1、课时作业课时作业 53直线的交点与距离公式直线的交点与距离公式 一、选择题 1(2021湖南长沙月考)“直线 l1：2x(m1)y40 与直线 l2：mx3y20 平行”是“m2”的(B) A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 解析：若 l1l2，则 mm16， 4m22， 即 m2m60， m1， 解得 m3 或 2.因此，“直线 l1：2x(m1)y40 与直线 l2：mx3y20 平行”是“m2”的必要不充 分条件 2 (2021上海青浦高级中学月考)在平面直角坐标系中， 记 d 为点 P(cos， sin)到直线 xmy20 的距离， 当、 m 变化时，d
2、 的最大值为(C) A1B2C3D4 解析：因为 cos2sin21，所以 P 为单位圆上一点，而直线 xmy20 过点 A(2,0)，记坐标原点为 O，所以 d 的最大值为 OA1213.故选 C. 3(2021安庆模拟)若直线 l1：x3ym0(m0)与直线 l2：2x6y30 的距离为 10，则 m(B) A7B17 2 C14D17 解析： 直线 l1： x3ym0(m0)， 即 2x6y2m0， 因为它与直线 l2： 2x6y30 的距离为 10， 所以|2m3| 436 10，求得 m17 2 . 4过两直线 l1：x3y40 和 l2：2xy50 的交点和原点的直线方程为(D)
3、A19x9y0B9x19y0 C19x3y0D3x19y0 解析：由 x3y40， 2xy50， 得 x19 7 ， y3 7， 则所求直线方程为 y 3 7 19 7 x 3 19x，即 3x19y0. 5已知直线 y2x 是ABC 中C 的平分线所在的直线，若点 A，B 的坐标分别是(4,2)，(3,1)，则点 C 的坐 标为(C) A(2,4)B(2，4) C(2,4)D(2，4) 解析：设 A(4,2)关于直线 y2x 的对称点为 A(x，y)， 则 y2 x421， y2 2 24x 2 ， 解得 x4， y2， 即 A(4，2)， 直线 AC 即 BC 所在直线的方程为 y121
4、43 (x3)，即 3xy100. 又知点 C 在直线 y2x 上，联立得 3xy100， y2x， 解得 x2， y4， 则 C(2,4)，故选 C. 6(2021重庆黔江新华中学模拟)在平面直角坐标系中，ABC 的一个顶点是 A(3,1)，B，C 的平分线所在 直线的方程分别为 x0，yx，则直线 BC 的方程为(B) Ay2x5By2x5 Cy3x5Dy1 2x 5 2 解析：因为B，C 的平分线所在直线的方程分别为 x0，yx，所以直线 AB 与直线 BC 关于直线 x0 对称， 直线 AC 与直线 BC 关于直线 yx 对称则点 A(3,1)关于直线 x0 对称的点 A(3,1)在直
5、线 BC 上，点 A(3,1)关 于直线 yx 对称的点 A(1，3)也在直线 BC 上，所以由两点式得直线 BC 的方程为y3 13 x1 31，即 y2x5.故选 B. 7(2021云南大理质检)设 mR，过定点 A 的动直线 xmy0 和过定点 B 的动直线 mxym30 交于点 P(x，y)(点 P 与点 A，B 不重合)，则PAB 面积的最大值是(C) A2 5B5 C.5 2 D 5 解析：本题考查直线过定点、相互垂直的直线斜率之间的关系动直线 xmy0，令 y0，解得 x0，因此此 直线过定点 A(0,0)动直线 mxym30，即 m(x1)3y0，令 x10,3y0，解得 x1
6、，y3，因此此 直线过定点 B(1,3)当 m0 时，两条直线分别为 x0，y3，交点 P(0,3)，SPAB1 213 3 2.当 m0 时，两条直 线的斜率分别为 1 m，m，则 1 mm1，因此两条直线相互垂直设|PA|a，|PB|b，|AB| 1 232 10， a2b210.又 a2b22ab，ab5，当且仅当 ab 5时等号成立SPAB1 2|PA|PB| 1 2ab 5 2.综上，PAB 的 面积最大值是5 2.故选 C. 8(2021福建宁德质检)已知点 A(2,1)和点 B 关于直线 l：xy10 对称，斜率为 k 的直线 m 过点 A 交 l 于点 C.若ABC 的面积为
7、2，则实数 k 的值为(B) A3 或1 3 B0 C.1 3 D3 解析：设点 B(x，y)，则 y1 x21， x2 2 y1 2 10， 解得 x0， y3， 则 B(0,3)由已知可得直线 m 的方程为 y1k(x2)，与方程 xy10 联立，解得 x 2k k1， y3k1 k1 ，则 C 2k k1， 3k1 k1 .由已知可得直线 AB 的方程为 y1x2，即 yx3，且|AB|2 2，则点 C 到直线 AB 的距离 d| 2k k1 3k1 k1 3| 2 |22k| 2|k1|，所以 S ABC1 22 2 |22k| 2|k1|2， 即|1k|k1|(k1)，解得 k0.故
8、选 B. 二、填空题 9已知点 P(4，a)到直线 4x3y10 的距离不大于 3，则 a 的取值范围是0,10 解析：由题意得，点 P 到直线的距离为 |443a1| 5 |153a| 5 . 又|153a| 5 3，即|153a|15， 解之得 0a10，所以 a 的取值范围是0,10 10(2021河北邢台模拟)已知点 A(1,0)，B(3,0)，若直线 ykx1 上存在一点 P，满足 PAPB，则 k 的取值范围 是 4 3，0. 解析：设 P(x0，kx01)，依题意可得 kPAkPB1，即kx01 x01 kx01 x03 1，即(k21)x20(2k4)x040，则 (2k4)2
9、16(k21)0，化简得 3k24k0，解得4 3k0，故 k 的取值范围是 4 3，0. 11(2021重庆渝中区检测)已知 a，b，c 成等差数列，过点 A(1,2)作直线 l：axbyc0 的垂线与直线 l 交于点 P，点 Q 在直线 3x4y120 上，则|PQ|的最小值是 1. 解析：不全为零的实数 a，b，c 成等差数列，bac 2 ，代入动直线 l：axbyc0，得 axac 2 yc0， 即 a(2xy)c(y2)0.a，c 不全为零， 2xy0， y20， 解得 x1，y2，动直线 l 过定点 N(1，2)设点 P(x，y)，当点 P 与 N 不重合时，APNP，AP NP(
10、x1，y2)(x1，y2)0，整理得，x2y22x30， 即(x1)2y24.又(1，2)在圆(x1)2y24 上，点 P 在以(1,0)为圆心，2 为半径的圆上点 Q 在直线 3x4y 120 上， 圆心(1,0)到直线 3x4y120 的距离 d |312| 324232， |PQ|的最小值等于圆心(1,0)到直线 3x4y12 0 的距离 d 减去圆的半径 2，|PQ|的最小值为 321. 12已知平面上一点 M(5,0)，若直线上存在点 P，使|PM|4，则称该直线为“切割型直线”下列直线中是“切 割型直线”的是.(填上所有正确答案的序号) yx1；y2；y4 3x；y2x1. 解析：
11、根据题意，可通过求各直线上的点到点 M 的最小距离，即点 M 到直线的距离 d 来分析对于，d |51| 12123 24，故直线上不存在点到点 M 的距离等于 4，所以该直线不是“切割型直线”；对于，d24，故直线上不存在点到点 M 的距离等于 4，所以该直线不是“切割型直线” 三、解答题 13已知直线 l：3xy10 及点 A(4,1)，B(0,4)，C(2,0) (1)试在 l 上求一点 P，使|AP|CP|最小； (2)试在 l 上求一点 Q，使|AQ|BQ|最大 解：(1)如图，设点 C 关于 l 的对称点为 C(a，b)， 则 b0 a2 1 3， 3a2 2 b0 2 10， 解
12、得 a1， b1， 所以 C(1,1)所以直线 AC的方程为 y1. 由 y1， 3xy10 得直线 AC与直线 l 的交点为 P 2 3，1，此时|AP|CP|取最小值 (2)如图，设点 B 关于 l 的对称点为 B(m，n)， 则 n4 m0 1 3， 3m0 2 4n 2 10， 解得 m3， n3， 所以 B(3,3)，所以直线 AB的方程为 2xy90， 由 2xy90， 3xy10 得直线 AB与直线 l 的交点为 Q(2,5)，此时|AQ|BQ|取最大值 14(2021北京名校联考)已知直线 l1：2xy30，直线 l2：4x2y10 和直线 l3：xy10，若点 M 同 时满足
13、下列条件： (1)点 M 是第一象限的点； (2)点 M 到 l1的距离是到 l2的距离的1 2； (3)点 M 到 l1的距离与到 l3的距离之比是 25. 则点 M 的坐标为(D) A. 1 3，2B 1 3， 37 18 C. 1 9，2D 1 9， 37 18 解析：设点 M(x0，y0)，若点 M 满足(2)， 则|2x0y03| 5 1 2 |4x02y01| 164 ， 故 2x0y013 2 0 或 2x0y011 6 0， 若点 M(x0，y0)满足(3)，由点到直线的距离公式， 得|2x0y03| 5 2 5 |x0y01| 2 ， 即|2x0y03|x0y01|，故 x0
14、2y040 或 3x020，由于点 M(x0，y0)在第一象限，故 3x020 不符合 题意 联立方程得 2x0y013 2 0， x02y040， 解得 x03， y01 2， 不符合题意； 联立方程得 2x0y011 6 0， x02y040， 解得 x01 9， y037 18， 即点 M 的坐标为 1 9， 37 18 .故选 D. 15(2021江苏南通如东中学调研)已知函数 f(x)1 x 1 2x2，记 d(k，m)为函数 yf(x)图象上的点到直线 ykx m 的距离的最大值，那么 d(k，m)的最小值为 2 8 . 解析：显然函数 f(x)的图象可放在两条平行直线 l1与 l2之间，f(x)图象上的个别点在直线上设两条平行直线 l1 与 l2之间的距离为 d. 如图所示，只有 l1经过点 A 1 2，2，B 2，1 2 ，l2与 f(x)图象相切于点 P 时，d 取得最小值，d(k，m)的最小值为1 2d. 设 P x0， 1 x0 1 2x 02 ，对 f(x)求导得 f(x) 1 x2，k AB1， 1 x201，解得 x 01，P(1,1)由点 A，B 的 坐标可得直线 AB 的方程为 yx5 2.d| 115 2| 2 2 4 (点 P 到直线 AB 的距离)，d(k，m)的最小值为 1 2d 2 8 .
