1a10. 解因为数列an为等比数列，所以a5a6a4a78. 32 本节内容结束
