1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 题型一： 向量及与向量相关的基本概念 【例 1】判断下列命题是否正确，并说明理由： （1）共线向量一定在同一条直线上。（） （2）所有的单位向量都相等。（） （3）向量ab 与共线，bc 与共线，则ac 与共线。（） （4）向量ab 与共线，则/ /ab （） （5）向量/ /ABCD ，则/ /ABCD。（） （6）平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量。（） 【例 2】给出命题 零向量的长度为零，方向是任意的. 若a ，b 都是单位向量，则a b . 向量AB 与向量BA 相等. 若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A，B，C，D四点共线. 以上命题中
2、，正确命题序号是（） ABCD 【例 3】如图，在正方形ABCD中，下列描述中正确的是（） AABBC BABCD C2ACAB DABBCABBC ? D ? C ? B ? A 板块一.向量的概念 与线性运算 【学而思高中数学讲义】 【例 4】下列命题正确的是（） A.a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 C.向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 【例 5】设 0 a 为单位向量， 若a 为平面内的某个向量， 则 0 aa a ； 若a 与 0 a 平行， 则 0 aa
3、 a ；若a 与 0 a 平行且1a ，则 0 aa 上述命题中，假命题个数是 （） A0B1C2D3 【例 6】下列命题中正确的有：() 四边形ABCD是平行四边形当且仅当ABDC ； 向量AB 与BA 是两平行向量； 向量AB 与CD 是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上； 单位向量不一定都相等； a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线； 平行向量的方向一定相同； 【例 7】判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向(2)若ab ，则ab (3)单位向量都相等(4) 向量就是有向线段 (5)两相等向量若共起点,则终点也相同(6)若ba ，cb ，则ca ； (7)若
4、ba /，cb /，则ca / (8)若四边形 ABCD 是平行四边形,则DABCCDB,A (9)ba 的充要条件是|ba 且ba /； 【例 8】在四边形 ABCD 中，“AB 2DC ”是“四边形 ABCD 为梯形”的 【学而思高中数学讲义】 A、充分不必要条件B、必要不充分条件 C、充要条件D、既不充分也不必要条件 【例 9】判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. 向量AB 与CD 是共线向量，则 A、B、C、D 四点必在一直线上； 单位向量都相等； 任一向量与它的相反向量不相等； 四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件是ABCD 模为 0 是一个向量方向不确定的充要条件； 共
5、线的向量，若起点不同，则终点一定不同. 【例 10】平面向量a ，b 共线的充要条件是（） Aa ，b 方向相同Ba ，b 两向量中至少有一个为零向量 C R，ba D存在不全为零的实数 1 ， 2 ， 12 0ab 【例 11】给出下列命题： 若ab ，则ab ； 若A B CD， ， ，是不共线的四点，则ABDC 是四边形ABCD为平行四边形的 充要条件； 若ab ，bc ，则ac ； ab 的充要条件是ab 且ab ； 若ab ，bc ，则ac ； 其中正确的序号是 题型二: 向量的加、减法 【例 12】化简()()ABCDACBD 【例 13】化简下列各式： 7()8()abab ；
6、1 2(2)(432 ) 6 abcabc 【学而思高中数学讲义】 【例 14】若32mna ，3mnb ，其中a ，b 是已知向量，求m ，n . 【例 15】设P是ABC所在平面内的一点，2BCBABP ，则（） A0PAPB B0PCPA C0PBPC D0PAPBPC 【例 16】如 图 ， 在 平 行 四 边 形ABCD中 ， 下 列 结 论 中 错 误 的 是 （） ? D ? C ? B ? A AABDC BADABAC CABADBD D0ADCB 【例 17】D是ABC的边AB上的中点，则向量CD （） A 1 2 BCBA B 1 2 BCBA C 1 2 BCBA D
7、1 2 BCBA . 【例 18】根据图示填空： ab ；ebd 【例 19】已知OAB， ，是平面上的三个点， 直线AB上有一点C， 满足20ACCB ， 则OC () A2OAOB B2OAOB C 21 33 OAOB D 12 33 OAOB 【例 20】设D，E，F，分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点，且 【学而思高中数学讲义】 2,DCBD 2,CEEA 2,AFFB 则ADBECF 与BC () A.反向平行B.同向平行 C.互相垂直D.既不平行也不垂直 【例 21】如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则（） A0ADBECF B0BDCFDF C0AD
8、CECF D0BDBEFC ? F ? E ? D ? C ? B ? A 【例 22】如图所示，EF、是四边形ABCD的对角线ACBD、的中点，已知 ,ABa CDc ，求向量EF 【例 23】如图，在ABC 中，D、E 为边 AB 的两个三等分点，3CAa ，2CBb ， 求CD ，CE 【例 24】已 知 任 意 四 边 形ABCD中 ，,E F分 别 是,AD BC的 中 点 ， 求 证 ： 1 () 2 EFABDC 【例 25】若| |OAOBOAOB 则向量,OAOB 的关系是（） A平行B重合C垂直D不确定 A B C D E 【学而思高中数学讲义】 【例 26】若非零向量a
9、，b 满足abb ，则（） A22bab B22bab C22aab D22aab 【例 27】在ABC所在的平面上有一点P，满足PAPBPCAB ，则PBC与 ABC的面积之比是() A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 题型三: 向量数乘运算及其几何意义 【例 28】已知a、b是两个不共线的向量，若它们起点相同，a、 2 1 b、t（a+b） 三向量的终点在一直线上，则实数 t=_. 【例 29】设a ，b ，c 为非零向量，其中任意两个向量不共线，已知ab 与c 共线， 且bc 与a 共线，则bac 【例 30】已知, a b 是不共线的向量，25ABab ，8BCab ，3(
10、)CDab ，则 ABD、 、C、四点中共线的三点是_ 【例 31】设, a b 是不共线的两个向量，已知 2 2(2)ABkakb ，BCab ， 2CDab ，若ABD、 、三点共线，求k的值 【例 32】设 12 ,e e 是不共线的向量， 已知向量 121212 2,3 ,2ABeke CBee CDee ， 若ABD、 、三点共线，求k的值 B C A P 【学而思高中数学讲义】 【例 33】已知 A、B、C、P 为平面内四点，求证：A、B、C 三点在一条直线上的充 要条件是存在一对实数 m、n，使PCmPAnPB ，且 m+n=1 【例 34】已知向量 1121 0,2l?R ?a
11、ll ?bl ，若向量a 和b 共线，则下列关 系一定成立的是（） A、0B、0 2 lC、 12 / ll D、0 2 l或0 【例 35】D、E、F 分别是ABC 的 BC、CA、AB 上的中点，且aBC ，bCA ， 给出下列命题，其中正确命题的个数是（） baAD 2 1 baBE 2 1 baCF 2 1 2 1 0CFBEAD A、1B、2C、3D、4 【例 36】已知： 2 1 2 1 2 1 2CD ,BC ),(3eeeeeeAB， 则下列关系一定 成立的是（） A、A，B，C 三点共线B、A，B，D 三点共线 C、C，A，D 三点共线D、B，C，D 三点共线 【例 37】如
12、图，在 ABC中，AD、BE、CF分别是BC、CA、AB上的中线，它 们交于点G，则下列各等式中不正确的是（） 【学而思高中数学讲义】 ? G ? F ? E ? D ? C ? B ? A A 2 3 BGBE B2CGGF C 1 2 DGAG D 121 332 DAFCBC 【例 38】如图，已知,3ABa ACb BDDC ，用, a b 表示AD ，则AD （） A 3 4 ab B 13 44 ab C 11 44 ab D 31 44 ab 【例 39】已知 2 1212 (1),(21)3ateke btee ，且ba/，试求 t 关于 k 的函数。 【例 40】证明对角线互
13、相平分的四边形是平行四边形 ? O ? D ? C ? B? ? A 【例 41】向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。已知四边形 ABCD，AC 与 BD 交于 O，AO=OC，DO=OB，求证：ABCD 是平行四边形。 【例 42】已知ABCD的两条对角线AC与BD交E，O是任意一点 【学而思高中数学讲义】 求证：OA +OB +OC +OD =4OE 【例 43】如图所示， 1 A， 2 A， 3 A， 8 A是O的8个等分点，以 1 A， 2 A， 8 A 及O这9个点中任意两个为起始点和终点的向量中， 模等于半径2倍的向量有 多少个？ 【例 44】已知五边形ABCDE，M
14、、N、P、Q分别是边AB、CD、BC、DE的 中点，K、H分别是MN和PQ的中点，求证：KH平行且等于 1 4 AE. ? E ? D ? C ? B ? A ? M ? N ? P ? Q ? K ? H 【例 45】如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、CD的中点，BE、BF与 对角线AC分别交于点R和点T求证ARRTTC(向量法) ? T ? R ? F ? E ? D ? C ? B ? A 【学而思高中数学讲义】 【例 46】四边形ABCD中，E，F，M，N分别为BC，AD，BD，AC的中点， O为MN的中点，试用向量的方法证明：O也是EF的中点 F E O M N D C
15、B A 【例 47】在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点OE，是线段OD的中点，AE的 延长线与CD交于点F若ACa ，BDb ，则AF () 60 45 ? E ? D ? B ? C ? A A 11 42 ab B 21 33 ab C 11 24 ab D 12 33 ab 【例 48】如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起若ADxAByAC ， 则 x ，y= ? O ? F ? E ? D ? C ? B ? A 【例 49】若等边ABC的边长为2 3，平面内一点M满足 12 63 CMCBCA ，则 MA ，MB （用CB ，CA 向量表示） 【学而思高中数学讲义】 【例 50】如图，在OAB 中，OAOC 4 1 ，OBOD 2 1 ，AD 与 BC 交于 M 点， 设aOA ，bOB ， （1）试用a和b表示向量OM（2）在线段 AC 上取一点 E，线段 BD 上取一点 F，使 EF 过 M 点，设OAOE，OBOF。 求证：1 7 3 7 1 。
