1、第九章第九章 平面解析几何平面解析几何 第五节第五节 椭圆椭圆 考点考点 3 直线和椭圆综合问题直线和椭圆综合问题 （2018浙江卷）如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线 C：y24x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上 （1）设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴； （2）若 P 是半椭圆 x2? ? ? 1（x0）上的动点，求PAB 面积的取值范围 【解析】 （1）设 P（x0，y0） ，A ? ? ? ? ，B ? ? ? . 因为 PA，PB 的中点在抛物线上，所以 y1，y2为方程 ?香? ? 24 ? ? ?香? ? ，
2、 即 y22y0y8x0? ?0 的两个不同的实根 所以 y1y22y0， 所以 PM 垂直于 y 轴 （2）由（1）可知 ?香 ? ? ? 香? ? ? 所以|PM|? 香（? ? ? ?）x0? ? ? ?3x0， |y1y2|2 ? ? ? ? ?. 所以PAB 的面积 SPAB? ?|PM|y1y2| ? ? ? (? ?) ? ?. 因为? ? ? ? 1（1x00） ， 所以? ?4x04? ? ?4x044,5， 所以PAB 面积的取值范围是 ? ? ? ? ? . 【答案】见解析 （2018江苏卷）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点? ? ? ，焦点为 F1（
3、?，0） ，F2（ ?，0） ， 圆 O 的直径为 F1F2. （1）求椭圆 C 及圆 O 的方程； （2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P. 若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标； 直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点若OAB 的面积为? ? ? ，求直线 l 的方程 【解析】 （1）因为椭圆 C 的焦点为 F1（ ?，0） ，F2（ ?，0） ， 可设椭圆 C 的方程为? ? ? ? ?1（ab0） 又点? ? ? 在椭圆 C 上， 所以 ? ? 香 ? ? ? ? ? ? ? 解得 ? ? ? ?h 因此，椭圆 C 的方程为? ? ? y21.
4、因为圆 O 的直径为 F1F2，所以其方程为 x2y23. （2）设直线 l 与圆 O 相切于点 P（x0，y0） （x00，y00） ， 则? ? ? ?3， 所以直线 l 的方程为 y? ?（xx0）y0， 即 y? ?x ? ?. 由 ? ? 香 ? ? ? ? ? ? ? 香 ? ? ? 消去 y，得 （4? ? ? ?）x224x0 x364? ? ?0.（*） 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点， 所以（24x0）24（4? ? ? ?）（364? ? ?） 48? ?（? ? ?2）0. 因为 x00，y00， 所以 x0 ?，y01. 因此，点 P 的坐标为（ ?，1
5、） 因为OAB 的面积为? ? ? ， 所以? ?ABOP ? ? ? ，从而 AB? ? ? . 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由（*）得 x1,2 ? ?香? ?(? ? ?) ?(? ?香? ? ?) ， 所以 AB2（x1x2）2（y1y2）2 ? 香 ? ? ? ? ?香? ?(? ? ?) (? ?香? ? ?)?. 因为? ? ? ?3， 所以 AB2 ?(? ?) (? ?香?)? ? ?，即 2? ?45? ? ?1000， 解得? ? ?（? ?20 舍去） ，则? ? ? ?， 代入48? ?（? ? ?2）0，满足题意， 因此点 P 的坐标为 ? ? ?
6、 ? ? . 所以直线 l 的方程为 y ?x3 ?，即 ?xy3 ?0. 【答案】见解析 （2018天津卷（文） ）设椭圆? ? ? ? ?1（ab0）的右顶点为 A，上顶点为 B，已知椭圆的离心率为 ? ? ，|AB| ?. （1）求椭圆的方程； （2）设直线 l：ykx（k0）与椭圆交于 P，Q 两点，l 与直线 AB 交于点 M，且点 P，M 均在第四象限若 BPM 的面积是BPQ 面积的 2 倍，求 k 的值 【解析】 （1）设椭圆的焦距为 2c，由已知有? ? ? ? ?，又由 a 2b2c2，可得 2a3B又|AB| ?香 ? ?， 从而 a3，b2，所以椭圆的方程为? ? ?
7、? ?1. （2）设点 P 的坐标为（x1，y1） ，点 M 的坐标为（x2，y2） ，由题意知，x2x10，点 Q 的坐标为（x1， y1） 由BPM 的面积是BPQ 面积的 2 倍，可得|PM|2|PQ|，从而 x2x12x1（x1），即 x25x1. 由题意求得直线 AB 的方程为 2x3y6， 由方程组 ? ? 消去 y，可得 x2 ? ?香?. 由方程组 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 消去 y，可得 x1 ? ?香? . 由 x25x1，可得 ?香 ?5（3k2） ，两边平方，整理得 18k225k80，解得 k香 ?或 k? ?. 当 k香 ?时，x290，不合题意，舍去；
8、当 k? ?时，x212，x1 ? ? ，符合题意 所以 k 的值为? ?. 【答案】见解析 （2018全国卷（文） ）已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C：? ? ? ? ?1 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M （1，m） （m0） （1）证明：k? ?； （2）设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且? ? ?t? ?t? ?0.证明：2|? ?|?t? ?|?t? ?|. 【解析】证明（1）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则 ? ? ? ? ? ?1， ? ? ? ? ? ? 1. 两式相减，并由? ?k，得 ?香? ? ?香? ? k0. 由题设知?
9、香? ? 1，?香? ? m，于是 k ? ?t. 由题设得 0m? ?，故 k ? ?. （2）由题意得 F（1,0） 设 P（x3，y3） ，则 （x31，y3）（x11，y1）（x21，y2）（0,0） 由（1）及题设得 x33（x1x2）1， y3（y1y2）2m0. 又点 P 在 C 上，所以 m? ?，从而 P ? ? ? ? ， |? ? ?|? ?. 于是|?t ? ?| (? ?)?香 ? ? (? ? ?)?香 ? ? ? ? ? ? 2? ?. 同理|?t ? ?|2? ? . 所以|?t ? ?|?t? ?|4? ?（x1x2）3. 故 2|? ? ?|?t? ?|?t
10、? ?|. 【答案】见解析 （2018北京卷（文） ）已知椭圆 M：? ? ? ? ?1（ab0）的离心率为 ? ? ，焦距为 2 ?.斜率为 k 的直线 l 与 椭圆 M 有两个不同的交点 A，B （1）求椭圆 M 的方程； （2）若 k1，求|AB|的最大值； （3）设 P（2,0） ，直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C，直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为 D，若 C，D 和点 Q ? ? ? ? ? ? 共线，求 k. 【解析】 （1）由题意得 ? ?香 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得 a ?，b1. 所以椭圆 M 的方程为? ? ?y 21. （2）设直线
11、 l 的方程为 yxm，A（x1，y1） ，B（x2，y2） 由 ? ? ? 香 t? ? ? 香 ? ? 得 4x26mx3m230，36m216（3m23）12m2480， 即2m2. 所以 x1x2?t ? ，x1x2?t ? ? . 所以|AB| (? ?)?香 (? ?)? ?(? ?)? ? (?香 ?)? ? ?t? ? . 所以当 m0，即直线 l 过原点时，|AB|最大，最大值为 ?. （3）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由题意得? ?3? ? ?3，? ? ?3? ? ?3. 直线 PA 的方程为 y ? ?香?（x2） 由 ? ? ? ?香? ? 香 ?
12、? ?香 ? ? 得 （x12）23? ?x212? ? ?x12? ? ?3（x12）20. 设 C（xC，yC） ， 所以 xCx1 ? ? (?香?)?香? ? ? ? ?香? . 所以 xC ? ? ?香? x1? ?香? . 所以 yC ? ?香?（xC2） ? ?香?. 设 D（xD，yD） ， 同理得 xD? ?香? ，yD ? ?香?. 记直线 CQ，DQ 的斜率分别为 kCQ，kDQ， 则 kCQkDQ ? ?香? ? ? ? ?香? 香? ? ? ?香? ? ? ? ?香? 香? ? 4（y1y2x1x2） 因为 C，D，Q 三点共线， 所以 kCQkDQ0. 故 y1y2x1x2. 所以直线 l 的斜率 k? ?1. 【答案】见解析
