1、！ 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 第一节第一节 导数的概念及运算、定积分导数的概念及运算、定积分 1导数的概念 (1)函数 yf(x)在 xx0处的导数：函数 yf(x)在 xx0处的瞬时变化率 lim x0 y x lim x0 fx0 xfx0 x 为函数 yf(x)在 xx0处的导数， 记作 f(x0)或 yxx0， 即 f(x0) lim x0 y xli m x0 fx0 xfx0 x . 函数 yf(x)的导数 f(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方 向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡” (2)导
2、数的几何意义：函数 f(x)在 xx0处的导数 f(x0)的几何意义是在曲线 yf(x)上点 P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数)相应地，切线方程 为 yy0f(x0)(xx0) 曲线 yfx在点 Px0，y0处的切线是指 P 为切点，斜率为 kfx0的切线，是唯一 的一条切线. (3)函数 f(x)的导函数：称函数 f(x)lim x0 fxxfx x 为 f(x)的导函数 (4)f(x)是一个函数，f(x0)是函数 f(x)在 x0处的函数值(常数)，f(x0)0. 2基本初等函数的导数公式 原函数导函数 f(x)xn(nQ*)f(x)nxn
3、1 f(x)sin xf(x)cos x f(x)cos xf(x)sin x f(x)ax(a0，且 a1)f(x)axln a f(x)exf(x)ex f(x)logax(a0，且 a1)f(x) 1 xln a f(x)ln xf(x)1 x 3.导数的运算法则 (1)f(x)g(x)f(x)g(x)； 微信公众号：学起而飞 ！ (3) fx gx fxgxfxgx gx2 (g(x)0) 4复合函数的导数 复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf(u)，ug(x)的导数间的关系为 yxyuux， 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 5定积分的
4、概念 在baf(x)dx 中，a，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，f(x)叫 做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式 6定积分的性质 (1)bakf(x)dxkbaf(x)dx(k 为常数)； (2)baf1(x)f2(x)dxbaf1(x)dxbaf2(x)dx； (3)baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx(其中 acb) 求分段函数的定积分， 可以先确定不同区间上的函数解析式， 然后根据定积分的性质3 进行计算. 7微积分基本定理 一般地，如果 f(x)是区间a，b上的连续函数，并且 F(x)f(x)，那么baf(x)dxF(b) F(a
5、)，常把 F(b)F(a)记作 F(x)|ba，即baf(x)dxF(x)|baF(b)F(a) 8定积分的几何意义 定积分baf(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、曲线 yf(x)及直线 xa，xb 之间的曲边梯 形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为 S. Sbaf(x)dx；Sbaf(x)dx；Scaf(x)dxbcf(x)dx； Sbaf(x)dxbag(x)dxbaf(x)g(x)dx. 1定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正 可负. 2当曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分
6、 的值为负；当位于 x 轴上方的曲边梯形与位于 x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值 为零. 二、二、常用结论常用结论 (2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)； 微信公众号：学起而飞 ！ 2熟记以下结论：(1) 1 x 1 x2；(2)(ln|x|) 1 x； (3) 1 fx fx fx2(f(x)0)； (4)af(x)bg(x)af(x)bg(x) 3常见被积函数的原函数 (1)bacdxcx|ba；(2)baxndx xn 1 n1 |b a(n1)； (3)basin xdxcos x|ba；(4)bacos xdxsin x|ba； (5)ba1 xdxln|
7、x| b a；(6)baexdxex|ba. 考点一考点一 导数的运算导数的运算 1f(x)x(2 018ln x)，若 f(x0)2 019，则 x0等于() Ae2B1 Cln 2De 解析：选 Bf(x)2 018ln xx1 x2 019ln x，故由 f(x 0)2 019，得 2 019 ln x02 019，则 ln x00，解得 x01. 2(2019宜昌联考)已知 f(x)是函数 f(x)的导数，f(x)f(1)2xx2，则 f(2)() A.128ln 2 12ln 2 B. 2 12ln 2 C. 4 12ln 2 D2 解析：选 C因为 f(x)f(1)2xln 22x
8、，所以 f(1)f(1)2ln 22，解得 f(1) 2 12ln 2， 所以 f(x) 2 12ln 22 xln 22x， 所以 f(2) 2 12ln 22 2ln 222 4 12ln 2. 3若函数 f(x)ax4bx2c 满足 f(1)2，则 f(1)_. 解析：f(x)4ax32bx， f(x)为奇函数且 f(1)2， f(1)2. 答案：2 4求下列函数的导数 (1)yx2sin x； 1奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数 微信公众号：学起而飞 ！ (2)yln x1 x； (3)ycos x ex ； (4)yxsin 2x 2 cos 2
9、x 2 . 解：(1)y(x2)sin xx2(sin x) 2xsin xx2cos x. (2)y ln x1 x (ln x) 1 x 1 x 1 x2. (3)y cos x ex cos xexcos xex ex2 sin xcos x ex .(4) y xsin 2x 2 cos 2x 2 1 2xsin(4x) 1 2xsin 4x， y1 2sin 4x 1 2x4cos 4x 1 2sin 4x2xcos 4x. 考点二考点二 导数的几何意义及其应用导数的几何意义及其应用 考法(一)求切线方程 例 1(2018全国卷)设函数 f(x)x3(a1)x2ax， 若 f(x)为
10、奇函数， 则曲线 yf(x) 在点(0,0)处的切线方程为() Ay2xByx Cy2xDyx 解析法一：f(x)x3(a1)x2ax， f(x)3x22(a1)xa. 又 f(x)为奇函数，f(x)f(x)恒成立， 即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax 恒成立， a1，f(x)3x21，f(0)1， 曲线 yf(x)在点(0,0)处的切线方程为 yx. 法二：f(x)x3(a1)x2ax 为奇函数， 微信公众号：学起而飞 ！ C. 2 3， 1 3D. 1 3， 2 3 (2)(2018全国卷)曲线 y(ax1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为2，则 a_. 解析(1)由 f(x)e
11、xx，得 f(x)ex1， ex11， 1 ex1(0,1)由 g(x)3ax2cos x，得 g(x)3a2sin x，又2sin x 2,2，3a2sin x23a，23a要使过曲线 f(x)exx 上任意一点的切线 l1，总存在过曲线 g(x)3ax2cos x 上某点处的切线 l2，使得 l1l2，则 23a0， 23a1， 解得1 3a 2 3. (2)y(axa1)ex， 当 x0 时，ya1， a12，解得 a3. 答案(1)D(2)3 考法(四)两曲线的公切线问题 例 4已知曲线 f(x)x3ax1 4在 x0 处的切线与曲线 g(x)ln x 相切，则 a 的值 为_ A1,
12、2B(3，) 围是() 线为 l1，总存在曲线 g(x)3ax2cos x 上某点处的切线 l2，使得 l1l2，则实数 a 的取值范 例 3(1)(2018商丘二模)设曲线 f(x)exx(e 为自然对数的底数)上任意一点处的切 考法(三)由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围) 答案(1,0) ln x011，ln x00，x01，f(x0)0，即 P(1,0) 解析f(x)xln x，f(x)ln x1，由题意得 f(x0)(1)1，即 f(x0)1， f(x0)的坐标为_ 例 2已知函数 f(x)xln x 在点 P(x0， f(x0)处的切线与直线 xy0 垂直， 则切点 P(x0，
13、考法(二)求切点坐标 答案D 曲线 yf(x)在点(0,0)处的切线方程为 yx. a1，即 f(x)3x21，f(0)1， f(x)3x22(a1)xa 为偶函数， 微信公众号：学起而飞 ！ 解析由 f(x)x3ax1 4，得 f(x)3x 2a. f(0)a，f(0)1 4， 曲线 yf(x)在 x0 处的切线方程为 y1 4ax. 设直线 y1 4ax 与曲线 g(x)ln x 相切于点(x 0，ln x0)，g(x)1 x， ln x01 4ax 0， a1 x0， 将代入得 ln x03 4， x0e3 4，a 1 e3 4 e3 4. 答案e3 4 题组训练 1曲线 yx1 x1在
14、点(0，1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( ) A.1 8 B.1 4 C.1 2 D1 解析：选 B因为 y 2 x12，所以 y x02，所以曲线在点(0，1)处的切线方程 为 y12x，即 y2x1，与两坐标轴的交点坐标分别为(0，1)， 1 2，0，所以与两坐标 轴围成的三角形的面积 S1 2|1| 1 2 1 4. 2已知直线 2xy10 与曲线 yaexx 相切(其中 e 为自然对数的底数)，则实数 a 的值为_ 解析：由题意知 yaex12，则 a0，xln a，代入曲线方程得 y1ln a，所 以切线方程为 y(1ln a)2(xln a)，即 y2xln a12x
15、1a1. 答案：1 3若一直线与曲线 yln x和曲线 x2ay(a0)相切于同一点 P，则 a 的值为_ 解析：设切点 P(x0，y0)，则由 yln x，得 y1 x， 微信公众号：学起而飞 ！ 由 x2ay，得 y2 ax，则有 1 x0 2 ax 0， y0ln x0， x20ay0， 解得 a2e. 答案：2e 考点三考点三 定积分的运算及应用定积分的运算及应用 题组训练 1.错误错误!(sin xcos x)dx_. 解析：错误错误!(sin xcos x)dx 错误错误!sin xdx错误错误!cos xdxcos x| 0 sin x| 0 2. 答案：2 2.错误错误!1 x
16、dx错误 错误!4x2dx_. 解析：错误错误!1 xdxln x| e 1 101，因为错误错误!4x2dx 表示的是圆 x2y24 在 x 轴及 其上方的面积，故错误错误!4x2dx1 22 22，故答案为 21. 答案：21 3由曲线 y x，y2x，y1 3x 所围成图形的面积为_ 解析：法一：画出草图，如图所示 解方程组 y x， xy2， y x， y1 3x 及 xy2， y1 3x， 得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3， 1)， 所以所求图形的面积 微信公众号：学起而飞 ！ S错误错误!x 1 3xdx错误错误!2x 1 3xdx 错误错误! x1 3xdx错误错误! 2
17、2 3xdx 2 3x 3 2 1 6x 2 | 1 0 2x1 3x 2 | 3 1 5 66 1 392 1 3 13 6 . 法二：如图所求阴影的面积就是三角形 OAB 的面积减去由 y 轴，y x，y2x 围成 的曲边三角形的面积，即 S1 223错误 错误!(2x x)dx 3 2x1 2x 22 3x 3 2 | 1 0 3 21 2 2 3 13 6 . 答案：13 6 4一物体在力 F(x) 5，0 x2， 3x4，x2 (单位：N)的作用下沿与力 F 相同的方向，从 x 0 处运动到 x4(单位：m)处，则力 F(x)做的功为_J. 解析：由题意知，力 F(x)所做的功为 W
18、错误错误!F(x)dx错误错误!5dx错误错误!(3x4)dx52 3 2x 24x | 4 2 10 3 24 244 3 22 242 36(J) 答案：36 1正确选用求定积分的 4 个常用方法 定理法 性质法 几何法 奇偶性法 2定积分在物理中的 2 个应用 微信公众号：学起而飞 微信公众号：免费下载站 ！ (1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为vv(t)，那么从时 刻 ta 到 tb 所经过的路程 s错误错误!v(t)dt. (2)变力做功，一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同的方向从 xa 移动到 xb 时，力 F(x)所做的功是 W错误错误
19、!F(x)dx. 课时跟踪检测课时跟踪检测 A 级 1曲线 yexln x 在点(1，e)处的切线方程为() A(1e)xy10B(1e)xy10 C(e1)xy10D(e1)xy10 解析：选 C由于 ye1 x，所以 y| x1e1，故曲线 yexln x 在点(1，e)处的 切线方程为 ye(e1)(x1)，即(e1)xy10. 2曲线 f(x)x3x3 在点 P 处的切线平行于直线 y2x1，则 P 点的坐标为() A(1,3)B(1,3) C(1,3)和(1,3)D(1，3) 解析： 选 Cf(x)3x21， 令 f(x)2， 则 3x212， 解得 x1 或 x1， P(1,3)
20、或(1,3)，经检验，点(1,3)，(1,3)均不在直线 y2x1 上，故选 C. 3已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，且满足关系式 f(x)x23xf(2)ln x，则 f(2) 的值等于() A2B2 C9 4 D.9 4 解析：选 C因为 f(x)x23xf(2)ln x，所以 f(x)2x3f(2)1 x，所以 f(2) 223f(2)1 2，解得 f(2) 9 4. 4.(2019四川名校联考)已知函数 f(x)的图象如图所示，f(x)是 f(x) 的导函数，则下列数值排序正确的是() A0f(2)f(3)f(3)f(2) ！ 5.(2019玉林模拟)由曲线yx2和曲线y x围
21、成的一个叶形图如 图所示，则图中阴影部分的面积为() A.1 3 B. 3 10 C.1 4 D.1 5 解析：选 A由 yx2， y x， 解得 x0， y0 或 x1， y1， 所以阴影部分的面积为错误错误! ( xx2)dx 2 3x 3 2 1 3x 3 | 1 0 1 3. 6(2018安庆模拟)设曲线 yeaxln(x1)在 x0 处的切线方程为 2xy10，则 a () A0B1 C2D3 解析：选 Dyeaxln(x1)，yaeax 1 x1，当 x0 时，ya1.曲线 yeaxln(x1)在 x0 处的切线方程为 2xy10，a12，即 a3. 7(2018延边期中)设点 P
22、 是曲线 yx3 3x2 3上的任意一点，则曲线在点 P 处切线 的倾斜角的取值范围为() A. 0， 2 5 6 ， B. 2 3 ， C. 0， 2 2 3 ， D. 2， 5 6 解析：选 C因为 y3x2 3 3，故切线的斜率 k 3，所以切线的倾斜角 的取值范围为 0， 2 2 3 ， . 8若曲线 f(x)xsin x1 在 x 2处的切线与直线 ax2y10 相互垂直，则实数 a _. 0f(3)f(3)f(2)f(2)，故选 C. 解析：选 C设 f(3)，f(3)f(2)，f(2)分别表示直线 n，m，l 的斜率，数形结合知 D0f(3)f(2)f(2)f(3) C0f(3)
23、f(3)f(2)f(2) B0f(3)f(2)0，a2 e， a e b2a 1 a2，当且仅当 a1 时等号成立 答案：2，) 10(2018烟台期中)设函数 F(x)ln xa x(0 x3)的图象上任意一点 P(x 0，y0)处切线的 斜率 k1 2恒成立，则实数 a 的取值范围为_ 解析：由 F(x)ln xa x(0 x3)，得 F(x) xa x2 (0 x3 )，则有 kF(x0)x0a x20 1 2 在(0,3上恒成立，所以 a 1 2x 2 0 x0 max.当 x01 时，1 2x 2 0 x0在(0,3上取得最大值1 2，所 以 a1 2. 答案： 1 2， B 级 1
24、若 f(x)x22错误错误!f(x)dx，则错误错误!f(x)dx() A1B1 3 C.1 3 D1 解析：选 Bf(x)x22错误错误!f(x)dx，错误错误!f(x)dx 1 3x 32x错误 错误!fxdx | 1 0 1 3 微信公众号：学起而飞 ！ 2设 f(x) 1x2，x1，1， x21，x1，2， 则错误错误!f(x)dx 的值为() A. 2 4 3 B. 23 C. 4 4 3 D. 43 解析：选 A错误错误!f(x)dx错误错误!1x2dx错误错误!(x21)dx1 21 2 1 3x 3x | 2 1 2 4 3. 3 等比数列an中， a12， a84， 函数f(
25、x)x(xa1)(xa2)(xa8)， 则f(0)() A26B29 C212D215 解析：选 C因为 f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x (xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x， 所以 f(0)(0a1)(0a2)(0 a8)0a1a2a8. 因为数列an为等比数列， 所以 a2a7a3a6a4a5a1a88， 所以 f(0)84212. 4若存在过点(1,0)的直线与曲线 yx3和 yax215 4 x9 都相切，则 a 等于() A1 或25 64 B1 或21 4 C7 4或 25 64 D7 4或 7 解析：选 A因为
26、yx3，所以 y3x2， 设过点(1,0)的直线与 yx3相切于点(x0，x30)， 则在该点处的切线斜率为 k3x20， 所以切线方程为 yx303x20(xx0)，即 y3x20 x2x30. 又点(1,0)在切线上，所以 x00 或 x03 2. 当 x00 时，切线方程为 y0.由 y0 与 yax215 4 x9 相切可得 a25 64； 当 x03 2时，切线方程为 y 27 4 x27 4 ，由 y27 4 x27 4 与 yax215 4 x9 相切，可得 a 1. 2错误错误!f(x)dx，错误错误!f(x)dx3 1. 微信公众号：学起而飞 ！ 综上，a 的值为1 或25
27、64. 5已知 f1(x)sin xcos x，fn1(x)是 fn(x)的导函数，即 f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)， fn1(x)fn(x)，nN*，则 f2 019(x)() Asin xcos xBsin xcos x Csin xcos xDsin xcos x 解析：选 Af1(x)sin xcos x，f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)f2(x)sin x cos x，f4(x)f3(x)cos xsin x，f5(x)f4(x)sin xcos x，fn(x)的解析式以 4 为周期重复出现，2 01945043，f2 019(x)f3(x)sin
28、xcos x. 6曲线 yln(2x1)上的点到直线 2xy80 的最短距离是() A2 5B2 C2 3D. 3 解析：选 A设 M(x0，ln(2x01)为曲线上的任意一点，则曲线在点 M 处的切线与直线 2xy80 平行时，点 M 到直线的距离即为曲线 yln(2x1)上的点到直线 2xy80 的最短距离 y 2 2x1， 2 2x012，解得 x 01，M(1,0)记点 M 到直线 2xy80 的距 离为 d，则 d |28| 412 5. 7如图，yf(x)是可导函数，直线 l：ykx2 是曲线 yf(x)在 x 3 处的切线，令 g(x)xf(x)，则曲线 g(x)在 x3 处的切
29、线方程为 _ 解析：由题图可知曲线 yf(x)在 x3 处的切线斜率等于1 3，即 f(3) 1 3.又 g(x) xf(x)，所以 g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，由题图可知 f(3)1，所以 g(3) 3f(3)3，g(3)13 1 3 0，则曲线 g(x)在 x3 处的切线方程为 y30. 答案：y30 8设函数 f(x)axb x，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 7x4y120. (1)求 f(x)的解析式； (2)曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形的面积是否 为定值，若是，求此定值；若不是，说明理由 解
30、：(1)方程 7x4y120 可化为 y7 4x3， 当 x2 时，y1 2. 微信公众号：学起而飞 ！ 又 f(x)ab x2，所以 2ab 2 1 2， ab 4 7 4， 解得 a1， b3. 故 f(x)x3 x. (2)是定值，理由如下： 设 P(x0，y0)为曲线 yf(x)上任一点， 由 f(x)13 x2知曲线在点 P(x 0，y0)处的切线方程为 yy0 13 x20(xx0)， 即 y x03 x0 13 x20(xx0) 令 x0，得 y6 x0，得切线与直线 x0 的交点坐标为 0，6 x0. 令 yx，得 yx2x0，得切线与直线 yx 的交点坐标为(2x0,2x0)
31、 所以曲线 yf(x)在点 P(x0，y0)处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形的面积 S 1 2| 6 x0|2x0|6. 故曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形的面积为定 值，且此定值为 6. 9已知函数 f(x)ln xax1 x1 ，曲线 yf(x)在点 1 2，f 1 2 处的切线平行于直线 y10 x 1. (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)设直线 l 为函数 g(x)ln x 图象上任意一点 A(x0，y0)处的切线，问：在区间(1，) 上是否存在 x0，使得直线 l 与曲线 h(x)ex也相切？若存在，满足条件的 x0有几个？
32、 解：(1)函数 f(x)ln xax1 x1 (x0 且 x1)， f(x)1 x 2a x12， 曲线 yf(x)在点 1 2，f 1 2 处的切线平行于直线 y10 x1， f 1 2 28a10，a1，f(x) x21 xx12. x0 且 x1，f(x)0， 函数 f(x)的单调递增区间为(0,1)和(1，)，无单调递减区间 微信公众号：学起而飞 ！ (2)在区间(1，)上存在唯一一个满足条件的 x0. g(x)ln x，g(x)1 x， 切线 l 的方程为 yln x01 x0(xx 0)， 即 y1 x0 xln x 01. 设直线 l 与曲线 h(x)ex相切于点(x1，ex1
33、)， h(x)ex，ex11 x0，x 1ln x0， 直线 l 的方程也可以写成 y1 x0 1 x0(xln x 0)， 即 y1 x0 x ln x0 x0 1 x0. 由得 ln x01ln x0 x0 1 x0，ln x 0 x01 x01 . 下证在区间(1，)上存在唯一一个满足条件的 x0. 由(1)可知，f(x)ln xx1 x1在区间(1，)上单调递增， 又f(e) 2 e10，f(e 2)e 23 e210， 结合零点存在性定理，知方程 f(x)0 在区间(e，e2)上有唯一的实数根，这个根就是 所求的唯一满足条件的 x0. 第二节第二节 导数的简单应用导数的简单应用 一、
34、基础知识一、基础知识 1函数的单调性与导数的关系 在(a，b)内可导函数 f(x)，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于 0.f(x)0f(x)在(a， b)上为增函数f(x)0fx在 (a，b)上为减函数 2函数的极值 (1)函数的极小值： 函数 yf(x)在点 xa 的函数值 f(a)比它在点 xa 附近其他点的函数值都小， fa0 ； 而且在点 xa 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则点a 叫做函数 yfx的极小值点 ， f(a)叫做函数 yf(x)的极小值 微信公众号：学起而飞 ！ 第一课时第一课时导数与函数的单调性导数与函数的单调性 考点一考点一求函数的单调区间求函数
35、的单调区间 1已知函数 f(x)xln x，则 f(x)() A在(0，)上单调递增 处取，则必定在极值处取 有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点 (3)极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定 (2)若函数 f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值 只能用“，”“和”字隔开 (1)若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“”及“或”连接， 二、常用结论二、常用结论 (2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数. 关系 在 x2处取得极小值，则 x2为极小值
36、点，极小值为 f(x2)极大值与极小值之间无确定的大小 (1)极值点不是点，若函数 f(x)在 x1处取得极大值，则 x1为极大值点，极大值为 f(x1)； 0 不是极值点 f(x0)0 是 x0为 f(x)的极值点的必要不充分条件例如，f(x)x3，f(0)0，但 x 0(0)恒成立，“”不能少，必要时还需对“”进行检验. (3)由f(x)在区间(a， b)内单调递增(减)可得f(x)0(0)在该区间内恒成立， 而不是f(x) (2)f(x)0(0)是 f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的必要不充分条件 (1)f(x)0(0)是 f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充分不必要条件
37、 (3)开区间上的单调连续函数无最值, 数 f(x)在a，b上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值 (2)若函数 f(x)在a，b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函 (1)在闭区间a，b上连续的函数 f(x)在a，b上必有最大值与最小值 3函数的最值 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值 值点，f(b)叫做函数 yf(x)的极大值 0；而且在点 xb 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则点 b 叫做函数 yf(x)的极大 函数 yf(x)在点 xb 的函数值 f(b)比它在点 xb 附近的其他点的函数值都大，
38、f(b) (2)函数的极大值： 微信公众号：学起而飞 ！ C在 0，1 e 上单调递增 D在 0，1 e 上单调递减 解析：选 D因为函数 f(x)xln x 的定义域为(0，)， 所以 f(x)ln x1(x0)， 当 f(x)0 时，解得 x1 e， 即函数 f(x)的单调递增区间为 1 e，； 当 f(x)0 时，解得 0 x1 e， 即函数 f(x)的单调递减区间为 0，1 e ，故选 D. 2若幂函数 f(x)的图象过点 2 2 ，1 2 ，则函数 g(x)exf(x)的单调递减区间为_ 解析：设幂函数 f(x)xa，因为图象过点 2 2 ，1 2 ， 所以1 2 2 2 a，a2，
39、 所以 f(x)x2，故 g(x)exx2， 则 g(x)exx22exxex(x22x)， 令 g(x)0，得2x0， 故函数 g(x)的单调递减区间为(2,0) 答案：(2,0) 3(2018开封调研)已知定义在区间(，)上的函数 f(x)xsin xcos x，则 f(x)的单调 递增区间是_ 解析：f(x)sin xxcos xsin xxcos x. 令 f(x)xcos x0(x(，)， 解得x 2或 0 x 2， 即函数 f(x)的单调递增区间是 ， 2 和 0， 2 . 答案： ， 2 和 0， 2 考点二考点二判断含参函数的单调性判断含参函数的单调性 B在(0，)上单调递减
40、微信公众号：学起而飞 ！ (2018全国卷节选)已知函数 f(x)1 xxaln x，讨论 f(x)的单调性 解f(x)的定义域为(0，)， f(x)1 x21 a x x2ax1 x2 . 当 a2 时，则 f(x)0， 当且仅当 a2，x1 时，f(x)0， 所以 f(x)在(0，)上单调递减 当 a2 时，令 f(x)0， 得 xa a 24 2 或 xa a 24 2 . 当 x 0，a a 24 2 a a24 2 ， 时， f(x)0； 当 x a a24 2 ，a a 24 2时，f(x)0. 所 以f(x) 在 0，a a 24 2， a a24 2 ， 上 单 调 递 减 ，
41、 在 a a24 2 ，a a 24 2上单调递增 综合可知， 当a2时， f(x)在(0， )上单调递减； 当a2时， f(x)在 0，a a 24 2， a a24 2 ， 上单调递减，在 a a24 2 ，a a 24 2上单调递增 题组训练 已知函数 g(x)ln xax2bx，其中 g(x)的函数图象在点(1，g(1)处的切线平行于 x 轴 (1)确定 a 与 b 的关系； (2)若 a0，试讨论函数 g(x)的单调性 解：(1)g(x)1 x2axb(x0) 由函数 g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于 x 轴， 得 g(1)12ab0，所以 b2a1. (2)由(1)得
42、 g(x)2ax 22a1x1 x 2ax1x1 x . 因为函数 g(x)的定义域为(0，)， 微信公众号：学起而飞 ！ 所以当 a0 时，g(x)x1 x . 由 g(x)0，得 0 x1，由 g(x)0，得 x1， 即函数 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减 当 a0 时，令 g(x)0，得 x1 或 x 1 2a， 若 1 2a1，即 a 1 2，由 g(x)0，得 x1 或 0 x 1 2a，由 g(x)0，得 1 2ax1， 即函数 g(x)在 0， 1 2a ，(1，)上单调递增，在 1 2a，1上单调递减； 若 1 2a1，即 0a 1 2，由 g(x)0，得
43、 x 1 2a或 0 x1， 由 g(x)0，得 1x 1 2a， 即函数 g(x)在(0,1)， 1 2a，上单调递增，在 1， 1 2a 上单调递减； 若 1 2a1，即 a 1 2，在(0，)上恒有 g(x)0， 即函数 g(x)在(0，)上单调递增 综上可得，当 a0 时，函数 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减； 当 0a1 2时，函数 g(x)在(0,1)， 1 2a，上单调递增，在 1， 1 2a 上单调递减； 当 a1 2时，函数 g(x)在(0，)上单调递增； 当 a1 2时，函数 g(x)在 0， 1 2a ，(1，)上单调递增， 在 1 2a，1上单调递
44、减 考点三考点三根据函数的单调性求参数根据函数的单调性求参数 典例精析 (1)若函数f(x)x1 3sin 2xasin x在(， )单调递增， 则a的取值范围是_ (2)若函数 h(x)ln x1 2ax 22x(a0)在1,4上单调递减，则 a 的取值范围为_ 解析(1)函数 f(x)x1 3sin 2xasin x 在(，)单调递增，等价于 f(x)1 2 3cos 2xacos x 4 3cos 2xacos x5 30 在(，)恒成立设 cos xt，则 g(t) 4 3t 2 微信公众号：学起而飞 ！ at5 30 在1,1恒成立，所以 g14 3a 5 30， g14 3a 5
45、30， 解得1 3a 1 3. (2)因为 h(x)在1,4上单调递减， 所以当 x1,4时，h(x)1 xax20 恒成立， 即 a1 x2 2 x恒成立 由(1)知 G(x)1 x2 2 x， 所以 aG(x)max，而 G(x) 1 x1 21， 因为 x1,4，所以1 x 1 4，1， 所以 G(x)max 7 16(此时 x4)， 所以 a 7 16，又因为 a0， 所以 a 的取值范围是 7 16，0(0，) 答案：(1) 1 3， 1 3(2) 7 16，0(0，) 变式发散 1(变条件)若本例(2)条件变为“函数 h(x)在1,4上单调递增”，则 a 的取值范围为 _ 解析：因
46、为 h(x)在1,4上单调递增，所以当 x1,4时，h(x)0 恒成立，即 a1 x2 2 x 恒成立， 又因为当 x1,4时， 1 x2 2 xmin1(此时 x1)， 所以 a1，即 a 的取值范围是(，1 答案：(，1 2(变条件)若本例(2)条件变为“函数 h(x)在1,4上存在单调递减区间”，则 a 的取值 范围为_ 解析：因为 h(x)在1,4上存在单调递减区间， 所以 h(x)0 在1,4上有解， 微信公众号：学起而飞 ！ 所以当 x1,4时，a1 x2 2 x有解， 而当 x1,4时， 1 x2 2 xmin1(此时 x1)， 所以 a1，又因为 a0， 所以 a 的取值范围是
47、(1,0)(0，) 答案：(1,0)(0，) 3(变条件)若本例(2)条件变为“函数 h(x)在1,4上不单调”，则 a 的取值范围为 _ 解析：因为 h(x)在1,4上不单调， 所以 h(x)0 在(1,4)上有解，即 a1 x2 2 x 1 x1 21 在(1,4)上有解， 令 m(x)1 x2 2 x，x(1,4)，则1m(x) 7 16. 所以实数 a 的取值范围是 1， 7 16 . 答案： 1， 7 16 题组训练 1(2019渭南质检)已知函数 f(x)ax3bx2的图象经过点 M(1,4)，曲线在点 M 处的切 线恰好与直线 x9y0 垂直若函数 f(x)在区间m，m1上单调递
48、增，则 m 的取值范围 是_ 解析：f(x)ax3bx2的图象经过点 M(1,4)， ab4， f(x)3ax22bx，则 f(1)3a2b. 由题意可得 f(1) 1 9 1，即 3a2b9. 联立两式解得 a1，b3， f(x)x33x2，f(x)3x26x. 令 f(x)3x26x0，得 x0 或 x2. 函数 f(x)在区间m，m1上单调递增， m，m1 (，20，)， m0 或 m12，即 m0 或 m3. 答案：(，30，) 2已知函数 f(x)3x a 2x2ln x(a0)，若函数 f(x)在1,2上为单调函数，则 a 的取值范 微信公众号：学起而飞 ！ 围是_ 解析：f(x)
49、3 a4x 1 x， 若函数 f(x)在1,2上为单调函数， 即 f(x)3 a4x 1 x0 或 f(x) 3 a4x 1 x0 在1,2上恒成立， 即3 a4x 1 x或 3 a4x 1 x在1,2上恒成立 令 h(x)4x1 x， 则 h(x)在1,2上单调递增， 所以3 ah(2)或 3 ah(1)， 即3 a 15 2 或3 a3，又 a0， 所以 0a2 5或 a1. 答案： 0，2 5 1，) 课时跟踪检测课时跟踪检测 A 级 1下列函数中，在(0，)上为增函数的是() Af(x)sin 2xBf(x)xex Cf(x)x3xDf(x)xln x 解析： 选 B对于 A， f(x
50、)sin 2x 的单调递增区间是 k 4，k 4 (kZ)； 对于 B， f(x) ex(x1)，当 x(0，)时，f(x)0，函数 f(x)xex在(0，)上为增函数；对于 C， f(x)3x21，令 f(x)0，得 x 3 3 或 x 3 3 ，函数 f(x)x3x 在 ， 3 3 和 3 3 ， 上单调递增；对于 D，f(x)11 x x1 x ，令 f(x)0，得 0 x1， 函数 f(x)xln x 在区间(0,1)上单调递增综上所述，应选 B. 2 已知函数 f(x)x22cos x， 若 f(x)是 f(x)的导函数， 则函数 f(x)的大致图象是() 微信公众号：学起而飞 ！
