1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 【例 1】 如图,在直三棱柱 111 ABCABC中, 2 BAC, 1 2ABACAA,点G与E分 别为线段 11 AB和 1 C C的中点,点D与F分别为线段AC和AB上的动点若 GDEF,则线段DF长度的最小值是() A2B1C 2 5 5 D 2 2 【例 2】 如图,四棱柱 1111 ABCDABC D中, 1 AD 平面ABCD,底面ABCD是边长为1的 正方形,侧棱 1 2AA 求证: 1 C D平面 11 ABB A; 求直线 1 BD与平面 11 AC D所成角的正弦值; 板块五.用空间向量解柱体问 题(1) 【学而思高中数学讲义】 求二面角
2、 11 DACA的余弦值 【例 3】 如图, 在正三棱柱 111 ABCABC中, 1 2ABAA, 点D是 11 AB的中点, 点E在 11 AC 上,且DEAE 证明:平面ADE 平面 11 ACC A; 求直线AD和平面 1 ABC所成角的正弦值 ? E ? D ? C ? B ? A ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 【例 4】 如图,在直四棱柱 1111 ABCDABC D中,底面ABCD为等腰梯形,ABCD, 4AB ,2BCCD, 1 2AA ,E, 1 E,F分别是棱AD、 1 AA、AB的中点 证明:直线 1 EE 平面 1 FCC; 求二面角 1 BFCC的余
3、弦值 ? D ? 1 ? E ? E ? 1 ? F ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? D ? C ? B ? A 【例 5】 已知正三棱柱 111 ABCABC, 底面边长2AB , 1 2AA , 点O、 1 O分别是边AC, 11 AC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系 求证: 11 ABBC 若M为 1 BC的中点,试用基向量 1 AA 、AB 、AC 表示向量AM ; 求异面直线 1 AB与BC所成角的余弦值 【学而思高中数学讲义】 【例 6】 如图,直三棱柱 111 ABCABC中,90ACB,1AC ,2CB ,侧棱 1 1AA , 侧面 11 AAB B的两
4、条对角线交点为D, 11 BC的中点为M 求证:CD 平面BDM; 求面 1 B BD与面CBD所成二面角的大小 ? M ? D ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? C ? B ? A 【例 7】 如图,正三棱柱 111 ABCABC的底面边长为3,侧棱 1 3 3 2 AA ,D是CB延长线 上一点,且BDBC ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? D ? C ? B ? A 求证:直线 1 BC 平面 1 AB D; 求二面角 1 BADB的大小; 求三棱锥 11 CABB的体积 【例 8】 如图,直三棱柱 111 ABCABC,底面ABC中,1CACB,90
5、BCA,棱 1 2AA ,MN,分别是 111 ABA A,的中点, 求BN 的长; 求 1 BA与 1 CB的夹角的余弦值; 【学而思高中数学讲义】 求证: 11 ABC M ? N ? M ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? C ? B ? A 【例 9】 如图,正三棱柱 111 ABCABC所有棱长都是2,D是棱AC的中点,E是棱 1 CC的 中点,AE交 1 AD于点H 求证:AE 平面 1 ABD; 求二面角 1 DBAA的大小(用反三角函数表示) ; 求点 1 B到平面 1 ABD的距离 【例 10】如图,已知正三棱柱 111 ABCABC的侧棱长和底面边长均为 1
6、,M是底面BC 边上的中点,N是侧棱 1 CC上的点,且 1 CNNC 求证:AM 面 11 BCC B; (或若E为 1 AB的中点,求证:EM 平面 11 AAC C 若二面角 1 BAMN的平面角的余弦值为 5 5 ,求的值; 在第的前提下,求点 1 B到平面AMN的距离 【学而思高中数学讲义】 ? A ? B ? C ? M ? N ? A ? 1 ? B ? 1 ? C ? 1 【例 11】直三棱柱 111 ABCABC中, 1111 BCACBCAB,求证: 11 ABAC ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? C ? B ? A 【例 12】直四棱柱 1111 AB
7、CDABC D的底面ABCD为平行四边形,其中2AB , 1BDBC, 1 2AA ,E为DC中点,F是棱 1 DD上的动点 求异面直线 11 AD与 1 BC所成角的正切值; 当 1 4 DF 时,证明 1 EFBC; 当DF的长为多少时,二面角EFBD的大小为60? ? F ? E ? D ? 1 ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? D ? C ? B ? A 【例 13】如图,圆柱 1 OO内有一个三棱柱 111 ABCABC,三棱柱的底面为圆柱底面的内 接三角形,且AB是圆O直径 【学而思高中数学讲义】 证明:平面 11 A ACC 平面 11 B BCC; 设 1 ABAA, 在圆柱 1 OO内随机选取一点, 记该点取自于三棱柱 111 ABCABC内 的概率为p (i)当点C在圆周上运动时,求p的最大值; (ii)记平面 11 A ACC与平面 1 BOC所成的角为0 90,当p取最大值时, 求cos的值