1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 题型一：向量综合 【例 1】设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则： ()()0a b cc a b abab ()()b c ac a b 不与c 垂直 22 (32 ) (32 )94ababab 中， 真命题是（） ABCD 【例 2】设向量a b ，满足：| 3a ，| 4b ，0a b 以a bab ， ，的模为边长构成三 角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（） A3B4C5D6 【例 3】 已知(1 3)A ,，3 7B,，(6 0)C,，(81)D, ，求证：AB CD 已知( 32)a, ，(4 4)b, 求23a
2、b ，cosa, b 已知(1 2)axy,xy ，(22)bxy, xy ，若23ab ，求x、y的值 【例 4】关于平面向量a b c ， ，有下列三个命题： 若a ba c =，则bc 若(1)ak ，( 2 6)b ，ab ，则3k 非零向量a 和b 满足abab ，则a 与ab 的夹角为60 其中假命题的序号为 （写出所有真命题的序号） 【例 5】如图， 以原点和(5 2)A,为顶点作等腰直角OAB， 使90B， 求点B和向量AB 的坐标 板块四.平面向量的应用 【学而思高中数学讲义】 【例 6】设(1)A a，(2)Bb，(4 5)C，为坐标平面上三点，O为坐标原点，若OA 与OB
3、 在OC 方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（） A453abB543ab C4514abD5414ab 【例 7】已知( , )P x y，( 1,0)A ，向量PA 与(1,1)m 共线. （1）求y关于x的函数； （2）是否在直线2yx和直线3yx上分别存在一点,B C，使得满足BPC为 锐角时x取值集合为 |7x x 或7x ？若存在，求出这样的,B C的坐标； 若不存在，说明理由. 【例 8】已知向量, a b 满足| | 1ab ，且|3 |akbkab ，其中0k . （1）试用k表示a b ，并求出a b 的最大值及此时a 与b 的夹角的值； （2）当a b 取得最大值时
4、，求实数，使|ab 的值最小，并对这一结果作 出几何解释. 【例 9】已知点 O（0，0） ，A（1，2） ，B（4，5）及OP OA tAB OP OA AB 求：(1)t 为何值时，P 在 x 轴上？P 在 y 轴上？P 在第二象限？ (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形？若能， 求出相应的 t 值； 若不能， 请说明理由. 【学而思高中数学讲义】 【例 10】已知 A、B、C 是直线l上的不同的三点，O 是外一点，向量,OA OB OC 满 足 2 3 (1)ln(23 )0 2 OAxOBxyOC ,记( )yf x.求函数( )yf x的解 析式； 【例 11】已知|(1 0)
5、(0 1)RPa amm ， ， |(1 1)( 1 1)RQb bnn ， ，是 两个向量集合，则PQ （） A(1 1)，B( 1 1) ，C(1 0)，D(0 1)， 题型题型二二：与三角函数综合：与三角函数综合 【例 12】已知向量(2cos ,2sin )a，(, ),(0, 1) 2 b ， 则向量a与b 的夹角为（） A 3 2 B 2 C 2 D 【例 13】已 知a b c，为ABC的 三 个 内 角A B C， ，的 对 边 ， 向 量 ( 31)m ， (cossin)nAA ，若mn ，且coscossinaBbAcC，则角 B 【例 14】已知向量(cossin)a
6、，(cossin)b ，且ab ，那么ab 与ab 的夹角的大小是_ 【例 15】已知向量 33 cos,sin 22 xx a ，cos, sin 22 xx b ，且, 2 x . 求a b 及ab ； 求函数( )f xa bab 的最大值，并求使函数取得最大值时x的值. 【学而思高中数学讲义】 【例 16】若cossin，a =，cossin，b =，且3kka + bab，其中0k （1）用k表示a b； （2）求当1k 时，a与b所成角(0)的大小 【例 17】已知向量cossin ，m =和2sincos ，n=，() 2， 且 8 2 5 m+ n，求cos 2 8 的值 【例
7、 18】设(1cossin) ，a =，1cossin ，b =，0 ，c =，(0)，(0)， a与 c的夹角为 1 ， b与 c的夹角为 2 （1）用表示 1 ； （2）若 12 6 ，求 sin 4 的值 【例 19】已知O为坐标原点， 2 (2cos1)OAx ，(1 3sin2)OBxa ，（Rx，Ra， a为常数） ，若yOA OB ， （1）求y关于x的函数解析式( )f x； 【学而思高中数学讲义】 （2）若0 x 2 ，时，( )f x的最大值为 2，求a的值，并指出函数( )(R)f x x的 单调区间 【例 20】在锐角ABC中，已知2cos2cos32cos()ABAB
8、，求角C的度数 【例 21】设0 2 ，向量 13 cossin 22 ab ， 证明：向量ab 与ab 垂直；当22abab 时，求角 【例 22】已知点2, 0A，0, 2B，cos, sinC，且0 若7OAOC ，求OB 与OC 的夹角； 若ACBC ，求tan的值 【例 23】已知A、B、C的坐标分别为(4, 0)A，(0, 4)B，(3cos, 3sin)C 若, 0 且ACBC ，求角的值； 若0AC BC ，求 2 2sinsin2 1tan 的值 【例 24】已知向量(cossin )( 22)ax,x , b, ，若 8 5 a b ，且 42 x. 【学而思高中数学讲义】
9、 试求出cos 4 x 和tan 4 x 的值；求 sin2 (1tan ) 1tan xx x 的值. 【例 25】设向量 3sincoscoscosaxxbxx ，记 f xa b 求函数 f x的最小正周期； 画出函数 f x在区间 11 1212 ，的简图，并指出该函数的图象可由 sinRyx x的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 若 63 x ， 函数 g xf xm的最小值为2， 试求出函数 g x的最大 值并指出x取何值时，函数 g x取得最大值 【例 26】已知向量 33 cossin 22 xx a, ，cossin 22 xx b, ，且0 2 x, ， 求a b 及ab
10、 ； 若 2f xa bab 的最小值是 3 2 ，求的值 【例 27】设平面上P、Q两点的坐标分别是cos, sin 22 xx ， 33 cos, sin 22 xx ，其 中0, 2 x 求PQ的表达式； 记 2 ( )4Rf xPQPQ，求函数( )f x的最小值 【学而思高中数学讲义】 【例 28】, ,a b c为 ABC的 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 ，(cos,sin) 22 CC m ， (cos, sin) 22 CC n ，且m 与n 的夹角为 3 ，求 C； 【例 29】在ABC 中，a，b，c 分别为角 A、B、C 的对边；若向量(2,0)m 与 (sin
11、,1cos)nBB 的夹角为 3 ，求角 B 的大小 【例 30】已知 A、 B、 C 三点的坐标分别为(3,0)A、(0,3)B、 3 (cos ,sin),(,). 22 C （1）若| |ACBC ，求角的值； （2）若1AC BC ，求 2 2sinsin2 1tan 的值。 【例 31】已知：A、B、C 是ABC的内角，, ,a b c分别是其对边长，向量 【学而思高中数学讲义】 3,cos1mA ，cos,1 2 nA ，mn .求角 A 的大小； 【例 32】在ABC中，已知角A为锐角，向量 22 2sinsin 222 tan 2 sinsin 222 AA mA AA ， c
12、os(2 )1 sin(2 ) 22 AA n ，( )f Am n 向量m n 时，求A； 求( )f A的最大值 若 7 ( )12 12 ABf ABC，求ABC的三个内角和AC边的长 【例 33】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角 为 3 4 ，2OB ，设AOB， 3 24 ， 用表示点B的坐标及OA； 若 4 tan 3 ，求OA OB 的值 【学而思高中数学讲义】 题型三：平面向量在平面几何 【例 34】在直角坐标系xOy中， 已知点 A （0， 1） 和点 B （3， 4） ， 若点 C 在AOB 的一平分线上，且| 2OC ，则OC _. 【
13、例 35】在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的 延长线与CD交于点F若ACa ，BDb ，则AF =（） ? O ? F ? E ? D ? C ? B ? A A 11 42 ab B 21 33 ab C 11 24 ab D 12 33 ab 【例 36】若O是ABC内一点，0OAOBOC ，则O是ABC的（） 内心B外心C垂心D重心 ? O ? E ? D ? C ? B ? A 【例 37】若点O是ABC的外心，且0OAOBCO ，则内角C的大小为_ 【例 38】在ABC 中，O 为中线 AM 上的一个动点，若 AM=2，则()OAOBOC 的 最小
14、值为. 【学而思高中数学讲义】 【例 39】已知点M是ABC的重心，,MAa MBb ，用, a b 表示,AB AC BC ? F ? E ? D ? C ? B ? A ? M 【例 40】在 ABC 中 ， 已 知 向 量AB 与AC 满 足()0 | ABAC BC ABAC 且 1 2| | ABAC ABAC ，则ABC 为（） A三边均不相等的三角形B直角三角形 C等腰非等边三角形D等边三角形 【例 41】已知1OA ，3OB ，0OA OB ，点 C 在AOB内，且30oAOC， 设OCmOAnOB ( ,)m nR，则 m n 等于（） A 1 3 B3C 3 3 D3 【例
15、 42】O是平面内一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ABAC OPOA ABAC ，0), ，则P的轨迹一定通过ABC的() A外心B内心C重心D垂心 【例 43】已知： 如图所示， ABCD 是菱形， AC 和 BD 是它的两条对角线求证 ACBD 【例 44】证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍. 【学而思高中数学讲义】 【例 45】四边形ABCD中，(6,1),( , ),( 2, 3)ABBCx y CD （1）若/ /BCDA ，试求x与y满足的关系式； （2）满足（1）的同时又有ACBD ，求, x y的值及四边形ABCD的面积。 【例 46
16、】求证： 已知点G是ABC的重心， 过G作直线与AB、AC两边分别交于M、 N两点，且设AMxAB ，ANyAC ，则 11 3 xy ? N ? M ? G ? C ? B ? A 【例 47】非正ABC的外接 圆的圆心为O，两条 边上的高的交 点为H， ()OHm OAOBOC ，求实数m的值 【例 48】如图，设G为OAB的重心，过G的直线与,OA OB分别交于P和Q，已 OPhOA ，OQkOB ，OAB与OPQ的面积分别为S和T求证： 11 3 hk ； 41 92 S TS 【学而思高中数学讲义】 ? B ? A ? M ? G ? Q ? P ? O 题型四: 平面向量的实际应用（含物理中的应用） 【例 49】如果一架向东飞行 200km，再向南飞行 300km，记飞机飞行的路程为 s， 位移为 a，则（） As|a|Bs0,y0，且 x+y=1，求2121xy 的最大值 【例 84】已知 x0,y0，且 x+y=1，求证： 11 (1)(1)9 xy 。 【例 85】求证： 22222 ()()()acbdabcd 【学而思高中数学讲义】 【例 86】设任意实数 x，y 满足| 1x ，| 1y ， 求证： 22 112 111xyxy 【例 87】设 a，b 为不等的正数，求证 4422332 ()()()ababab
