1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 题型一 对数函数的基本性质 【例 1】下面结论中，不正确的是 A.若 a1，则 x ya与logayx在定义域内均为增函数 B.函数3xy 与 3 logyx图象关于直线yx对称 C. 2 logayx与2logayx表示同一函数 D.若01,01amn，则一定有loglog0 aa mn 【例 2】图中的曲线是logayx的图象，已知a的值为2， 4 3 ， 3 10 ， 1 5 ，则相应曲线 1234 ,C C C C的a依次为（）. A.2， 4 3 ， 1 5 ， 3 10 B.2， 4 3 ， 3 10 ， 1 5 C. 1 5 ， 3 10 ， 4
2、 3 ，2D. 4 3 ，2， 3 10 ， 1 5 0 x C1 C2 C4 C31 y 【例 3】当01a时,在同一坐标系中,函数log x a yayx 与的图象是（）. x y 1 1 o x y o 1 1o y x 1 1 o y x1 1 ABCD 板块二.对数函数 【学而思高中数学讲义】 【例 4】设1a ，函数( )logaf xx在区间2a a，上的最大值与最小值之差为 1 2 ，则a （）. A.2B.2C.2 2D.4 【例 5】若 2 3 log1a ，则 a 的取值范围是 A. 2 0 3 aB. 2 3 a C. 2 1 3 aD. 2 0 3 a或 a1 【例
3、6】比较两个对数值的大小：ln7ln12； 0.5 log0.7 0.5 log0.8. 【例 7】若log 9log 90 mn ，那么,m n满足的条件是（）. A.1mn B.1nmC.01nmD.01mn 【例 8】已知 111 222 logloglogbac，则（） A.222 bac B.222 abc C.222 cba D.222 cab 【例 9】下列各式错误的是（）. A. 0.80.7 33B. 0.10.1 0.750.75 C. 0.50.5 log0.4log0.6D.lg1.6lg1.4. 【例 10】下列大小关系正确的是（）. A. 30.4 4 0.43lo
4、g 0.3B. 30.4 4 0.4log 0.33 C. 30.4 4 log 0.30.43D. 0.43 4 log 0.330.4 【例 11】a、b、c 是图中三个对数函数的底数，它们的大小关系是 A.cabB.cbaC.abcD.bac 【学而思高中数学讲义】 【例 12】指数函数(0,1) x yaaa的图象与对数函数log(0,1) a yx aa的图象 有何关系？ 【例 13】如果log 2log 20 ab ，那么 a，b 的关系及范围. 【例 14】若log 2log 20 ab ，则（） A.01abB.01baC.1abD.1ba 【例 15】若log 3log 3
5、mn ，求mn和的关系。 【例 16】比较下列各数大小： 1 0.30.4 log0.7log0.3与2 1 2 0.63.4 1 log0.8,log0.7 3 和 3 0.30.2 log0.1log0.1和 【学而思高中数学讲义】 【例 17】比较下列各组数的大小： 2 log 3.4， 2 log 8.5； 0.3 log1.8， 0.3 log2.7； log 5.1 a ，log 5.9 a (0,a 且1)a ; 2 0.3， 2 log 0.3， 0.3 2. 【例 18】若, a b为不等于 1 的正数，且ab，试比较logab、 1 loga b 、 1 logb b .
6、【例 19】已知 2 log1 3 a ，求a的取值范围. 【例 20】设01a，, x y满足：log3loglog3 axx xay，如果y有最大值 2 4 ， 求此时a和x的值 【例 21】已知6lglgApq，其中, p q为素数，且满足29qp，求证：34A 【例 22】不等式 3 21 2 1 log1log20 2 xx 的解集为_ 题型二 对数型符合型复合函数的定义域值域 【例 23】下列函数中哪个与函数 y=x 是同一个函数（） 【学而思高中数学讲义】 A. log (0,1) ax yaaaB. y= 2 x x C.log(0,1) x a yaaaD.y= 2 x 【例
7、 24】函数 1 2 log (1)yx的定义域是（）. A.(1,)B.(,2)C.(2,)D.(1,2 【例 25】函数 3 logyx的定义域为. （用区间表示） 【例 26】求下列函数的定义域： （1） 3 2 logyx(2) 0.5 log43yx 【例 27】求下列函数的定义域： 2 logayx；log (4) a x； 1 2 log (1)yx. 【例 28】求下列函数的定义域： 3 1 log (32) y x ； 1 log(3) x yx . 【例 29】求下列函数的定义域： （1） 2 logayx； （2）log (4) a yx； （3） 2 log (9) a
8、 yx 【学而思高中数学讲义】 【例 30】求下列函数的定义域： 3 log1yx 2 1 log y x 7 1 log 13 y x 【例 31】求下列函数的定义域：（1） 3 4 log1 1 x f xx x ； （2） 2 1log (45)yx. 【例 32】函数 2 1 2 log (617)yxx的值域是（）. A.RB.8,)C.(, 3 D.3,) 【例 33】函数 2 lg(20)yxx的值域是 A.y0B.yRC.y0 且 y1D.y2 【例 34】求下列函数的定义域、值域： 1 2 1 1 2 4 x y 2 2 2 log (25)yxx 3 2 1 3 log (
9、45)yxx4 2 log () a yxx 【学而思高中数学讲义】 【例 35】已知函数 2 ( )lg2(1)94f xmxmxm， 若此函数的定义域为R，求实数m的取值范围； 若此函数的值域为R，求实数m的取值范围. 【例 36】对于 2 1 2 ( )log (23)f xxax， 函数的“定义域为R”和“值域为R”是否是一回事； 结合“实数a取何值时，( )f x在 1) ，上有意义”与“实数a取何值时，函数 的定义域为(1)(3) ，”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别. 结合两问，说明实数a的取何值时( )f x的值域为(1 ，. 实数a取何值时，( )f x在(1，内
10、是增函数. 是否存在实数a，使得( )f x的单调递增区间是(1，若存在，求出a的值； 若不存在，说明理由. 【例 37】已知函数 2 3 2 8 ( )log 1 mxxn f x x 的定义域为 R，值域为02，求 m，n 的 值. 【例 38】求函数 222 1 ( )loglog (1)log () 1 x f xxpx x 的定义域和值域. 【学而思高中数学讲义】 题型三 对数型符合型复合函数的单调性 【例 39】下列函数中，在(0,2)上为增函数的是（）. A. 1 2 log (1)yxB. 2 2 log1yxC. 2 1 logy x D. 2 0.2 log(4)yx 【例
11、 40】证明函数 y= 1 2 log( 2 x+1)在（0，+）上是减函数； 【例 41】判断函数 y= 1 2 log（ 2 x+1)在（-,0）上是增减性. 【例 42】讨论函数 0.3 log(32 )yx的单调性. 【例 43】求 2 0.3 log2yxx的单调递减区间 【例 44】求函数 2 2 log4yxx的单调递增区间 【学而思高中数学讲义】 【例 45】求函数 2 1 2 log (318)yxx的单调区间，并用单调定义给予证明。 【例 46】求函数 2 1 2 log (23)yxx的单调区间，并用单调定义给予证明 【例 47】已知( )log (1) x a f xa
12、(0,a 且1)a ， 求( )f x的定义域； 讨论函数( )f x的单调性； 【例 48】已知 6 ( )log, (0,1) a f xaa xb ，讨论( )f x的单调性. 【例 49】已知 log2 x a ya在0，1上是 x 的减函数，求 a 的取值范围. 【例 50】已知( )lg() xx f xab，a,b 为常数 当a，0b 且ab时，求 f x的定义域； 当10ab 时，判断 f(x)在定义域上的单调性，并用定义证明 【学而思高中数学讲义】 【例 51】设2,8x，函数 2 1 ( )log () log () 2 aa f xaxa x的最大值是 1，最小值是 1
13、8 ， 求a的值。 【例 52】已 知 函 数 2 ( )log 2 a x f x x 的 定 义 域 为, ， 值 域 为 log(1),log(1) aa aa，且( )f x在, 上为减函数. （1）求证2； （2）求 a 的取值范围. 【例 53】在函数(01 a ylog xa，1)x 的图象上有 A，B，C 三点，它们的横坐标 分别是 t，t2，t4， （1）若ABC 的面积为 S，求 Sf（t） ； （2）判断 Sf（t）的单调性； （3）求 Sf（t）的最大值. 【学而思高中数学讲义】 题型四 对数函数的综合与应用 【例 54】函数 1 lg 1 x y x 的图象关于（）.
14、 A. y 轴对称B. x 轴对称C. 原点对称D. 直线 yx 对称 【例 55】函数 2 ( )lg(1)f xxx 是函数. （填“奇” 、 “偶”或“非奇非 偶” ） 【例 56】函数logayx在2,)x上恒有| 1y ，求a的范围. 【例 57】已知 a0，a1，01x，比较|log (1)| a x和|log (1)| a x的大小. 【例 58】若关于 lg() 2 lglg3 xa x 至少有一个实数根，则求a的取值范围. 【例 59】设a，b为正数，若lg()lg()10axbx 有解，则求 a b 的取值范围. 【学而思高中数学讲义】 【例 60】如果 2 11 22 2
15、2 log(1)log2 aa aa ，求a的取值范围. 【例 61】已知 2 |log (583)2 x Axxx， 24 |210Bx xxk ，要使 A B， 求实数 k 的取值范围. 【例 62】已知loglog2(0 aa xya，1)a ，求 11 xy 的最小值. 【例 63】已知2520 xy，求lglgxy的最大值. 【例 64】已知 22 44xy，求 xy 的最大值. 【例 65】设1x ，1y ，且2log2log30 xy yx，求 22 4Txy的最小值。 【学而思高中数学讲义】 【例 66】已知函数 2 ( )3log,1,4f xxx， 22 ( )() ( )
16、g xf xf x，求： （1）( )f x的值域；（2）( )g x的最大值及相应 x 的值. 【例 67】当 a 为何值时， 不等式 22 15 log (51) log (6)log 30 a a xaxxax有且 只有一解 【例 68】设函数( ) |lg|f xx，若0ab，且( )( )f af b，证明：1ab 【例 69】设 12 4 ( )min(3log,log)f xxx， 其中min( , )p q表示p、q中的较小者， 求( )f x 的最大值 【例 70】2005 年 10 月 12 日，我国成功发射了“神州”六号载人飞船，这标志着中 国人民又迈出了具有历史意义的一
17、步.已知火箭的起飞重量 M 是箭体（包括搭 载的飞行器）的重量 m 和燃料重量 x 之和.在不考虑空气阻力的条件下，假设 火箭的最大速度y关于x的函数关系式为： ln()ln( 2 )4ln2 (0)ykmxmk其中. 当燃料重量为(1)em吨（e 为自 然对数的底数，2.72e ）时，该火箭的最大速度为 4（km/s）. （1）求火箭的最大速度(/ )y km s与燃料重量 x 吨之间的函数关系式( )yf x； （2）已知该火箭的起飞重量是 544 吨，是应装载多少吨燃料，才能使该火箭 的最大飞行速度达到 8km/s，顺利地把飞船发送到预定的轨道？ 【学而思高中数学讲义】 【例 71】我们
18、知道，人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系. 声音的强度 I 用瓦/平方米 （ 2 /Wm）表示. 但在实际测量中，常用声音的强度水平 1 L表示， 它们满足以下公式： 1 0 10lg I L I （单位为分贝） ， 1 0L ，其中 12 0 1 10I ，这 是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端. 回答以下问题： （1）树叶沙沙声的强度是 122 1 10/Wm ，耳语的强度是 102 1 10/Wm ，恬静的 无限电广播的强度为 82 1 10/Wm . 试分别求出它们的强度水平. （2）在某一新建的安静小区规定：小区内的公共场所声音的强度水平必须保 持在 50 分贝以下，试
19、求声音强度 I 的范围为多少？ 【例 72】已知函数( )1log 3 x f x ，( )2log 2 x g x ， 试比较函数值( )f x与( )g x的大小； 求方程|( )( )|( )( )4f xg xf xg x的解集. 【例 73】已知函数1, 0)(log)(aaxaxxf a 为常数） （1）求函数 f(x)的定义域； （2）若 a=2，试根据单调性定义确定函数 f(x)的单调性。 （3）若函数 y=f(x)是增函数，求 a 的取值范围。 【例 74】对于在区间nm,上有意义的两个函数 f(x)与 g(x)，如果对任意的 xnm,，均有1)()(xgxf，则称 f(x)
20、与 g(x)在nm,上是接近的，否则 称 f(x)与 g(x)在nm,上是非接近的，现有两个函数)3(log)( 1 axxf a 与 【学而思高中数学讲义】 ) 1, 0( 1 log)( 2 aa ax xf a ，给定区间3, 2aa。 （1）若)( 1 xf与)( 2 xf在给定区间3, 2aa上都有意义，求 a 的取值范围； （2）讨论)( 1 xf与)( 2 xf在给定区间3, 2aa上是否是接近的。 【例 75】已知函数( )log (1),( )log (1) aa f xxg xx其中(01)aa且 （1）求函数 ( )( )f xg x的定义域；（2）判断( )( )f xg x的奇偶性，并说明理由； （3）求 使( )( )0f xg x成立的x的集合.
