1、【学而思高中数学讲义】 知识内容 1基本计数原理 加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有 1 m种不同的方法，在第 二类办法中有 2 m种方法，在第n类办法中有 n m种不同的方法那么完成这件事共有 12n Nmmm种不同的方法又称加法原理 乘法原理 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个子步骤，做第一个步骤有 1 m种不同的方法， 做第二个步骤有 2 m种不同方法，做第n个步骤有 n m种不同的方法那么完成这件事 共有 12n Nmmm种不同的方法又称乘法原理 加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，
2、使用分类 计数原理如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事 才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、 组合问题的基本思想方法， 这两个原理十分重要必须认真学好， 并正确地灵活加以应用 2 排列与组合 排列： 一般地， 从n个不同的元素中任取()m mn个元素， 按照一定的顺序排成一列， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 （其中被取的对象叫做元素） 排列数：从n个不同的元素中取出()m mn个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的排列数，用符号Am
3、 n 表示 排列数公式：A(1)(2)(1) m n n nnnm，mn N，并且mn 全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列 n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫作n的阶乘，用!n表示规定：0!1 组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m ()mn个元素并成一组，叫做从n个 元素中任取m个元素的一个组合 组合数：从n个不同元素中，任意取出m ()mn个元素的所有组合的个数，叫做从n个 不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号Cm n 表示 基本计数原理的综合应用 【学而思高中数学讲义】 组合数公式： (1)(2)(1)! C !()! m n n
4、nnnmn mm nm ，,m n N，并且mn 组合数的两个性质：性质 1：CC mn m nn ；性质 2： 1 1 CCC mmm nnn （规定 0 C1 n ） 排列组合综合问题 解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是 分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置； 2分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做 到分类明确，层次清楚，不重不漏 3排除法
5、，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法 4捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元 素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列 5插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空 6插板法：n个相同元素，分成()m mn组，每组至少一个的分组问题把n个元 素排成一排，从1n 个空中选1m 个空，各插一个隔板，有 1 1 m n C 7分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之别一 般地平均分成n堆（组），必须除以n！，如果有m堆（组）元素个数相等， 必须除以m！ 8错位法：编号为 1 至n的n个小球
6、放入编号为 1 到n的n个盒子里，每个盒子放一个 小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n ，3，4，5 时的错位数各为 1，2，9，44关于 5、6、7 个元素的错位排列的计算，可以用剔除法 转化为 2 个、3 个、4 个元素的错位排列的问题 1排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途 径： 元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； 位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； 间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组 合数 求解时应注意先把具体问题转化
7、或归结为排列或组合问题； 再通过分析确定运用分类计 数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式 子计算作答 2具体的解题策略有： 对特殊元素进行优先安排； 理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； 对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复； 对于元素相邻的条件， 采取捆绑法； 对于元素间隔排列的问题， 采取插空法或隔板法； 顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； 对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面 对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型 【学而思高中数学讲义】 典例分析 基本计数原理的综合应用
8、 【例 1】 用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻， 则这样的五位数的个数是_ （用数字作答） 【例 2】 若自然数n使得作竖式加法(1)(2)nnn均不产生进位现象则称n为“可连 数”例如：32是“可连数”，因323334不产生进位现象；23不是“可连数”，因 232425产生进位现象那么，小于1000的“可连数”的个数为（） A27B36 C39D48 【例 3】 由正方体的 8 个顶点可确定多少个不同的平面？ 【例 4】 如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一 颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种 （
9、以数字 作答） 【学而思高中数学讲义】 【例 5】 如图，一环形花坛分成A B CD， ， ，四块，现有 4 种不同的花供选种，要求在每块 里种 1 种花，且相邻的 2 块种不同的花，则不同的种法总数为（） A96B84C60D48 【例 6】 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分（如图） 现要栽种 4 种不同 颜色的花， 每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花， 不同的栽种方法有 种 （以数字作答） 【例 7】 分母是 385 的最简真分数一共有多少个？并求它们的和 【学而思高中数学讲义】 【例 8】 某人有 4 种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多） ，要在如图所示的 6
10、 个点 A、B、 C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的 灯泡都至少用一个的安装方法共有种（用数字作答） 【例 9】 用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成_个大于3000，小于5421的 数字不重复的四位数 【例 10】某 通 讯 公 司 推 出 一 组 手 机 卡 号 码 ， 卡 号 的 前 七 位 数 字 固 定 ， 从 【学而思高中数学讲义】 “0000”到“9999”共10000个号码 公司规定： 凡卡号的后四位 带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（） A2000B4096C5904D8320 【
11、例 11】同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺 年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有（ ） A6种B9种C11 种D23种 【例 12】某班新年联欢会原定的 6 个节目已排成节目单，开演前又增加了 3 个新节目， 如果将这 3 个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（） A504B210C336D120 【例 13】某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙 3 种不同的树苗，从中取出 5 棵分别种植在排成一排的 5 个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第 5 个树坑只能种甲种树苗的种法共（） A15 种B12 种C9 种D6 种 【学而思高中数学讲义】
12、 【例 14】如图所示，画中的一朵花，有五片花瓣.现有四种不同颜色的画笔可供选择， 规定每片花瓣都要涂色， 且只涂一种颜色.若涂完的花中颜色相同的花瓣恰有三片， 则不同涂法种数为（用数字作答）. 【例 15】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（） A324B328 C360D648 【例 16】用红、 黄、 蓝三种颜色之一去涂图中标号为1 29， ，的9个小正方形 （如图） ， 使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号数字 涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（）种 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 A72B108C144D192 【学而思高中数学讲义】 【例 17】足球比赛的计分规则是：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，那么 一个队打 14 场共得 19 分的情况有（） A3种B4种C5种D6种
