1、本资料分享自千人教师 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自千人教师 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 第第 2 课时课时基本不等式的实际应用基本不等式的实际应用 课后训练课后训练巩固提升巩固提升 A组 1.当 x0 时,y=12 ? +4x 的最大值为() A.-4B.-8C.-8 3D.-16 解析:x0, y=- 12 ? + (-4?) -2- 12 ? (-4?)=-8 3. 答案:C 2.函数 y= ? ?+1的最大值为( ) A.2 5 B.1 2 C. 2 2 D.1 解析:当 x=0 时,y=0;当 x0 时,x+12 ?0,则 y ?
2、 2 ? ? 1 2,当且仅当 x=1 时,等号成立. 故函数 y= ? ?+1的最大值为 1 2. 答案:B 3.当 a0 时,关于代数式 2? ?2+1,下列说法正确的是( ) A.有最大值无最小值B.有最小值无最大值 C.有最小值也有最大值D.无最小值也无最大值 解析:a0, 2? ?2+1 ? 2 ?+1 ? 2 2 ?1 ? =1,当且仅当 a=1 ?,即 a=1 时,取等号,故 a0,代数式 2? ?2+1有最大值 1,没有最小值. 答案:A 4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车并将其投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润 y(单 位:万元)与营运年数 x 的函数关系为 y=
3、-(x-6)2+11(xN*),则营运的年平均利润最大时,每辆客车的营 运年数为() A.3B.4C.5D.6 解析:由题意可知,? ?=- ? + 25 ? +12-2 ? 25 ? +12,当且仅当 x=25 ? 时,等号成立,即 x=5 时,营运的年平 均利润最大. 答案:C 5.若对 x0,y0,有(x+2y) 2 ? + 1 ? m 恒成立,则 m 的取值范围是() A.m8B.m8C.m2)在 x=a 处取最小值,则 a= . 解析:y=x+ 1 ?-2=x-2+ 1 ?-2+2. x2,x-20. y=x-2+ 1 ?-2+22 (?-2) 1 ?-2+2=4, 当且仅当 x-2
4、= 1 ?-2,即 x=3 时,“=”成立. 又 y 在 x=a 处取最小值,a=3. 答案:3 7.已知 a0,b0,1 ? + 2 ?=2,则 a+2b 的最小值为 . 解析:a0,b0,1 ? + 2 ?=2, 本资料分享自千人教师 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自千人教师 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 a+2b=1 2(a+2b) 1 ? + 2 ? ? 1 2 5+2? ? + 2? ? 1 2(5+4)= 9 2,当且仅当 2? ? ? 2? ? ,且1 ? + 2 ?=2,即 a=b= 3 2时,取等号, a+2b 的最小值为9
5、2. 答案:9 2 8.在 4+9=60 的两个中,分别填入两个自然数,使它们的倒数和最小,应分别填上 和. 解析:设两数为 x,y,即 4x+9y=60, 1 ? + 1 ? ? 1 ? + 1 ? 4?+9? 60 = 1 60 13 + 4? ? + 9? ? 1 60(13+12)= 5 12, 当且仅当4? ? ? 9? ? ,且 4x+9y=60,即 x=6,且 y=4 时,等号成立,故应分别填上 6,4. 答案:64 9.(1)求函数 y= 1 4?-5+4x ? 5 4 的最小值; (2)求函数 y=x(a-2x)(x0,a 为大于 2x 的常数)的最大值; (3)已知 x0,
6、y0,且1 ? + 9 ?=1,求 x+y 的最小值. 解:(1)x5 4,4x-50, y= 1 4?-5+4x= 1 4?-5+(4x-5)+57, 当且仅当 4x-5= 1 4?-5,即 x= 3 2时,取等号. y 的最小值为 7. (2)x0,a2x, y=x(a-2x)=1 22x(a-2x) 1 2 2?+(?-2?) 2 2 ? ?2 8 , 当且仅当 x=? 4时取等号,y 的最大值为 ?2 8 . (3)方法一:1 ? + 9 ?=1, x+y=(x+y) 1 ? + 9 ? =10+? ? + 9? ? . x0,y0,? ? + 9? ? 2 ? ? 9? ? =6.
7、当且仅当? ? ? 9? ? ,即 y=3x 时,取等号. 又1 ? + 9 ?=1,x=4,y=12. 当 x=4,y=12 时,x+y 取最小值 16. 方法二:由1 ? + 9 ?=1,得 x= ? ?-9. x0,y0,y9. x+y= ? ?-9+y=y+ ?-9+9 ?-9 =y+ 9 ?-9+1=(y-9)+ 9 ?-9+10. y9,y-90, y-9+ 9 ?-9+102 (?-9) 9 ?-9+10=16, 当且仅当 y-9= 9 ?-9,即 y=12 时,取等号. 又1 ? + 9 ?=1,x=4. 当 x=4,y=12 时,x+y 取最小值 16. 10.某房地产开发公
8、司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD,公园由形状为长方形 A1B1C1D1的 休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区 A1B1C1D1的面积为 4 000 平方米,人行道的宽分 别为 4 米和 10 米(如图所示). 本资料分享自千人教师 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自千人教师 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 (1)若设休闲区的长和宽的比|?1?1| |?1?1|=x(x1),求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数解析式; (2)要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1的长和宽该如何设计? 解:(1)设休闲区的
9、宽为 a 米,则长为 ax 米,由 a2x=4 000,得 a=20 10 ? . 则 S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4 000+(8x+20)20 10 ? +160 =80 10 2 ? + 5 ? +4 160(x1). (2)80 10 2 ? + 5 ? +4 16080 102 2 ? 5 ?+4 160 =1 600+4 160=5 760. 当且仅当 2 ? ? 5 ?,即 x=2.5 时,等号成立,此时 a=40,ax=100. 所以要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1应设计为长 100米,宽 40 米. B 组 1.若 a0,b0
10、,且 a+b=4,则下列不等式恒成立的是() A. 1 ? 1 4 B.1 ? + 1 ?1 C. ?2D.a2+b28 解析:4=a+b2 ?(当且仅当 a=b 时,等号成立),即 ?2,ab4,故 1 ? 1 4,选项 A,C 不成立; 1 ? + 1 ? ? ?+? ? ? 4 ?1,选项 B 不成立; a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab8,选项 D 成立. 答案:D 2.已知 x,y0,x+y=1,若 4xy1B.t1C.t2 解析:由基本不等式,得 4xy4 ?+? 2 2=1,当且仅当 x=y=1 2时,等号成立,所以 4xy 的最大值为 1,则 t1. 因此实数 t
11、的取值范围是 t1. 答案:A 3.若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是() A.24 5 B.28 5 C.5D.6 解析:由 x+3y=5xy 可得 1 5? + 3 5?=1,所 以 3x+4y=(3x+4y) 1 5? + 3 5? ? 9 5 + 4 5 + 3? 5? + 12? 5? 13 5 +2 3? 5? 12? 5? ? 13 5 + 12 5 =5,当且仅当 x=1,y=1 2时,取等 号. 故 3x+4y 的最小值是 5. 答案:C 4.已知正数 x,y 满足 x2+2xy-3=0,则 2x+y 的最小值是() A.1B.3C.6D.12
12、 解析:x2+2xy-3=0,y=3-? 2 2? , 2x+y=2x+3-? 2 2? ? 3?2+3 2? ? 3? 2 + 3 2?2 3? 2 3 2?=3. 当且仅当3? 2 ? 3 2?,即 x=1 时,取等号. 答案:B 5.函数 y=? 2+2?+2 ?+1 (x-1)的图象的最低点坐标是. 本资料分享自千人教师 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自千人教师 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 解析:由题意得,y=(?+1) 2+1 ?+1 =(x+1)+ 1 ?+12,当不等式取等号时,x=0,y=2,即函数图象的最低点坐标为 (0,2
13、). 答案:(0,2) 6.设 a1,b0,若 a+b=2,则 2 ?-1 + 1 ?的最小值为 . 解析:由 a1,b0,且 a+b=2,得 a-1+b=1,a-10,b0, 则 2 ?-1 + 1 ? ? 2 ?-1 + 1 ? (a-1)+b=3+ 2? ?-1 + ?-1 ? 3+2 2? ?-1 ?-1 ? =3+2 2, 当且仅当 2? ?-1 ? ?-1 ? ,且 a+b=2,即 a=3- 2,b= 2-1 时取得最小值 3+2 2. 答案:3+2 2 7.已知正常数 a,b 和正变数 x,y 满足 a+b=10,? ? + ? ?=1,x+y 的最小值是 18,求 a,b 的值
14、. 解:x+y=(x+y) ? ? + ? ? =a+b+? ? + ? ? a+b+2 ?=( ? +?)2,( ? +?)2=18. 又 a+b=10,a=2,b=8 或 a=8,b=2. 8.某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内预计销售量 Q(单位:万件)与广告费 x(单位: 万元)之间的函数关系为 Q=3?+1 ?+1 (x0).已知生产此产品的年固定投入为 3 万元,每生产 1 万件此产品 仍需再投入 32 万元.若每件产品的销售价为“年平均每件产品的生产成本的 150%”与“年平均每件产 品所占广告费的 50%”之和. (1)试将年利润 W(单位:万元)表示为年广告费
15、 x(单位:万元)的函数; (2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大利润为多少? 解:(1)由题意可得,产品的生产成本为(32Q+3)万元,每件销售价为32?+3 ? 150%+? ?50%, 所以年销售收入为 32?+3 ? 150% + ? ? 50% Q=3 2(32Q+3)+ 1 2x. 所以年利润 W=3 2(32Q+3)+ 1 2x-(32Q+3)-x= 1 2(32Q+3-x)= -?2+98?+35 2(?+1) (x0). (2)令 x+1=t(t1),则 W=-(?-1) 2+98(?-1)+35 2? =50- ? 2 + 32 ? . 因为 t1,所以? 2 + 32 ? 2 ? 2 32 ? =8,即 W42,当且仅当? 2 ? 32 ? ,即 t=8 时,W 有最大值 42,此时 x=7. 故当年广告费为 7 万元时,企业年利润最大,最大值为 42 万元.
