1、第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 第三节第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 考点考点 2 两异面直线所成的角两异面直线所成的角 （2018天津卷（文） ）如图，在四面体 ABCD 中，ABC 是等边三角形，平面 ABC平面 ABD，点 M 为棱 AB 的中点，AB2，AD2 ?，BAD90. （1）求证：ADBC； （2）求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值； （3）求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值 【解析】 （1）证明由平面 ABC平面 ABD，平面 ABC平面 ABDAB，ADAB，AD平面 ABD，可得 AD平面 ABC，故
2、ADBC （2）如图，取棱 AC 的中点 N，连接 MN，ND 因为 M 为棱 AB 的中点，所以 MNBC 所以DMN（或其补角）为异面直线 BC 与 MD 所成的角 在 RtDAM 中，AM1，故 DM ?t? ? ?. 因为 AD平面 ABC，所以 ADAC 在 RtDAN 中，AN1，故 DN ?t? ? ?. 在等腰三角形 DMN 中，MN1， 可得 cosDMN ? ? t? ? ?t . 所以异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值为 ? ?t . （3）如图，连接 CM.因为ABC 为等边三角形，M 为边 AB 的中点，所以 CMAB，CM ?. 又因为平面 ABC平面 ABD
3、，平面 ABC平面 ABDAB， 而 CM平面 ABC，故 CM平面 ABD， 所以CDM 为直线 CD 与平面 ABD 所成的角 在 RtCAD 中，CD ?t? ?t?4. 在 RtCMD 中，sinCDMt? tt ? ? . 所以直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值为 ? ? . 【答案】见解析 （2018全国卷（文） ）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 CC1的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角 的正切值为（） A ? ? B ? ? C ? ? D ? ? 【解析】如图，因为 ABCD， 所以 AE 与 CD 所成角为EAB 在 RtABE 中，设 AB2， 则 BE ?， 则 tanEAB?t ? ? ? ， 所以异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为 ? ? . 【答案】C
