1、【学而思高中数学讲义】 知识内容 1 离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量 如果在试验中， 试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示， 并且X是随着试验的结 果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量随机变量常用大写字母 ,X Y 表示 如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量 离散型随机变量的分布列 将离散型随机变量X所有可能的取值 i x与该取值对应的概率 i p (1, 2,)in列表表示： X 1 x 2 x i x n x P 1 p 2 p i p n p 我们称这个表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列 2几类典
2、型的随机分布 两点分布两点分布 如果随机变量X的分布列为 X10 P pq 其中01p，1qp ，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率 为80%，随机变量X为任意抽取一件产品得到的结果，则X的分布列满足二点分布 X1 0 P0.80.2 两点分布又称01分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分 布又称为伯努利分布 超几何分布超几何分布 一般地， 设有总数为N件的两类物品， 其中一类有M件， 从所有物品中任取n件()nN， 这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概
3、率为 CC () C mn m MNM n N P Xm (0ml，l为n和M中较小的一个) 我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布， 也称X服从参数为N， M，n的超几何分布在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式求出X 离散型随机分布列的计算 【学而思高中数学讲义】 取不同值时的概率()P Xm，从而列出X的分布列 二项分布二项分布 1独立重复试验 如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A及A，并且事件A发生的概率相同在相同 的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独 立 重 复 试 验 n次 独 立 重 复 试 验 中 ， 事 件
4、A恰 好 发 生k次 的 概 率 为 ( )C(1) kkn k nn P kpp (0, 1, 2,)kn 2二项分布 若将事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为1qp ，那么在n次独立重复 试验中，事件A恰好发生k次的概率是()Ck kn k n P Xkp q ，其中0, 1, 2,kn于 是得到X的分布列 X01kn P 00 C n n p q 111 C n n p q Ck kn k n p q 0 Cn n n p q 由于表中的第二行恰好是二项展开式 001110 ()CCCC nnnkkn knn nnnn qpp qp qp qp q 各对应项的值，所以称这样的散型
5、随机变量X服从参数为n，p的二项分布， 记作( ,)XB np 二项分布的均值与方差： 若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则 ()E Xnp，( )D xnpq(1)qp 正态分布正态分布 1概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时， 直方图上面的折线所接近的曲线在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变 量X，则这条曲线称为X的概率密度曲线 曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X落在指定的两个 数a b，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积 2正态分布 定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素 在总体的
6、变化中都只是起着均匀、 微小的作用， 则表示这样的 随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量 正态变量概率密度曲线的函数表达式为 2 2 () 2 1 ( ) 2 x f xe ， xR，其中，是参数，且0， 式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差期望 为、标准差为的正态分布通常记作 2 ( ,)N 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线 标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布 重要结论： 正态变量在区间(,)，(2,2 )，(3 ,3 )内，取值的概率分 别是68.3%，95.4%，99.7%
7、正态变量在() ，内的取值的概率为1， 在区间(33 )，之外的取值的概率 【学而思高中数学讲义】 是0.3%， 故正态变量的取值几乎都在距x三倍标准差之内， 这就是正态分布的3原 则 若 2 ()N ，( )f x为其概率密度函数， 则称( )()( ) x F xPxf t dt 为概率分布 函数，特别的， 2 (0 1 )N ，称 2 2 1 ( ) 2 t x xedt 为标准正态分布函数 ()() x Px 标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得 分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可 3离散型随机变量的期望与方差 1离散型随机变量的数学期望 定义：一般地，设
8、一个离散型随机变量X所有可能的取的值是 1 x， 2 x， n x，这些 值对应的概率是 1 p， 2 p， n p，则 1122 ( ) nn E xx px px p，叫做这个离散型随 机变量X的均值或数学期望（简称期望） 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平 2离散型随机变量的方差 一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是 1 x， 2 x， n x，这些值对应的 概率是 1 p， 2 p， n p，则 222 1122 ()( )( )( ) nn D XxE xpxE xpxE xp叫 做这个离散型随机变量X的方差 离散型随机变量的方差反映了离散随机变
9、量的取值相对于期望的平均波动的大小 （离散 程度） ()D X的算术平方根( )D x叫做离散型随机变量X的标准差，它也是一个衡量离散型随 机变量波动大小的量 3X为随机变量，a b，为常数，则 2 ()()()()E aXbaE XbD aXba D X，； 4 典型分布的期望与方差： 二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为p，在n次二 点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为np 二项分布：若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则()E Xnp， ( )D xnpq(1)qp 超几何分布：若离散型随机变量X服从参数为NMn， ，的超几何分布， 则() nM
10、E X N ， 2 ()() () (1) n Nn NM M D X NN 4事件的独立性 如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即(|)( )P B AP B， 这时，我们称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件 如果事件 1 A， 2 A， n A相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发 生的概率的积， 即 1212 ()()()() nn P AAAP AP AP A， 并且上式中任意多个事 件 i A换成其对立事件后等式仍成立 【学而思高中数学讲义】 5条件概率 对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概 率， 用
11、符号“(|)P B A”来表示 把由事件A与B的交 （或积） ， 记做DAB（或DAB） 离散型随机分布列的性质 【例 1】袋中有大小相同的 5 个球，分别标有 1，2，3，4，5 五个号码，现在在有放回 抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可 能取值的个数是（） A5B9C10D25 【例 2】下列表中能成为随机变量的分布列的是 A 101 P030404 B 123 P040701 C 101 P030403 D 123 P030404 【例 3】设离散型随机变量X的分布列为 典例分析 【学而思高中数学讲义】 X01234 P0201010303 求21X 的分布
12、列；1X 的分布列 【例 4】已知随机变量X的分布列为： X210123 P1 12 1 4 1 3 1 12 1 6 1 12 分别求出随机变量 2 12 1 , 2 YX YX的分布列 【例 5】袋中有12个大小规格相同的球，其中含有2个红球，从中任取3个球，求取出 的3个球中红球个数X的概率分布 【学而思高中数学讲义】 【例 6】 某人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10 道试题中，能答对其中的 6 道题， 规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 道题进行测试，求答对试题数的概率分 布 【例 7】盒中的零件有 9 个正品和 3 个次品， 每次取一个零件， 如果取出的次品不放回， 求在取
13、得正品前已取出的次品数的概率分布 【例 8】有六节电池，其中有 2 只没电，4 只有电，每次随机抽取一个测试，不放回， 直至分清楚有电没电为止，所要测试的次数为随机变量，求的分布列 【例 9】在 10 件产品中有 2 件次品，连续抽 3 次，每次抽 1 件，求： 不放回抽样时，抽到次品数的分布列； 放回抽样时，抽到次品数的分布列 【例 10】设随机变量所有可能取值为1 2 3 4， ， ，且已知概率()Pk与k成正比， 求的分布 【学而思高中数学讲义】 【例 11】某一随机变量的概率分布如下表，且21.2mn，则 2 n m 的值为（） A0.2B0.2C0.1D0.1 【例 12】设随机变量
14、的分布列为 1 (),1, 2, 3 3 i Piai ，则a的值为（） A 1B 9 13 C 11 13 D 27 13 【例 13】设是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求q的值 -101 P 1 2 12q 2 q 【例 14】随机变量的概率分布规律为 1 a Pn n n 1, 2, 3, 4n ，其中a是 常数，则 15 22 P 的值为（） A 2 3 B 3 4 C 4 5 D 5 6 0123 P0.1 mn 0.1 【学而思高中数学讲义】 【例 15】一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级 品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量
15、，则 15 33 P （） A 1 7 B 2 7 C 3 7 D 4 7 【例 16】某一射手射击所得的环数的分布列如下： 45678910 P002004006009028029022 求此射手“射击一次命中环数7”的概率_ 【例 17】设随机变量 X 的分布列是 求1P X ；13PX 【例 18】随机变量X的分布列()(1 2 3 4) (1) p P Xkk k k ， ， ，p为常数，则 15 22 PX （） A 2 3 B 3 4 C 4 5 D 5 6 X123 P1/31/21/6 【学而思高中数学讲义】 【例 19】设随机变量X的概率分布列为()1 26 2k c P X
16、kk， ， ，其中c为常 数，则(2)P X 的值为（） A 3 4 B 16 21 C 63 64 D 64 63 【例 20】设随机变量X的分布列为1 2 3 k P Xkkn， ， ， ， ，求的取 值 【例 21】已知(1 2) (1) k pk k k ， ，为离散型随机变量的概率分布，求的取值 【例 22】若()1P Xna ，()1mP Xb ，其中mn，则()P mXn等于 （） A(1)(1)abB1(1)abC1()abD1(1)ba 【例 23】甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至有人投中为止，设每次投篮甲投中的概 率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且每次不受其他次投篮结果的
17、影响，甲投篮 【学而思高中数学讲义】 的次数为X，若甲先投，则P Xk_ 【例 24】某12人的兴趣小组中， 有5名三好生， 现从中任意选6人参加竞赛， 用X表 示这6人中三好生的人数，则(3)P X _ 【例 25】设随机变量的分布列如下： X123 n Pk2k4k 1 2nk 求常数k的值 【例 26】设随机变量X等可能的取值1 2 3n， ， ， ， 如果(4)0.3P X ， 那么 （） A3n B4n C9n D10n 【例 27】设随机变量X的概率分布列为 2 ()1 2 3 3 i P Xiai ， ，则a的值是 （） 【学而思高中数学讲义】 A 17 38 B 27 38 C
18、 17 19 D 27 19 【例 28】已 知 随 机 变 量X的 分 布 列 为()(1 2 3) 2 i P Xii a ， ， 则 (2)P X 【例 29】设随机变量X的概率分布是() 5k a P Xk，a为常数，1 2 3k ， ，则a （） A 25 31 B 31 25 C 125 31 D 31 125 离散型随机分布列的计算 【例 30】在第1 3 6 8 16， ， ， ，路公共汽车都要依靠的一个站（假设这个站只能停靠一 辆汽车） ，有一位乘客等候第6路或第16路汽车假定当时各路汽车首先到站 的可能性都是相等，则首先到站正好是这位乘客所需求的汽车的概率等 于 【例 31
19、】在15个村庄中有6个村庄交通不便，现从中任意选取10个村庄，其中有X 个村庄交通不便，下列概率中等于 46 69 10 15 C C C 的是（） 【学而思高中数学讲义】 A(4)P X B(4)P X C(6)P X D(6)P X 【例 32】已知随机量X服从正态分布3 1N，且240.6826PX，则 4P X （） A0.1588B0.1587C0.1586D0.1585 【例 33】某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从 6 道备选题中一次性随 机抽取 3 题，按照题目要求独立完成全部实验操作规定：至少正确完成其中 2 题的便可提高通过已知 6 道备选题中考生甲有 4 题能正
20、确完成，2 题不能 完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响分别 写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列 【例 34】一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球 个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半现从该盒中随机取出一个球，若取 出红球得 1 分，取出黄球得 0 分，取出绿球得1分，试写出从该盒中取出一球 所得分数X的分布列，并求出所得分数不为 0 的概率 【学而思高中数学讲义】 【例 35】旅游公司为 3 个旅游团提供 4 条旅游线路，每个旅游团任选其中一条求 选择甲线路旅游团数的分布列 【例 36】甲、 乙等五名奥运志愿者被随机地分到ABCD，
21、 ， ，四个不同的岗位服务， 每个岗位至少有一名志愿者 求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率； 求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； 设随机变量为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求的分布列 【例 37】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上 的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克） ，重量的分组区间为 490495，495500，510515，由此得到样本的频率分布直方图， 如图 4 所示 根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量 在上述抽取的40件产品中任取2件， 设Y为重量超过505克的产品数量， 求Y的 分布列； 从该流水线上任取5件产品，求
22、恰有2件产品的重量超过505克的概率 【学而思高中数学讲义】 【例 38】甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记国徽面（记为正面）朝上的 次数为随机变量X；乙用一枚硬币掷2次，记国徽面（记为正面）朝上的次数 为随机变量Y 求随机变量X与Y的分布列； 求甲得到的正面朝上的次数不少于1的概率 求甲与乙得到的正面朝上的次数之和为3的概率； 求甲得到的正面朝上的次数大于乙的概率 【例 39】一袋中装有编号为1 2 3 4 5 6， ， ， ， ，的6个大小相同的球，现从中随机取出3 个球，以X表示取出的最大号码 求X的概率分布； 求4X 的概率 【学而思高中数学讲义】 【例 40】袋中装有黑球和白球
23、共7个，从中任取2个球都是白球的概率为 1 7 ，现有 甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放 回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等 可能的，用X表示取球终止所需要的取球次数 求袋中所有的白球的个数； 求随机变量X的概率分布； 求甲取到白球的概率 【例 41】一个袋中有5个球，编号为1 2 3 4 5， ， ， ，在其中同时取 3 个球，以X表示 取出的3个球中的最大号码，试求X的概率分布列以及最大号码不小于 4 的概 率 【例 42】对于正整数2n，用 n T表示关于x的一元二次方程 2 20 xaxb有实数 根的有序数组ab，的组数
24、，其中12abn， ，（a和b可以相等） ；对 于随机选取的12abn， ，（a和b可以相等） ，记 n P为关于x的一元二 次方程 2 20 xaxb有实数根的概率 求 2 n T及 2 n P；求证：对任意正整数2n，有 1 1 n P n 【学而思高中数学讲义】 【例 43】某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后， 出现红球与绿球的概率都是 1 2 ，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下 一次出现红球、 绿球的概率分别为 12 33 ，； 若前次出现绿球， 则下一次出现红球、 绿球的概率分别为 32 55 ，；记 第(*)n nN次按下按钮后出现红球的概率为 n P 求 2 P的值； 当2nnN， 时，求用 1n P表示 n P的表达式； 求 n P关于n的表达式
