1、课时作业课时作业 61最值、范围、证明问题最值、范围、证明问题 1(2020浙江卷)如图，已知椭圆 C1：x 2 2 y21，抛物线 C2：y22px(p0)，点 A 是椭圆 C1与抛物线 C2的交点， 过点 A 的直线 l 交椭圆 C1于点 B，交抛物线 C2于点 M(B，M 不同于 A) (1)若 p 1 16，求抛物线 C 2的焦点坐标； (2)若存在不过原点的直线 l 使 M 为线段 AB 的中点，求 p 的最大值 解：(1)由 p 1 16得 C 2的焦点坐标是 1 32，0. (2)由题意可设直线 l：xmyt(m0，t0)，点 A(x0，y0)将直线 l 的方程代入椭圆 C1：x
2、 2 2 y21 得(m22)y2 2mtyt220，所以点 M 的纵坐标 yM mt m22，将直线 l 的方程代入抛物线 C 2：y22px 得 y22pmy2pt0， 所以 y0yM2pt，解得 y02pm 22 m ， 因此 x02pm 222 m2 . 由x 2 0 2 y201 得 1 p24 m2 m 22 m2 m 4160， 所以当 m 2，t 10 5 时，p 取到最大值 10 40 . 2(2021广东华附、省实、广雅、深中模拟)已知点(1，e)， e， 3 2 在椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)上，其中 e 为椭 圆的离心率，椭圆的右顶点为 D. (1)求
3、椭圆 C 的方程； (2)直线 l 过椭圆 C 的左焦点 F 交椭圆 C 于 A，B 两点，直线 DA，DB 分别与直线 xa e交于 N，M 两点，求证： NF MF 0. 解：(1)依题意得 1 a2 e2 b21， e2 a2 3 4 b2 1， 解得 a22， b21， e21 2. 所以椭圆 C 的方程为x 2 2 y21. (2)证明：由(1)得a e2.如图，D( 2，0)，F(1,0)，设 A(x 1，y1)，B(x2，y2)，N(2，y3)，M(2，y4) 设直线 l：xmy1，将其代入椭圆方程中，得(m22)y22my10， 所以 y1y2 2m m22，y 1y2 1 m
4、22. 由 M，B，D 三点共线，得 y4 2 2 y2 x2 2， 所以 y4y22 2 x2 2 y 22 2 my21 2. 同理，由 N，A，D 三点共线，得 y3y12 2 my11 2. 因为 kNFkMF y3 21 y4 21y 3y4， 把代入得 kNFkMFy22 2 my21 2 y12 2 my11 2 y1y22 22 m2y1y2m1 2y1y21 22 64 2 m22 22m22m22 231. 所以NF MF 0. 3(2021黑龙江大庆质检)已知点 P(2,0)为平面内一定点，动点 M(x，y)为平面内曲线 C 上的任意一点，且满足 x 22y2 x 22y
5、24，过原点的直线交曲线 C 于 A，B 两点 (1)证明：直线 PA 与直线 PB 的斜率之积为定值； (2)设直线 PA，PB 分别交直线 x3 于 E，F 两点，求线段 EF 长度的最小值 解：(1)证明：设 F1( 2，0)，F2( 2，0)， 由题意可知|MF1|MF2|4，且|F1F2|2 20，所以|k| 1 2k|2|k| 1 2k| 2， 当且仅当|k| 1 2k|，即 k 2 2 时， |EF|取得最小值 2. 4(2021河北石家庄模拟)已知椭圆x 2 4 y21，P 是椭圆的上顶点，过点 P 作斜率为 k(k0)的直线 l 交椭圆于另 一点 A，设点 A 关于原点的对称
6、点为 B. (1)求PAB 面积的最大值； (2)设线段 PB 的垂直平分线与 y 轴交于点 N，若点 N 在椭圆内部，求斜率 k 的取值范围 解：(1)设点 A(x1，y1)，B(x1，y1)，由椭圆的方程知 P(0,1) 根据题意可知 SPABSPOASPOB 1 2|OP|(|x 1|x1|)|x1|， 故当 x12 时，PAB 的面积取最大值 2. (2)由题知直线 PA 的方程为 ykx1(k0)联立直线与椭圆的方程有 x2 4 y21， ykx1， 整理可得(4k21)x28kx 0.因为 P(0,1)，所以 x1 8k 4k21， 代入 ykx1 可得 y14k 21 4k21
7、， 所以 A 8k 4k21， 4k21 4k21，B 8k 4k21， 4k21 4k21 ， 故线段 PB 中点的坐标为 4k 4k21， 4k2 4k21 . 又直线 PB 的斜率为 4k21 4k211 8k 4k21 1 4k，故直线 PB 的垂直平分线的斜率为 4k，所以线段 PB 的垂直平分线的方程 为 y 4k2 4k214k x 4k 4k21 ， 将 x0 代入得 y 12k2 4k21，故 N 0， 12k2 4k21 . 又点 N 在椭圆内部，故1 12k2 4k211， 解得 2 4 k 2 4 . 又 k0，故 k 的取值范围为 2 4 ，0 0， 2 4 . 5
8、(2021河南上蔡一中模拟)已知椭圆 C： x2 2 y21 的左、 右焦点分别为 F1， F2， 点 P 是椭圆 C 上的动点， M(3,0)， 直线 l1经过点 P，M. (1)若|PF1|PM|，求直线 l1的方程； (2)过点 M 作直线 l2l1，记点 F1到 l1的距离为 d1，点 F2到 l2的距离为 d2，求 d21d 2 2的取值范围 解：(1)由椭圆 C 的方程知 F1(1,0)，F2(1,0)，又 M(3,0)，故由|PF1|PM|知点 P 的横坐标为 1， 代入椭圆 C 的方程得1 2y 21，得 y 2 2 ， 所以点 P 的坐标为 1， 2 2 或 1， 2 2 .
9、 则直线 l1的斜率为 2 2 0 13 2 4 或 2 2 0 13 2 4 ， 则直线 l1的方程为 y 2 4 (x3)或 y 2 4 (x3)， 即 x2 2y30 或 x2 2y30. (2)依题意，设直线 l1的方程为 yk(x3)， 代入椭圆 C 的方程中，整理得(12k2)x212k2x18k220.因为点 P 在椭圆 C 上， 所以0，即(12k2)24(12k2)(18k22)0，解得 k21 7. 因为 l2l1，所以当 k0 时，l1，l2的方程分别为 y0，x3，则 d21d2202224.当 k0 时，l2的方程为 y 1 k(x3)，即 xky30， 又 l1的方
10、程为 kxy3k0， 则 d21d22 |4k| k21 2 |2| 1k2 216k 24 1k2 161k 212 1k2 16 12 1k2. 由 0k21 7，得 21 2 12 1k212， 所以12 12 1k2 21 2 ， 则 40)的焦点，过点 F 的直线交抛物 线于 A，B 两点，点 C 在抛物线上，使得ABC 的重心 G 在 x 轴上 (1)求 p 的值及抛物线的准线方程； (2)求证：直线 OA 与直线 BC 的倾斜角互补； (3)当点 A 的横坐标在区间1,2内时，求ABC 面积的最大值 解：(1)点 F(1,0)为抛物线 y22px(p0)的焦点，即p 21， 解得
11、 p2，所以抛物线的方程为 y24x，准线方程为 x1. (2)证明：当直线 AB 的斜率存在时，设过点 F 的直线方程为 yk(x1)，k0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(m，n)， 即有 y214x1，y224x2，n24m. 联立 ykx1， y24x， 得 ky24y4k0，0， 可得 y1y24 k，y 1y24， 则 kOAkBCy1 x1 ny2 mx2 4 y1 4 ny2 4ny1y2 y1ny2 . 由ABC 的重心 G 在 x 轴上，可得ny1y2 3 0， 即 ny1y20，所以 kOAkBC0. 当直线 AB 的斜率不存在时，满足题意的点 C 与原点 O 重
12、合，此时 kOAkBC0. 综上，直线 OA 与直线 BC 的倾斜角互补 (3)当直线 AB 的斜率存在时，由(2)可得 x1x2y1y2 2 16 1，x1x2y1y2 k 22 4 k2，可得 x 1 1 x12 4 k2 2，5 2 ， 解得 k28. 由抛物线的定义可得|AB|x1x224 4 k2. 由 ny1y20，得 n4 k0， 即 n4 k，m n2 4 4 k2， 所以点 C 的坐标为 4 k2， 4 k ， 点 C 到直线 kxyk0 的距离 d| 4 k 4 kk| 1k2 |8 kk| 1k2. 可得ABC 的面积 S1 2d|AB| 1 2 |8 kk| 1k2 4 4 k22 1k2 k2 | k28 k |， 由 k28，可得 S21 1 k2 1 8 k2. 设 t1 1 k2 1t3 2 4，则 S2t(98t2)， 由 S1848t20 在 1，3 2 4上恒成立，知 S 在 1，3 2 4上单调递减，可得 S2. 当直线 AB 的斜率不存在时，不妨设点 A 在第一象限内，易得 A(1,2)，B(1，2)，由(2)知 C(0,0)， 所以ABC 的面积为1 2412. 综上，ABC 面积的最大值为 2.
