1、课时作业课时作业 75离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差 1(2021河北保定一模)习近平在 2020 年新年贺词中勉励大家：“让我们只争朝夕，不负韶华，共同迎接 2020 年的到来” 其中“只争朝夕，不负韶华”旋即成了网络热词，成了大家互相砥砺前行的铮铮誓言，激励着广大青年朋友奋发 有为，积极进取，不负青春，不负时代 “只争朝夕，不负韶华”用英文可翻译为：“Seize the day and live it to the full.” (1)求上述英语译文中，e，i，t，a 4 个字母出现的频率(小数点后面保留两位有效数字)， 并比较 4 个频率的大小(用 “”连接)； (
2、2)在上面的句子中随机取一个单词，用 X 表示取到的单词所包含的字母个数，写出 X 的分布列，并求出其数学 期望； (3)从上述单词中任选 2 个单词，求其字母个数之和为 6 的概率 解：(1)e，i，t，a 4 个字母出现的频率分别为 5 290.17， 3 290.10， 4 290.14， 2 290.07，其大小关系为 e 出现的 频率t 出现的频率i 出现的频率a 出现的频率 (2)X 的分布列为 X2345 P 2 9 4 9 2 9 1 9 所以 E(X)22 93 4 94 2 95 1 9 29 9 . (3)满足字母个数之和为 6 的情况分为两种： 从含 2 个字母的 2
3、个单词中任选一个，再从含 4 个字母的 2 个单词中任选一个，不同的方法有 C12C 1 2种 从含 3 个字母的 4 个单词中任选 2 个，不同的方法有 C 2 4种故所求的概率 PC 1 2C12C24 C29 46 36 5 18. 2(2021湖北襄阳五中、夷陵中学联考)在全球关注的抗击“新冠肺炎”中，某跨国科研中心的一个团队，研制 了甲、乙两种治疗“新冠肺炎”的新药，为了知道哪种新药更有效，进行了动物试验，试验方案如下： 第一种：选取 A，B，C，D，E，F，G，H，I，J 共 10 只患病白鼠，服用甲药后某项指标分别为 84,87,89,91,92,91,87,89,90,90；
4、第二种： 选取 a， b， c， d， e， f， g， h， i， j 共 10 只患病白鼠， 服用乙药后某项指标分别为 81,87,83,82,80,84,86,89,84,79. 该团队判定患病白鼠服药后这项指标不低于 85 的确认为药物有效，否则确认为药物无效(假设 20 只患病白鼠 身体状况一致) (1)写出第一种试验方案中 10 个数据的极差、中位数、方差； (2)现需要从已服用乙药的 10 只白鼠中随机抽取 3 只，记其中服药有效的只数为，求的分布列与期望 解：(1)第一种试验方案中 10 个数据的极差为 8，中位数为 89.5，平均数为 89，方差 s2 1 10(254049
5、 44011)5.2. (2)第二种试验方案中服药有效的白鼠有 3 只，无效的有 7 只，故的所有可能取值为 0,1,2,3，则 P(0)C 0 3C37 C310 7 24，P(1) C13C27 C310 21 40，P(2) C23C17 C310 7 40，P(3) C33C07 C310 1 120， 的分布列为 0123 P 7 24 21 40 7 40 1 120 E()0 7 241 21 402 7 403 1 120 9 10. 3(2021湖北调研)黄冈旅游一票通简称黄冈旅游年卡，是由黄冈市旅游局策划，黄冈市大别山旅游公司推出的 一项惠民工程为了解市民每年的旅游消费支出
6、(单位：百元)情况，相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问 卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表： 组别0,20)20,40)40,60)60,80)80,100) 频数1039040018812 (1)估计所得样本的中位数； (2)根据样本数据，可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布 N(45,152)，若该市总人口为 750 万人，试估 计有多少市民每年的旅游费用支出在 7 500 元以上； (3)假设年旅游消费支出在 40 百元以上的游客一年内会继续来该景点游玩，现从该景区的游客中随机抽取 3 人， 若游客一年内继续来该景点游玩记 2 分，不来该景点游玩记 1 分，将上
7、述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选 择意愿相互独立，记总得分为随机变量 X，求 X 的分布列与数学期望 附： 若随机变量服从正态分布 N(， 2)， 则 P()0.682 6， P(22)0.954 4， P(32) 1P2x3.841， 故有 95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关 (2)在抽取的 200 户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了 7 户，则这 7 户家庭中，头胎 生女孩的户数为 4，头胎生男孩的户数为 3，则 X 的可能取值为 1,2,3,4. P(X1)C 1 4C33 C47 4 35；P(X2) C24C23 C47 18 35； P(X
8、3)C 3 4C13 C47 12 35；P(X4) C44 C47 1 35. 故 X 的分布列为 X1234 P 4 35 18 35 12 35 1 35 则 X 的数学期望 E(X)1 4 352 18 353 12 354 1 35 16 7 . 6(2021河南南阳四校联考)湖南省会城市长沙又称星城，是楚文明和湘楚文化发源地，是国家首批历史文化名 城城内既有岳麓山、橘子洲等人文景观，又有岳麓书院、马王堆汉墓等名胜古迹，每年都有大量游客来长沙参观旅 游为合理配置旅游资源，管理部门对首次来岳麓山景区游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中1 3的人计划只游 览岳麓山，另外2 3的人计划既
9、游览岳麓山又参观马王堆每位游客若只游览岳麓山，则记 1 分；若既游览岳麓山又参 观马王堆，则记 2 分假设每位首次来岳麓山景区游览的游客计划是否参观马王堆相互独立，视频率为概率 (1)从游客中随机抽取 3 人，记这 3 人的合计得分为 X，求 X 的分布列和数学期望 (2)从游客中随机抽取 n 人(nN*)，记这 n 人的合计得分恰为(n1)分的概率为 Pn，求 P1P2Pn. (3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为 n 分的概率为 an，随着抽取人数的无限增加，an是否趋 近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，说明理由 解：(1)依题意，每位游客计划不参观马王堆的概率为1
10、3，记 1 分；计划参观马王堆的概率为 2 3，记 2 分，则 X 的 可能取值为 3,4,5,6. P(X3) 1 3 31 27，P(X4)C 1 32 3 1 3 22 9，P(X5)C 2 3 2 3 21 3 4 9，P(X6) 2 3 38 27. 所以 X 的分布列为 X3456 P 1 27 2 9 4 9 8 27 E(X)3 1 274 2 95 4 96 8 275. (2)因为这 n 人的合计得分为(n1)分，所以其中有且只有 1 人计划参观马王堆，所以 PnC1n2 3 1 3 n12n 3n . 设 SnP1P2P3Pn2 3 4 32 6 33 2n 3n， 则
11、1 3S n 2 32 4 33 2n1 3n 2n 3n 1. 两式相减，得 2 3S n2 3 2 32 2 33 2 3n 2n 3n 12 1 3 1 1 3n 11 3 2n 3n 112n3 3n 1 ， 所以 P1P2PnSn3 2 12n3 3n 1 . (3)在随机抽取若干人的合计得分为(n1)分的基础上再抽取 1 人，则这些人的合计得分可能为 n 分或(n1)分， 记“合计得 n 分”为事件 A，“合计得(n1)分”为事件 B，则 A 与 B 互为对立事件 因为 P(A)an，P(B)2 3a n1，所以 an2 3a n11(n2)，即 an3 5 2 3 an13 5 (n2) 因为 a11 3，所以数列 an3 5 是首项为 4 15，公比为 2 3的等比数列，则 a n3 5 4 15 2 3 n1，n1， 即 an3 5 4 15 2 3 n13 5 2 5 2 3 n. 因为 0| 2 3|1，则当 n时， 2 3 n0， 从而 an3 5， 所以随着抽取人数的无限增加，an趋近于常数3 5.
