1、高考真题 （2019江苏卷）在平面直角坐标系 xOy 中，设点集(0,0),(1,0),(2,0),( ,0) n An， (0,1),( ,1),(0,2),(1,2),(2,2),( ,2),. nn BnCnnN 令 nnnn MABC.从集合 Mn中任取两 个不同的点，用随机变量 X 表示它们之间的距离. （1）当 n=1 时，求 X 的概率分布； （2）对给定的正整数 n（n3） ，求概率 P（Xn） （用 n 表示）. 【解析】 （1）当1n 时，X的所有可能取值是12 25， X的概率分布为 22 66 7744 (1), (2) C15C15 P XP X ， 22 66 22
2、22 (2), (5) C15C15 P XP X （2）设()A a b，和()B cd，是从 n M中取出的两个点 因为()1()P XnP Xn ，所以仅需考虑Xn的情况 若bd，则ABn，不存在Xn的取法； 若01bd，则 22 ()11ABacn ，所以Xn当且仅当 2 1ABn ，此时 0 acn，或 0anc，有 2 种取法； 若02bd，则 22 ()44ABacn ，因为当3n 时， 2 (1)4nn ，所以Xn当 且仅当 2 4ABn ，此时0 acn，或 0anc，有 2 种取法； 若12bd，则 22 ()11ABacn ，所以Xn当且仅当 2 1ABn ，此时 0 a
3、cn，或 0anc，有 2 种取法 综上，当Xn时，X的所有可能取值是 2 1n + 和 2 4n ，且 22 22 2424 42 (1),(4) CC nn P XnP Xn 因此， 22 2 24 6 ()1(1)(4)1 C n P XnP XnP Xn 【答案】 （1）见解析； （2）见解析. （2019天津卷（理） ）设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为 2 3 .假定甲、乙两位同 学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （）用X表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望； （）设M为事件“上学期间的三
4、天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的天 数恰好多 2”，求事件M发生的概率. 【解析】 （）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7:30 之前到校的概率均为 2 3 ， 故 2 3, 3 XB ，从面 3 3 21 0,1,2,3 33 kk k P XkCk . 所以，随机变量X的分布列为： X0123 P 1 27 2 9 4 9 8 27 随机变量X的数学期望 2 ()32 3 E X . （）设乙同学上学期间的三天中 7:30 之前到校的天数为Y，则 2 3, 3 YB . 且3,12,0MXYXY. 由题意知事件3,1XY与2,0X
5、Y互斥， 且事件3X 与1Y ，事件2X 与0Y 均相互独立， 从而由（）知： ()3,12,0P MPXYXY 3,12,0P XYP XY (3) (1)(2) (0)P XP YP XP Y 824120 279927243 . 【答案】 （）见解析； （） 20 243 （2019北京卷（理） ）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付 方式之一为了解某校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100 人， 发现样本中 A，B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情 况如下
6、： 交 付金额（元） 支付方式 （0,1000（1000,2000大于 2000 仅使用 A18 人9 人3 人 仅使用 B10 人14 人1 人 （）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的概率； （）从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2 人中上个月支付金额大于 1000 元的人数，求 X 的分布列和数学期望； （）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用 A 的学生中，随机抽查 3 人，发 现他们本月的支付金额都大于 2000 元根据抽查结果，能否认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 20
7、00 元的人数有变化？说明理由 【解析】 （）由题意可知，两种支付方式都是用的人数为：1003025 540人，则： 该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的概率 402 1005 p . （）由题意可知， 仅使用 A 支付方法的学生中，金额不大于 1000 的人数占 3 5 ，金额大于 1000 的人数占 2 5 ， 仅使用 B 支付方法的学生中，金额不大于 1000 的人数占 2 5 ，金额大于 1000 的人数占 3 5 ， 且 X 可能的取值为 0,1,2. 326 0 5525 p X ， 22 3213 1 5525 p X ， 326 2 5525 p X ， X 的分布列为：
8、 X012 p X 6 25 13 25 6 25 其数学期望： 6136 0121 252525 E X . （）我们不认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化.理由如下： 随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于 概率。 学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定，出现题中这 种现象可能是发生了“小概率事件”. 【答案】 （） 2 5 ； （）见解析； （）见解析. （2019全国 I 卷（理） ）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行
9、动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲 药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药 治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮 试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治 愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、乙 两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为 X （1）求X的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，(
10、0,1,8) i p i 表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲 药比乙药更有效”的概率， 则 0 0p ， 8 1p ， 11iiii papbpcp (1,2,7)i ， 其中(1)aP X ， (0)bP X，(1)cP X假设0.5，0.8 （i）证明： 1 ii pp (0,1,2,7)i 为等比数列； （ii）求 4 p，并根据 4 p的值解释这种试验方案的合理性 【解析】 （1）由题意可知X所有可能的取值为：1，0，1 11P X ；011P X；11P X 则X的分布列如下： X101 P1 111 （2）0.5，0.8 0.5 0.80.4a ，0.5 0.80.5 0.20
11、.5b ，0.5 0.20.1c （i） 11 1,2,7 iiii papbpcpi 即 11 0.40.50.11,2,7 iiii ppppi 整理可得： 11 541,2,7 iii pppi 11 41,2,7 iiii ppppi 1ii pp 0,1,2,7i 是以 10 pp为首项，4为公比的等比数列 （ii）由（i）知： 1101 44 ii ii ppppp 7 871 4ppp， 6 761 4ppp， 0 101 4ppp 作和可得： 88 017 80111 1 441 4441 1 43 ppppp 1 8 3 41 p 44 0123 44011 84 1 441311 4444 1 434141257 ppppp 4 p表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药 更有效的概率为 4 1 0.0039 257 p ，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理. 【答案】 （1）见解析； （2） （i）见解析； （ii） 4 1 257 p .
