1、5.2.3简单复合函数的导数简单复合函数的导数 课标要求素养要求 能求简单的复合函数(限于形如 f(ax b)的导数. 在根据复合函数的求导法则求复合函数 的导数的过程中，发展学生的数学运算 素养. 新知探究 假设某商品的利润 y 是销售量 u 的函数，销售量 u 是销售价格 x 的函数，且 yf(u)60uu2，ug(x)603x， 那么，不难看出，利润 y 是销售价格 x 的函数，且有 y60uu260(603x)(603x)2180 x9x2， 上式也可这样得到 f(g(x)60g(x)g(x)2180 x9x2. 问题 1函数 f(g(x)与 f(x)和 g(x)是什么关系？ 提示f(
2、g(x)是 f(x)与 g(x)的复合函数. 问题 2求 f(u)60uu2的导数 f(u)，ug(x)603x 的导数 ug(x). 提示f(u)602u602(603x)6x60，ug(x)3. 问题 3设 yf(g(x)180 x9x2，求 y，并观察 f(u)和 ug(x)的关系. 提示y18018x，易知 yf(u) ux. 1.复合函数的概念 一般地，对于两个函数 yf(u)和 ug(x)，如果通过中间变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数 yf(u)和 ug(x)的复合函数，记作 yf(g(x). 2.复合函数的求导法则正确地拆分复合函数是求导的前提 一般地，
3、 对于由函数yf(u)和ug(x)复合而成的函数yf(g(x)， 它的导数yf(u)， ug(x)的导数间的关系为 yxyuux，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 拓展深化 微判断 1.函数 f(x)ln(2x1)是由 yln u 与 u2x1 复合而成的.() 2.f(x)2x21 x是复合函数.() 提示f(x)不是复合函数. 3.设 f(x)e x，则 f(x)ex.() 提示f(x)e x. 微训练 1.设 f(x)ln(2x1)，则 f(x)() A. 1 2x1 B. 2 2x1 C. 1 2x1 D. 2 2x1 解析f(x)ln(2x
4、1)(2x1) 2 2x1. 答案B 2.设 f(x)cos 2x3x，则 f 2 () A.5B.3 C.4D.3 2 解析f(x)2sin 2x3，f 2 2sin 33. 答案B 3.曲线 f(x)e 2x3 在(1，f(1)处的切线的斜率是_. 解析f(x)2e 2x3，f(1)2e，即 k2e. 答案2e 微思考 1.复合函数 yf(g(x)，用中间变量 yf(u)，ug(x)代换后求导的顺序是什么？ 提示根据复合函数的求导法则 yxyuux，求导的顺序是从外向内逐层求导. 2.函数 f(x) 1 2xex是由哪两个函数复合而成的？ 提示由 yu 1 2和 u2xe x复合而成. 题
5、型一求复合函数的导数 【例 1】求下列函数的导数. (1)y 1 12x；(2)ylog 2(2x1)； (3)ye3x 2； (4)ysin 2x 3 . 解(1)y(12x) 1 2， 设 yu 1 2，u12x， 则 yxyuux(u 1 2)(12x) 1 2u 3 2 (2)(12x) 3 2. (2)设 ylog2u，u2x1， 则 yxyuux(log2u)(2x1) 1 uln 22 2 （2x1）ln 2 即 y 2 （2x1）ln 2 (3)设 yeu，u3x2， 则 yxyuux(eu)(3x2) 3eu3e3x 2， 即 y3e3x 2. (4)设 ysin u，u2x
6、 3， 则 yxyuux(sin u) 2x 3 cos u22cos 2x 3 . 规律方法(1)求复合函数的导数的步骤 (2)求复合函数的导数的注意点：分解的函数通常为基本初等函数；求导时分 清是对哪个变量求导；计算结果尽量简洁. 【训练 1】求下列函数的导数： (1)y(2x1)4； (2)y102x 3； (3)ye xsin 2x； (4)yln 3x ex . 解(1)设 yu4，u2x1， 则 yxyuux(u4)(2x1) 4u328(2x1)3. (2)设 y10u，u2x3， 则 yxyuux(10u)(2x3) 10uln 1022102x 3ln 10102x3ln 1
7、00. (3)yx(e x)sin 2xex(sin 2x) e xsin 2x2excos 2x. (4)yx（ln 3x）e xln 3x（ex） （ex）2 1 xe xln 3xex （ex）2 1xln 3x xex . 题型二与复合函数有关的切线问题 【例 2】求曲线 y 3 3x21在点(1， 3 4)处的切线方程. 解y( 3 3x21)1 3(3x 21)2 3(3x 21) 1 3 1 3 （3x21）2 6x 2x 3 （3x21）2 ， 当 x1 时，y 1 3 2 ，切线的斜率为 k 1 3 2 ， 过点(1， 3 4)的切线方程为 y 3 4 1 3 2 (x1)，
8、 即 x 3 2y10. 规律方法解此类问题的关键有两个： (1)求复合函数的导数，这是正确解答的前提条件，要注意把复合函数逐层分解， 求导时不要有遗漏. (2)求切线方程，注意切线所过的点是否为切点. 【训练 2】 已知 f(x)为偶函数， 当 x0 时， f(x)e x1x， 则曲线 yf(x)在点(1， 2)处的切线方程是_. 解析设 x0，则x0 时，f(x)ex 1x. 因此，当 x0 时，f(x)ex 11，f(1)e012. 则曲线 yf(x)在点(1，2)处的切线的斜率为 f(1)2， 所以切线方程为 y22(x1)，即 2xy0. 答案2xy0 题型三复合函数导数的综合问题
9、【例 3】某港口在一天 24 小时内潮水的高度近似满足关系式 s(t) 3sin 12t 5 6 (0t24)，其中 s 的单位是 m，t 的单位是 h，求函数在 t18 时的 导数，并解释它的实际意义. 解设 f(x)3sin x，x(t) 12t 5 6 ， 所以 s(t)f(x)(t)3cos x 12 4cos 12t 5 6 ， 将 t18 代入 s(t)， 得 s(18) 4cos 7 3 8(m/h). s(18)表示当 t18 h 时，潮水的高度上升的速度为 8 m/h. 规律方法将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导数反映 了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭
10、示物体在某时刻的变化状况. 【训练 3】已知某质点的位移 s 与位移时间 t 满足 stet 1，则质点在 t1 时的 瞬时速度为_. 解析s(t1)et 1，当 t1 时，s(1)2. 答案2 一、素养落地 1.通过学习复合函数的求导法则及其简单应用，提升数学运算素养. 2.求复合函数的导数应处理好以下环节： (1)中间变量的选择应是基本函数结构； (2)关键是正确分析函数的复合层次； (3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； (4)善于把一部分表达式作为一个整体； (5)最后要把中间变量换成自变量的函数. 二、素养训练 1.设 f(x)sin 2x，则 f(x)() A.cos
11、2xB.2cos 2x C.cos 2xD.2cos 2x 解析f(x)(sin 2x)(2x)2cos 2x. 答案B 2.设 f(x)ln(3x2)3x2，则 f(0)() A.1B.3 2 C.1D.2 解析f(x) 3 3x26x，故 f(0) 3 20 3 2. 答案B 3.函数 y 1 （3x1）2的导数 y_. 解析y(3x1) 2， 设 yu 2，u3x1， yxyuux(u 2)(3x1) 2u 336(3x1)3 6 （3x1）3. 答案 6 （3x1）3 4.设曲线 yeax在点(0，1)处的切线与直线 x2y10 垂直，则 a_. 解析易知 yaeax，y|x0ae0a
12、， 故 a 1 2 1，则 a2. 答案2 5.已知函数 f(x)的导函数 f(x)，若 f(x)f 9 sin 3xcos 3x，则 f 9 _. 解析f(x)f 9 sin 3xcos 3x， f(x)f 9 3cos 3x3sin 3x， 令 x 9可得 f 9 f 9 3cos 33sin 3 3 2f 9 3 3 2 ， 解得 f 9 3 3. 答案3 3 基础达标 一、选择题 1.设 f(x)log3(x1)，则 f(2)() A.ln 3B.ln 3 C. 1 ln 3 D. 1 ln 3 解析f(x) 1 （x1）ln 3，故 f(2) 1 ln 3. 答案C 2.函数 yx(
13、1ax)2(a0)，且 y|x25，则 a() A.1B.1 C.2D.2 解析y(1ax)22ax(1ax)，则 y|x212a28a15(a0)，解得 a1. 答案A 3.设函数 f(x)(2 0202 019x)3，则 f(1)() A.6 057B.6 057 C.2 019D.2 019 解析f(x)3(2 019)(2 0202 019x)2， 则 f(1)3(2 019)6 057. 答案B 4.(多选题)下列结论中不正确的是() A.若 ycos 1 x，则 y 1 xsin 1 x B.若 ysin x2，则 y2xcos x2 C.若 ycos 5x，则 ysin 5x D
14、.若 y1 2xsin 2x，则 yxsin 2x 解析对于 A，ycos1 x，则 y 1 x2sin 1 x，故错误； 对于 B，ysin x2，则 y2xcos x2，故正确； 对于 C，ycos 5x，则 y5sin 5x，故错误； 对于 D，y1 2xsin 2x，则 y 1 2sin 2xxcos 2x，故错误.答案 ACD 5.曲线 ycos 2x 6 在 x 6处切线的斜率为( ) A.2B.2 C.1 2 D.1 2 解析设 ycos u，u2x 6， yx(cos u) 2x 6 2sin 2x 6 ， 故 k2sin 2 6 6 2. 答案B 二、填空题 6.某铁路线新开
15、行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为 160 km/h.假设 “绿巨人”开出站一段时间内，速度 v(m/s)与行使时间 t(s)的关系 v0.4t0.6t2， 则出站后“绿巨人”速度首次达到 24 m/s 时加速度为_(m/s2). 解析当 v24 时，0.4t0.6t224，解得 t6(负根舍去)，v0.41.2t，当 t 6 时，v0.41.267.6(m/s2). 答案7.6 7.已知直线 yx1 与曲线 yln(xa)相切，则 a 的值为_. 解析设直线 yx1 切曲线 yln(xa)于点(x0，y0)，则 y01x0，y0ln(x0 a)， 又曲线导数为 y 1 xa， y|
16、xx0 1 x0a1，即 x 0a1. 又 y0ln(x0a)，y00，x01，a2. 答案2 8.曲线 ye 1 2 x在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_. 解析y1 2e 1 2 x，y|x 41 2e 2. 曲线在点(4，e2)处的切线方程为 ye21 2e 2(x4)， 整理得：y1 2e 2xe2， 切线与坐标轴的交点分别是(0，e2)，(2，0)， 则切线与坐标轴围成的三角形面积 S1 2|e 2|2|e2. 答案e2 三、解答题 9.求下列函数的导数： (1)y(12x2)8；(2)y 1 1x2；(3)ysin 2xcos 2x；(4)ycos x 2. 解(
17、1)设 yu8，u12x2， y(u8)(12x2)8u74x 8(12x2)74x32x(12x2)7. (2)设 yu 1 2，u1x 2， 则 yx u 1 2 (1x2) 1 2u 3 2 (2x)x(1x2) 3 2. (3)yx(sin 2xcos 2x) (sin 2x)(cos 2x) 2cos 2x2sin 2x2 2sin 2x 4 . (4)设 ycos u，ux2， 则 yx(cos u)(x2) (sin u)2x(sin x2)2x 2xsin x2. 10.已知 a0，f(x)ax22x1ln(x1)，l 是曲线 yf(x)在点 P(0，f(0)处的切 线.求切线
18、 l 的方程. 解f(x)ax22x1ln(x1)，f(0)1. f(x)2ax2 1 x1 2ax 2（2a2）x1 x1 ， f(0)1， 切点 P 的坐标为(0，1)，l 的斜率为1，切线 l 的方程为 xy10. 能力提升 11.已知函数 f(x) 2 2 019x1x 2 019sin x(xR)， 则 f(2 019)f(2 019)f(2 019) f(2 019)值为_. 解析由题意，f(x)22 019 xln 2 019 （2 019x1）2 2 019x2 018cos x， f(x)22 019 xln 2 019 （2 019 x1）2 2 019(x)2 018co
19、s(x) 22 019 xln 2 019 （2 019x1）2 2 019x2 018cos xf(x)， f(x)是偶函数，f(x)f(x)0， 又 f(x)f(x) 2 2 019x1 x2 019sin x 2 2 019 x1(x) 2 019sin(x) 2 2 019x1 22 019x 2 019x12. f(2 019)f(2 019)f(2 019)f(2 019)2. 答案2 12.有一把梯子贴靠在笔直的墙上， 已知梯子上端下滑的距离 S(单位： m)关于时间 t(单位：s)的函数为 SS(t)5 259t2.求函数在 t1 s 时的导数，并解释它的 实际意义. 解函数
20、S5 259t2可以看作函数 S5 x和 x259t2的复合函数， 其中 x 是中间变量. 由导数公式表可得 Sx1 2x 1 2，x t18t. 故由复合函数求导法则得 StSxxt 1 2x 1 2 (18t) 9t 259t2， 将 t1 代入 S(t)， 得 S(1)2.25(m/s). 它表示当 t1 s 时，梯子上端下滑的速度为 2.25 m/s. 创新猜想 13.(多选题)曲线 ye2xcos 3x 在点(0，1)处的切线与其平行直线 l 的距离为 5，则 直线 l 的方程可能为() A.y2x6B.y2x4 C.y3x1D.y3x4 解析ye2x(2cos 3x3sin 3x)
21、， y|x02， 则所求的切线方程为 y2x1，设直线 l 的方程为 y2xb，则 5|b1| 5 ， 解得 b6 或4. 直线 l 的方程为 y2x6 或 y2x4. 答案AB 14.(多空题)设 f(x)ln(x1) x1axb(a，bR，a，b 为常数)，曲线 yf(x) 与直线 y3 2x 在(0，0)点相切，则 a_，b_. 解析由曲线 yf(x)过(0，0)点， 可得 ln 11b0，故 b1. 由 f(x)ln(x1) x1axb， 得 f(x) 1 x1 1 2 x1a， 则 f(0)11 2a 3 2a， 此即为曲线 yf(x)在点(0，0)处的切线的斜率. 由题意，得3 2a 3 2，故 a0. 所以 a0，b1. 答案01
