1、课时作业课时作业 26正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理 一、选择题 1 (2021吉林松原适应性测试)在ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 且 asinC 3ccosA， 则 A(A) A. 3 B. 6 C.2 3 D.5 6 解析：由 asinC 3ccosA 及正弦定理可得 sinAsinC 3sinCcosA.又在ABC 中，sinC0，所以 sinA 3cosA，即 tanA 3.而 A(0，)，所以 A 3. 2(2021湖南四校联考)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sinA sinBsinC b ac1，则 C (B
2、) A. 6 B. 3 C.2 3 D.5 6 解析：由正弦定理及 sinA sinBsinC b ac1，得 a bc b ac1，整理可得 a 2b2c2ab.由余弦定理知 cosCa 2b2c2 2ab ，所以 cosC1 2，又 C(0，)，所以 C 3，故选 B. 3(2021陕西宝鸡一模)ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 b 7，c4，cosB3 4， 则ABC 的面积等于(B) A3 7B.3 7 2 C9D.9 2 解析：由 cosB3 4可得 sinB 1cos 2B 7 4 .由余弦定理 b2a2c22accosB，可得 7a216 2a43 4
3、，整理得 a 26a90，解得 a3.所以 S ABC1 2acsinB 1 234 7 4 3 7 2 . 4(2021广东化州模拟)在ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边为 a，b，c，若 SABC2 3，ab 6，acosBbcosA c 2cosC，则 c(B) A2 7B2 3 C4D3 3 解析：acosBbcosA c sinAcosBsinBcosA sinC sinAB sinAB1，2cosC1，C60， SABC2 3，1 2absinC2 3，ab8，ab6，c 2a2b22abcosC(ab)22abab(a b)23ab623812，c2 3，故选 B. 5(
4、2021山东青岛模拟)在ABC 中，如果 cos(2BC)cosC0，那么ABC 的形状为(A) A钝角三角形B直角三角形 C锐角三角形D等腰三角形 解析：cos(2BC)cosCcos(2BAB)cos(AB)cos(AB)cos(AB) cos(AB)cos(AB)cosAcosBsinAsinBcosAcosBsinAsinB2cosAcosB0， cosAcosBc， 所以 BC.因为ADB30C， ADC30B， 所以ADBc， 所以BC.又BC120， 所以B60 BAD，所以 ADBD 7，所以 AD3 3.所以 cosADBAD 2BD2c2 2ADBD 27716 23 3
5、7 21 7 . 二、填空题 9(2021湖南、河南、江西高三联考)设 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，已知 A 3，b 1，且(sin2A4sin2B)c8(sin2Bsin2Csin2A)，则 a2. 解析：因为(sin2A4sin2B)c8(sin2Bsin2Csin2A)，所以(a24b2)c8(b2c2a2)，又 b1，所以(a2 4b2)bc8(b2c2a2)，所以a 24b2 2 8b 2c2a2 2bc 8cosA4，则a 24 2 4，解得 a2. 10(2021福建五校联考)在ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a2b2c2 3ab
6、，且 acsinB2 3sinC，则ABC 的面积为 3 2 . 解析：因为 a2b2c2 3ab，所以由余弦定理得 cosCa 2b2c2 2ab 3ab 2ab 3 2 ，又 0C，所以 C 6.因为 acsinB2 3sinC，所以结合正弦定理可得 abc2 3c，所以 ab2 3.故 S ABC1 2absinC 1 22 3sin 6 3 2 . 11我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五的“田域类”中写道：问有沙田一段， 有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里里法三百步欲知为田几何意思是已知三角 形沙田的三边长分别为 13 里，14 里，15 里，求三角形沙田的
7、面积则该沙田的面积为 84 平方里 解析：由题意画出ABC(如图)，且 AB13 里，BC14 里，AC15 里，在ABC 中，由余弦定理得， cosBAB 2BC2AC2 2ABBC 13 2142152 21314 5 13，所以 sinB 1cos 2B12 13，则该沙田的面积 S 1 2ABBCsinB 1 21314 12 1384(平方里) 12(2021重庆八中月考)在ABC 中，D 是 BC 边上一点，BADDAC60，BC14，且ABD 与ADC 面积之比为 53，则 AD15 4 . 解析：由ABD 与ADC 面积之比为 53 得BD DC 5 3，故由三角形内角平分线的
8、性质可得 AB AC BD DC 5 3. 设 AB5x，则 AC3x.由余弦定理可得 BC2AB2AC22ABACcosBAC，即 14225x29x2 25x3x 1 2 ， 解得 x2.从而ABC 的面积 SABC1 2106sin12015 3， 于是ABD 的面积为 5 8S ABC 5 815 3.因此 1 2ABADsin60 1 210AD 3 2 5 815 3，解得 AD 15 4 . 三、解答题 13(2020天津卷)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 a2 2，b5，c 13. (1)求角 C 的大小； (2)求 sinA 的值； (3)求
9、sin 2A 4 的值 解：(1)在ABC 中，由余弦定理及 a2 2，b5，c 13，得 cosCa 2b2c2 2ab 2 2 .又因为 C(0， )，所以 C 4. (2)在ABC 中，由正弦定理及 C 4，a2 2，c 13，可得 sinA asinC c 2 13 13 . (3)由 ac 及 sinA2 13 13 ，可得 cosA 1sin2A3 13 13 ，所以 sin2A2sinAcosA12 13，cos2A2cos 2A 1 5 13.所以，sin 2A 4 sin2Acos 4cos2Asin 4 12 13 2 2 5 13 2 2 17 2 26 . 14(202
10、1河北衡水检测)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 cos2Acos2B 2cos 6A cos 6A. (1)求角 B 的值； (2)若 b 3，且 ba，求 ac 2的取值范围 解： (1)由 cos2Acos2B2cos 6Acos 6A， 得 2sin2B2sin2A2 3 4cos 2A1 4sin 2A ， 得 sin2B3 4， sinB 3 2 ，因为 B(0，)，所以 B 3或 2 3 . (2)因为 ba，所以 B 3， 由正弦定理得 a sinA c sinC b sinB 3 3 2 2， 得 a2sinA，c2sinC，所以 ac 22s
11、inAsinC2sinAsin 2 3 A 3 2sinA 3 2 cosA 3sin A 6 . 又 ba，所以 3A 2 3 ，则 6A 6 2， 所以 3 2 3sin A 6 0，2bcosAacosCccosA， 由正弦定理得 2sinBcosAsinAcosCsinCcosA， 即 2sinBcosAsin(AC) sin(AC)sin(B)sinB， 2sinBcosAsinB，即 sinB(2cosA1)0， 0B，sinB0，cosA1 2，0A，A 3. (2)SABC1 2bcsinA 3 4 bc25 3 4 ，bc25. cosAb 2c2a2 2bc b 2c225 225 1 2，b 2c250，(bc)250225100，即 bc10(或求出 bc5)， sinBsinCbsinA a csinA a (bc)sinA a 10 3 2 5 3.
