1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 题型一 平面的基本性质 【例 1】 在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【例 2】 判断下面说法是否正确： 如果一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线确定一个平面 经过一点的两条直线确定一个平面 经过空间任意三点有且只有一个平面 若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形 两个平面的公共点的集合，可能是一条线段 空间中的四个点只可能确定一个平面或四个平面 【例 3】 若P是正方体 1111 ABCDABC D上底面对角线AC上一点，则B、D、P三点可以 确定
2、平面（） A1个B2个C无数个D1个或无数个 【例 4】 下列推理错误的是（） A,Al ABl Bl B,AABBAB C, , , ,A B CA B C，且, ,A B C不共线, 重合 D,lAlA 【例 5】 已知点A，直线l，平面， ,Al lA,Al lA ,Al lA,Al Al 以上命题表达正确，且是真命题的有_ 板块一.对平面的进一步认识 【学而思高中数学讲义】 共线问题 【例 6】 在正方体 1111 ABCDABC D中，O， 1 O分别是上，下底的中心，P是 1 DB的中点， 则O、P、 1 O三点（） A不共面共线B共线C共面不共线D不共面 【例 7】 如图， 已知
3、在空间四边形ABCD中 （即这四点不共面） ，,E F G H分别是AB、BC、 CD、AD上的点，且EH交FG于P求证：P在直线BD上 ? G? ? F ? E ? D ? C ? B ? A ? P ? H 【例 8】 在棱长为2的正方体ABCDA B C D中，,E F分别是,AB CC的中点，过点 ,E F D的截面与正方体的下底面相交于直线l， 请画出直线l的位置； 设lBCG，求BG的长 【例 9】 在三棱锥ABCD中，作截面PQR，若,PQ CB的延长线交于M，,RQ DB的延长 线交于点N，,RP DC的延长线交于点K求证：,M N K三点共线? K ? R ? Q ? P ?
4、 N ? M ? D ? B ? C ? A 【例 10】已知正方体 1111 ABCDABC D， 记 1 AC与平面 11 ABC D交于点Q 求证：A，Q， 【学而思高中数学讲义】 1 C三点共线 【例 11】在正方体 1111 ABCDABC D中 （如图） ， 1 AC与截面 1 DBC交于O点，,AC BD 交于M，求证： 1, ,C O M三点共线 ? M ? O ? D ? D ? 1 ? A ? 1 ? A ? B ? B ? 1 ? C ? C ? 1 【例 12】如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，O为上底面 1111 ABC D的中心，M是正方 体对角线 1
5、 AC和截面 11 AB D的交点求证：O、M、A三点共线 ? O ? M ? A ? B ? C ? D ? B ? 1 ? C ? 1 ? D ? 1 ? A ? 1 共面问题 【例 13】如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面 【例 14】如图，直线,a b是异面直线，,A B C为直线a上三点，DEF， ，是直线b上 三点，ABCDE， ， ， ， 分别为ADDBBEEC CF，的中点， 求证：A B CC D E ；ABCDE， ， ， ，共面 ? E ? D ? C ? B ? A ? F ? E ? D ? C ? B ? A ? a ? b 【学而思高中数
6、学讲义】 【例 15】正方体 1111 ABCDABC D中，,E F G H K L分别是 111 DCDDAD、 111 ABBBBC、的中点，求证：这六点共面 ? L ? G? ? F ? E ? D ? C ? B ? A ? K ? H ? A ? 1 ? D ? 1 ? B ? 1 ? C ? 1 【例 16】已知正方体 1111 ABCDABC D，E、F分别为 11 DC， 11 BC的中点，记 1 AC与平 面 11 ABC D交于点Q 求证：D、B、E、F四点共面； 求证：A，Q， 1 C三点共线 【例 17】已知正方体 1111 ABCDABC D，E、F分别为 11 D
7、C， 11 BC的中点，ACBDP， 11 ACEFQ 求证：D、B、E、F四点共面； 若 1 AC交平面BDEF于点R，求证：P、Q、R三点共线 【例 18】已知空间四边形ABCD的对角线是,AC BD，点,E F G H M N分别是 ,AB BC,CD,DA AC BD的中点， 求证：三线段EG，FH，MN交于一点且被该点平分 题型二 平面分空间问题 【例 19】任给三个平面，可能把空间划分成几个部分？ 【例 20】（2007 重庆理 3）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面 把空间分成（） A5 部分B6 部分C7 部分D8 部分 【例 21】把正方体的各个面伸展成平面
8、，则把空间分为（） A13 部分B19 部分C21 部分D27 部分 【学而思高中数学讲义】 【例 22】把正四面体的各个面伸展成平面，则把空间分为（） A11 部分B13 部分C15 部分D17 部分 【例 23】右图是一个长方体， 问此长方体过点A的三个面所在的平面将空间分成几个部 分？侧面ABB A ，BCC B 和对角面ACC A 所在的三个平面将空间分成几个部 分？ ? D ? C ? B ? A ? C ? B ? A 题型三 截面问题 【例 24】在正方体 1111 ABCDABC D中，P Q，分别是棱 1 AA， 1 CC的中点，则过点 BP Q， ，的截面（） A邻边不等的
9、平行四边形B菱形但不是正方形 C邻边不等的矩形D正方形 【例 25】如图所示，已知正三棱柱 111 ABCABC的底面边长为1，高为1，过 1 A A， 11 AB 和AC的中点E，F，G画截面 ? E ? Q ? M ? P ? F ? H ? G ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? C ? B ? A 【例 26】正方体 1111 ABCDABC D中，P、Q、R分别为BC，AB， 11 C D的中点，求 作正方体的过P、Q、R的截面 【学而思高中数学讲义】 ? R ? S ? G ? Q ? P ? A ? B ? C ? D ? A ? 1 ? B ? 1 ? C ? 1 ? D ? 1 ? E ? F ? M ? N 【例 27】如图，求作经过棱长为1的正方体 1111 ABCDABC D的棱 1 AA和 1 CC的中点E、 F及点 1 D的截面求该截面与正方体的下底面以及正方体侧面所围成的几何体 的体积 ? A ? B ? C ? D ? A ? 1 ? B ? 1 ? C ? 1 ? D ? 1 ? P ? F ? E ? Q
