1、7.2 本资料分享自千人 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列 基础过关练基础过关练 题组一题组一随机变量及离散型随机变量的概念随机变量及离散型随机变量的概念 1.(2020 辽宁省实验中学高二下期中)下列随机变量 X 不是离散型随机变量的是 () A.某机场候机室中一天的游客数量为 X B.某寻呼台一天内收到的寻呼次数为 X C.某水文站观察到一天中长江的水位为 X D.某立交桥一天经过的车辆数为 X 2.(2020 天津武清高二下期中)同时抛掷 3 枚硬币,正面朝上的个数是随机变量,这 个随机变量的所有可能取值为() A.3B.
2、0C.1、2、3 D.0、1、2、3 3.(2020 河北沧州一中高二下阶段测试)抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出 的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为 X,则“X4”表示试验的结果为() A.第一枚为 5 点,第二枚为 1 点 B.第一枚大于 4 点,第二枚也大于 4 点 C.第一枚为 6 点,第二枚为 1 点 D.第一枚为 4 点,第二枚为 1 点 4.一串钥匙有 5 把,且只有其中的一把能打开锁,依次试验,打不开的扔掉,直到找 到能开锁的钥匙为止,则试验次数 X 的最大值为() A.5B.2C.3D.4 5.袋中装有 10 个红球,5 个黑球,每次随机抽取一个球,若取到黑球,则放回袋中
3、, 直到取到红球为止,若抽取的次数为 X,则表示“放入袋中 5 回小球”的事件为 () A.X=4B.X=5C.X=6D.X4 6.在某次考试中需回答三个问题,考试规定:每题回答正确得 100 分,回答不正确 得-100 分,则某同学回答这三个问题的总得分 X 的所有可能取值为. 7.在一个盒子中放有标号分别为 1,2,3 的三张卡片,现从这个盒子中有放回地先 后抽取两张卡片,标号分别为 x,y,记 X=|x-2|+|y-x|.写出随机变量 X 的可能取值, 并说明随机变量 X 所表示的随机试验的结果. 题组二题组二离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列 8.(2020 广东实验中学高二
4、下期中)从含有 2 名女生的 10 名大学毕业生中任选 3 人进行某项调研活动,记女生入选的人数为 X,则 X 的分布列为() X012 P 7 15 7 15 1 15 A X123 P 1 15 7 15 7 15 B X012 P 1 2 1 3 1 6 C X012 P 1 15 7 15 7 15 D 9.一盒中有 12 个乒乓球,其中 9 个新球,3 个旧球,从盒中任取 3 个球来用,用完后 放回盒中,此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量,则 P(X=4)的值为() A. 1 220 B.27 55 C.21 25 D. 27 220 10.(2020 云南昆明高二期中)袋中装有
5、8 个大小相同的小球,其中 1 个黑球,3 个 白球,4 个红球. (1)若从袋中一次摸出 2 个小球,求恰为异色球的概率; (2)若从袋中一次摸出 3 个小球,且 3 个球中,黑球与白球的个数都没有超过红球 的个数,记此时红球的个数为 X,求 X 的分布列. 11.追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为 了改善空气质量,某城市环保局随机抽取了一年内 100 天的空气质量指数(AQI)的 检测数据,结果统计如表所示. AQI0,50(50,100 (100,150 (150,200 (200,250(250,300 空气 质量 优良轻度污染中度污染重度污染重度污染
6、 天数61418272510 (1)从空气质量指数属于0,100的天数中任取 3 天,求这 3 天中空气质量至少有 2 天为优的概率; (2)已知某企业每天因空气质量造成的经济损失 y(单位:元)与空气质量指数 x 的 关系式为 y= 0,0 ? 100, 220,100 ? ? 250, 1 480,250 ? ? 300, 假设该企业 9 月每天的空气质量对应的概率 以表中 100 天的空气质量的频率代替.记该企业 9 月每天因空气质量造成的经济 损失为 X 元,求 X 的分布列. 题组三题组三离散型随机变量分布列的性质离散型随机变量分布列的性质 12.(2020 河北阜平一中高二月考)离
7、散型随机变量 X 的分布列如表所示,则 c 等于 () X1234 P0.2 0.3 0.4c A.0.1B.0.24C.0.01D.0.76 13.(2020 四川乐山高三调研)离散型随机变量 X 的分布列如表所示,则 P(|X- 2|=1)=. X1234 P 1 6 1 4 m 1 3 14.(2020 北京第二中学高二上期末)离散型随机变量 X 的分布列如表所示. X123456 P0.2x0.250.10.150.2 则 x=,P(X3)=. 15.(2020 河北张家口第一中学高二下月考)已知离散型随机变量 X 的分布列 P ? = ? 5 =ak(k=1,2,3,4,5). (1
8、)求常数 a 的值; (2)求 P ? 3 5 ; (3)求 P 1 10 ? ? ? 3 5 . 16.已知随机变量 X 的分布列如表所示. X-2-10123 P 1 12 1 4 1 3 1 12 1 6 1 12 (1)求随机变量 Y=X 2 的分布列; (2)若 P(Yx)=11 12,求实数 x 的取值范围. 题组四题组四两点分布两点分布 17.(2020 安徽亳州第二中学高二下期末)已知离散型随机变量 X 的分布列如表所 示,则常数 c 为() X01 P9c 2-c 3-8c A.1 3 B.2 3 C.1 3或 2 3 D.1 4 18.某项试验的成功率是失败率的 2 倍,用
9、随机变量 X 描述 1 次试验的成功次数, 则 P(X=1)等于() A.0B.1 2 C.1 3 D.2 3 19.已知袋内有 5 个白球和 6 个红球,从中摸出 2 个球,记 X= 0,两球全红, 1,两球非全红,则 X 的分布列为. 能力提升练能力提升练 题组一题组一离散型随机变量分布列的性质及其应用离散型随机变量分布列的性质及其应用 1.(2020 北京丰台十二中高二下月考,)离散型随机变量 X 的概率分布规律为 P(X=k)=a(11-2k)(k=1,2,3,4,5),其中 a 是常数,则 P 5 2 ? ? ? 13 3 的值为() A.3 5 B. 3 25 C.4 5 D. 8
10、 25 2.(2020 陕西西安庆安高级中学高二下月考,)设离散型随机变量 X 的分布列如 表所示,则下列各式成立的是() X-10123 P0.10a0.100.200.40 A.P(X-1)=1 C.P(X3)=1D.P(X0)=0 3.(2019 山西运城康杰中学高二期末,)离散型随机变量 X 的分布列为 P(X=k)= ? ?(?+1),k=1,2,3,4,c 为常数, 则 P 1 2 ? ? ? 5 2 的值为. 4.(2020 山东烟台高二下期末,)设离散型随机变量 X 的分布列 为 P(X=k)=m 2 3 ?,k=1,2,3,则 m 的值为 . 5.(2020 浙江新高考名校联
11、考,)已知离散型随机变量 X 的分布列如表所示,当 1 ?+ 4 ?取最小值时,x= . X123 Px 1 2 y 题组二题组二求离散型随机变量的分布列求离散型随机变量的分布列 6.(2020 湖南株洲高二上期中,)袋中装着标有数字 1,2,3,4,5 的小球各 2 个,从 袋中任取 3 个小球,每个小球被取出的可能性都相等,用 X 表示取出的 3 个小球上 的最大数字. (1)求取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率; (2)求随机变量 X 的分布列. 7.(2020 北京顺义牛栏山一中高三模拟,)由于研究性学习的需要,中学生李华持 续收集了手机“微信运动”团队中特定 20 名成员每天行
12、走的步数,其中某一天的 数据记录如下: 5 8606 5207 3266 7987 3258 4308 2157 4537 4466 754 7 6386 8346 4606 8309 8608 7539 4509 8607 2907 850 对这 20 个数据按组距为 1 000 进行分组,并统计整理,绘制了如下尚不完整的统 计表(设步数为 x). 组别步数分组频数 A5 500 x6 5002 B6 500 x7 50010 C7 500 x8 500m D8 500 x9 5002 E9 500 x4 只有一种情况,即 X=5,此时第一枚为 6 点,第二枚为 1 点, 故选 C. 4.D
13、由于不能打开的钥匙会扔掉,故扔掉 4 把打不开的钥匙后,第 5 把钥匙就是 能开锁的钥匙,故 X 的最大值为 4,故选 D. 5.C根据题意可知,如果没有抽到红球,则将黑球放回,然后继续抽取,抽取次数 X 的可能取值为 1,2,3,所以“放入袋中 5 回小球”即前 5 次都是抽到黑球,第 6 次抽到了红球,所以 X=6,故选 C. 6.答案-300,-100,100,300 解析若答对 0 个问题,则得分为-300;若答对 1 个问题,则得分为-100;若答对 2 个问题,则得分为 100;若问题全答对,则得分为 300. 7.解析因为 x,y 的可能取值均为 1,2,3,所以|x-2|=0
14、或 1,|y-x|=0 或 1 或 2, 所以 X 的可能取值为 0,1,2,3. 用(x,y)表示第一次抽到的卡片号码为 x,第二次抽到的卡片号码为 y,则随机变量 X 取各值的意义如下: X=0 表示(2,2); X=1 表示(1,1),(2,1),(2,3),(3,3); X=2 表示(1,2),(3,2); X=3 表示(1,3),(3,1). 8.A由题意得 X 的可能取值为 0,1,2, 则 P(X=0)= C8 3 C10 3 = 7 15, P(X=1)= C8 2C 2 1 C10 3 = 7 15, P(X=2)= C8 1C 2 2 C10 3 = 1 15. 可得 X
15、的分布列如表所示. X012 P 7 15 7 15 1 15 故选 A. 9.D因为从盒中任取 3 个球来用,用完后放回盒中,此时盒中旧球个数 X=4,即旧 球增加一个,所以取出的三个球为 1 个新球,2 个旧球,所以 P(X=4)= C9 1C 3 2 C12 3 = 27 220,故选 D. 10.解析(1)摸出的 2 个小球为异色球的种数为C1 1C 7 1+C 3 1C 4 1=19,从 8 个小球中摸 出 2 个小球的种数为C8 2=28,故所求概率 P=19 28. (2)由题意知,随机变量 X 的可能取值为 1,2,3.符合条件的摸法有以下三种: 摸得 1 个红球,1 个黑球,
16、1 个白球,共有C1 1C 4 1C 3 1=12 种不同摸法, 摸得 2 个红球,1 个其他颜色球,共有C4 2C 4 1=24 种不同摸法, 摸得的 3 个球均为红球,共有C4 3=4 种不同摸法, 故符合条件的不同摸法有 40 种. 故 P(X=1)=12 40= 3 10, P(X=2)=24 40= 3 5, P(X=3)= 4 40= 1 10. 可得 X 的分布列如表所示. X123 P 3 10 3 5 1 10 11.解析(1)设 Y 为选取的 3 天中空气质量为优的天数, 则 P(Y=2)= ?6 2? 14 1 C20 3 = 7 38, P(Y=3)= C6 3 C20
17、 3 = 1 57, 则这 3 天中空气质量至少有 2 天为优的概率为 7 38+ 1 57= 23 114. (2)根据题意可知 X 的可能取值为 0,220,1 480, P(X=0)=P(0 x100)= 20 100= 1 5, P(X=220)=P(100 x250)= 70 100= 7 10, P(X=1 480)=P(250 x300)= 10 100= 1 10. 可得 X 的分布列如表所示. X02201 480 P 1 5 7 10 1 10 12.A由离散型随机变量分布列的性质知,0.2+0.3+0.4+c=1,解得 c=0.1.故选 A. 13.答案 5 12 解析易
18、知1 6+ 1 4+m+ 1 3=1,解得 m= 1 4.由|X-2|=1 得 X=3 或 X=1,故 P(|X- 2|=1)=P(X=3)+P(X=1)=1 4+ 1 6= 5 12. 14.答案0.1;0.55 解析易知 0.2+x+0.25+0.1+0.15+0.2=1,解得 x=0.1, P(X3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.2+0.1+0.25=0.55. 15.解析由题意得随机变量 X 的分布列如表所示. X 1 5 2 5 3 5 4 5 1 Pa2a 3a 4a 5a (1)由分布列的性质得,a+2a+3a+4a+5a=1,解得 a= 1 15. (2)解法
19、一:P ? 3 5 =P ? = 3 5 +P ? = 4 5 +P(X=1)= 3 15+ 4 15+ 5 15= 4 5. 解法二:P ? 3 5 =1-P ? ? 3 5 =1- 1 15 + 2 15 =4 5. (3) 1 10X 3 5,X= 1 5或 X= 2 5, P 1 10 ? ? ? 3 5 =P ? = 1 5 +P ? = 2 5 = 1 15+ 2 15= 1 5. 16.解析(1)由随机变量 X 的分布列知,Y 的可能取值为 0,1,4,9, 则 P(Y=0)=1 3, P(Y=1)=1 4+ 1 12= 4 12= 1 3, P(Y=4)= 1 12+ 1 6=
20、 3 12= 1 4, P(Y=9)= 1 12. 可得随机变量 Y 的分布列如表所示. Y0149 P 1 3 1 3 1 4 1 12 (2)P(Yx)=11 12,P(Yx)=1-P(Y=9)=P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=4),实数 x 的取值范 围是(4,9. 17.A由离散型随机变量分布列的性质知, 9?2-c 0, 3-8? 0, 9?2-c + 3-8c = 1, 解得 c=1 3,故选 A. 18.D设失败率为 p,则成功率为 2p, X 的分布列如表所示. X01 Pp2p p+2p=1,解得 p=1 3, P(X=1)=2 3,故选 D. 19.答案 X01 P 3
21、 11 8 11 解析由题意得,X 的可能取值为 0,1, P(X=0)= C6 2 C11 2 = 3 11, P(X=1)= C5 2+C 5 1C 6 1 C11 2 = 8 11. 可得 X 的分布列如表所示. X01 P 3 11 8 11 能力提升练 1.D由题意得 a(9+7+5+3+1)=1,解得 a= 1 25, P 5 2 ? ? ? 13 3 =P(X=3)+P(X=4)= 5 25+ 3 25= 8 25,故选 D. 2.A根据分布列的性质可得,0.10+a+0.10+0.20+0.40=1,解得 a=0.20, 所以 P(X-1)=1-P(X=-1)=1-0.10=0
22、.9, 故 B 不成立; P(X3)=1-P(X=3)=1-0.40=0.6,故 C 不成立; P(X0,y0), 所以1 ?+ 4 ?=2(x+y) 1 ? + 4 ? =2 5 + ? ? + 4? ? 2(5+4)=18, 当且仅当 y=2x,即 x=1 6,y= 1 3时取等号,此时 1 ?+ 4 ?取得最小值 18. 6.解析(1)“取出的 3 个小球上的数字互不相同”记为事件 A, 则?为“取出的 3 个小球上有 2 个数字相同”, P(?)= C5 1C 8 1 C10 3 =1 3,P(A)=1- 1 3= 2 3. (2)由题意可知 X 的可能取值为 2,3,4,5. P(X
23、=2)= C2 2C 2 1+C 2 1C 2 2 C10 3 = 4 120= 1 30, P(X=3)= C4 2C 2 1+C 4 1C 2 2 C10 3 = 16 120= 2 15, P(X=4)= C6 2C 2 1+C 6 1C 2 2 C10 3 = 36 120= 3 10, P(X=5)= C8 2C 2 1+C 8 1C 2 2 C10 3 = 64 120= 8 15. 可得 X 的分布列如表所示. X2345 P 1 30 2 15 3 10 8 15 7.解析(1)根据 20 个数据可得步数在7 500,8 500)范围的有 4 个,所以 m=4,步 数在9 50
24、0,10 500)范围的有 2 个,所以 n=2. (2)A,E 两个组别共有 4 个数据:5 860,6 460,9 860,9 860.从中任取两个数据有 6 种取法,X 的可能取值为 0,600,3 400,4 000, P(X=0)=1 6,P(X=600)= 1 6, P(X=3 400)=2 6= 1 3, P(X=4 000)=2 6= 1 3. 可得 X 的分布列如表所示. X06003 4004 000 P 1 6 1 6 1 3 1 3 8.解析(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A,则 P(A)=2 5 3 4= 3 10. (2)由题意可知,随机变量 X 的可能取值为 200,300,400. 则 P(X=200)= A2 2 A5 2= 1 10, P(X=300)= A3 3+C 2 1C 3 1A 2 2 A5 3 = 3 10, P(X=400)= 2A3 2C 2 1C 3 1 A5 4 =3 5. 可得 X 的分布列如表所示. X200300400 P 1 10 3 10 3 5 解题反思求 P(X=400)时,可利用离散型随机变量分布列的性质,P(X=400)=1- P(X=200)-P(X=300)=1- 1 10- 3 10= 3 5.
