1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 【例 1】若0 x ，则 4 yx x 的最小值是_ 【例 2】设0abc，则 22 11 21025 () aacc aba ab 的最小值是（） A2B4C2 5D5 【例 3】若,ABC为ABC的三个内角，则 41 ABC 的最小值为 均值不等式的应用 【学而思高中数学讲义】 【例 4】设0 ,0 ,24ababab，则（） Aab有最大值8Bab有最小值8 Cab有最大值8Dab有最小值8 【例 5】已知：ab R、（其中 R表示正实数） ， 求证： 222222 2()2 11 23()23 ababaabbabaabb ab abab ab 【例
2、6】设, ,0a b c ，求证： 333 3abcabc，当且仅当abc时等号成立， 进一步证明： 222 3 3 111 33 abcabc abc abc ，当且仅当abc时 各等号成立 【学而思高中数学讲义】 【例 7】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/ 小 时 ） 与 汽 车 的 平 均 速 度v（ 千 米 / 小 时 ） 之 间 的 函 数 关 系 为 ： 2 920 (0) 31600 v yv vv 在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？ （精确到0.1千辆/小时） 若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽
3、车的平均速度应在什么范围内？ 【例 8】某种汽车购车费用是10万元， 每年使用的保险费、 养路费、 汽油费和约为0.9万 元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元问这种汽车使用多少 年报废最合算?(最佳报废时间也就是年平均费用最低的时间) 【学而思高中数学讲义】 【例 9】如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图 中阴影部分） ，这两栏的面积之和为 2 18000cm，四周空白的宽度为10cm，两栏 之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm） ， 能使矩形广告面积最小？ 【例 10】如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底
4、宽为2米的无盖长方体沉 淀箱污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出设箱体长度为a米，高度为b 米已知流出的水中，杂质的质量分数与, a b的乘积ab成反比现有制箱材料 60平方米，问当, a b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最 小(,A B孔的面积忽略不计) 2 B A a 【学而思高中数学讲义】 【例 11】设计一幅宣传画， 要求画面面积为 2 4840cm， 画面的宽与高的比为(1) ， 画面的上下各留8cm的空白，左右各留5cm的空白，问怎样确定画面的高与宽 的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果 23 , 34 ，那么为何值时， 能使宣传画所用纸张面积最小？ 【例 12
5、】某单位用木料制作如图所示的框架， 框架的下部是边长分别为, x y(单位： m)的矩形上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积 2 8m. 问, x y分别 为多少(精确到 0.01m) 时用料最省? 【学而思高中数学讲义】 【例 13】某村计划建造一个室内面积为800 2 m的矩形蔬菜温室 在温室内， 沿左 右 两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地当矩形 温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大最大种植面积是多少？ 【例 14】对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁 度定义为：1 污物质量 ） 物体质量（含污物） 为0.8，要求清洗
6、完后的清洁度为0.99有 两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙： 分两次清洗该物体初次 清洗后受残留水等因素影响，其质量变为(13)aa设用x单位质量的水初 次清洗后的清洁度是 0.8 1 x x (1)xa， 用y单位质量的水第二次清洗后的清洁 度是 yac ya ，其中c (0.80.99)c是该物体初次清洗后的清洁度 分别求出方案甲以及0.95c 时方案乙的用水量， 并比较哪一种方案用水量较 少； 若采用方案乙，当1.4a 时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用 水量最小? 【学而思高中数学讲义】 【例 15】按照某学者的理论，假设一个人生产某产品的单件成本为a元，如果他卖
7、出该产品的单价为m元， 则他的满意度为 m ma ； 如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为 a na 如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分 别为 1 h和 2 h，则他对这两种交易的综合满意度为 12 hh 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种 产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为 A m元和 B m元， 甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙； 求h甲和h乙关于 A m、 B m的表达式；当 3 5 AB mm时，求证：h甲=h乙； 设 3 5 AB mm，当 A m、 B m分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最 大的综合满意度为多少？ 记中最大的综合满意度为 0 h， 试问能否适当选取 A m、 B m的值， 使得 0 hh 甲 和 0 hh 乙 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由
