1、2012工程测试李锡文版全册工程测试李锡文版全册 配套最完整精品课件配套最完整精品课件2 22:08 22:082 MEASUREMENT INFORMATION SIGNAL ANALYSIS IN MECHANICAL ENGINEERING 机械工程测试机械工程测试信息信息信号分析信号分析 22:08 3 一、课程简介 q名称：名称：机械工程测试机械工程测试 信息信息 信号分析信号分析 测试测试 具有试验性质的测量具有试验性质的测量 工程测试工程测试 工程中物理量为研究对象的测试工程中物理量为研究对象的测试 机械工程测试机械工程测试 应用背景广泛的机械领域应用背景广泛的机械领域 信息信息
2、 事物运动的状态和方式事物运动的状态和方式 信号信号 信息的载体信息的载体 信号分析信号分析 研究信号的构成和特征研究信号的构成和特征 q以以信息信息为核心，研究工程中信息的获取。为核心，研究工程中信息的获取。 q课程的课程的理论基础理论基础：信息理论信息理论。 q主要研究内容：工程信息的主要研究内容：工程信息的获取、传输、转换、分获取、传输、转换、分 析、变换、处理、显示及应用析、变换、处理、显示及应用。 22:08 4 教材 q教材教材 1 卢文祥，杜润生卢文祥，杜润生 .机械工程机械工程 测试测试 信息信息 信号分析（第二信号分析（第二 版）版）.武汉：华中科技大学出版武汉：华中科技大学
3、出版 社，社，1999.8。 2 卢文祥，杜润生卢文祥，杜润生 .机械工程机械工程 测试测试 信息信息 信号分析习题例信号分析习题例 解解.华中科技大学教材科，华中科技大学教材科，2003。 22:08 5 参考资料及相关数学知识 q 参考资料参考资料 TP 14 信息、信号类信息、信号类 TN 911 信号系统类信号系统类 q 相关的数学知识相关的数学知识 1. 积分变换积分变换 2. 概率论与数理统计概率论与数理统计 3. 随机过程随机过程 q 联系地址电话：联系地址电话： 轩建平轩建平 新大楼新大楼B303 87557415 13886035139 李锡文李锡文 新大楼新大楼C306 8
4、7559004 18971072799 22:08 6 内容安排 （一）信息论基础（一）信息论基础 第三章第三章 第四章第四章 51 61 （二）信号分析（二）信号分析 第二章第二章 52 53 62 65 第七章第七章 第八章第八章 第九章第九章 第十章第十章 （三）信号分析设备（三）信号分析设备 第十一章第十一章 （四）机械工程中的信号分析技术（四）机械工程中的信号分析技术 第十二章第十二章 （五）实验（五）实验 Matlab MiniDRVI 何岭松教授何岭松教授 q 专题：高阶统计分析；非线性、非平稳信号处理（时频、小专题：高阶统计分析；非线性、非平稳信号处理（时频、小 波分析、波分析
5、、Hilbert-Huang变换）变换） q 测量控制实践：抗干扰、接地、传感器、调理、信号处理测量控制实践：抗干扰、接地、传感器、调理、信号处理 22:08 7 考核评分标准 q考核评分标准考核评分标准 平时成绩平时成绩 20% 作业作业 20% 实验实验 ？ 期末考试期末考试 60% 考试方式待定考试方式待定 22:08 8 二、工程测试方法 q测试对象的特征测试对象的特征 动态动态 被测量是时间被测量是时间 t 的函数的函数 f (t ) q测试方法测试方法 非电量电测法非电量电测法 信源信源 被测对象被测对象 力力 声音声音 温度温度 位移位移 速度速度 加速度加速度 应用应用 被控对
6、象被控对象 控制控制 控制算法控制算法 传感器传感器 一次仪表一次仪表 压力传感器压力传感器 话筒话筒 热电阻热电阻 涡流传感器涡流传感器 磁电传感器磁电传感器 压电传感器压电传感器 传输变换传输变换 二次仪表二次仪表 传递信号传递信号 电压电压 电阻电阻 电流电流 电感电感 电荷电荷 信号分析信号分析 预处理及处理预处理及处理 提取信息提取信息 时域时域 频域频域 幅值域幅值域 高阶统计分析高阶统计分析 非线性、非平稳非线性、非平稳 22:08 9 例：电机振动测量及频谱分析 22:08 10 图图 电动机在线识别电动机在线识别 在某电动机生产线上，利用频谱诊断技术实现电动在某电动机生产线上
7、，利用频谱诊断技术实现电动 机在线自动识别、分类的过程。机在线自动识别、分类的过程。 例：电机故障诊断 22:08 11 例：电机故障诊断实验步骤 q具体检测步骤如下：具体检测步骤如下： （1）将装有微型加速度计的测头接触传送带上运）将装有微型加速度计的测头接触传送带上运 送的电动机；送的电动机； （2）检测电动机的振动信号，经放大器后输入）检测电动机的振动信号，经放大器后输入 FFT分析仪；分析仪； （3）将检测得的振动频谱与预先在分析仪中设定）将检测得的振动频谱与预先在分析仪中设定 的判别谱进行比较；的判别谱进行比较； （4） 进行合格与否判断，输出判断信号。进行合格与否判断，输出判断信号
8、。 22:08 12 例：电机故障诊断实验结果 q上图分别为典型合格品与废品的振动频谱。上图分别为典型合格品与废品的振动频谱。 q图中可看出，废品的频谱图中往往在某一频图中可看出，废品的频谱图中往往在某一频 率有较大的幅值。率有较大的幅值。 22:08 13 第二章 信号分析基础 q主要内容主要内容 一、信号的概念一、信号的概念 二、信号的描述二、信号的描述 三、信号的分类三、信号的分类 四、信号处理的目的、步骤四、信号处理的目的、步骤 五、典型信号介绍五、典型信号介绍 六、信号的基本运算六、信号的基本运算 七、信号的分解七、信号的分解 22:08 14 一、信号的概念 信号是反映（或载有）信
9、息的各种物理量，信号是反映（或载有）信息的各种物理量， 是系统直接进行加工、变换以实现通信的对是系统直接进行加工、变换以实现通信的对 象。象。 信号是信息的表现形式，信息则是信号的具信号是信息的表现形式，信息则是信号的具 体体内容。传输信息的载体称为信号传输信息的载体称为信号 q自然和物理信号自然和物理信号 例如：语音、图象、地震信号、生理信号等例如：语音、图象、地震信号、生理信号等 实例：实例：雨声、地震信号雨声、地震信号 22:08 15 一、信号的概念 q自然和物理信号自然和物理信号 例如：语音、图象、地震信号、例如：语音、图象、地震信号、生理信号生理信号等等 实例：人的心音实例：人的心
10、音 图图 正常心音时域波形图正常心音时域波形图 图图 房室隔缺损病人心音时域波形图房室隔缺损病人心音时域波形图 22:08 16 一、信号的概念 q人工产生的信号人工产生的信号 例如：雷达信号、通讯信号、医用超声信号、机械探伤信例如：雷达信号、通讯信号、医用超声信号、机械探伤信 号等号等 实例：实例：雷达信号、机械声音雷达信号、机械声音 22:08 17 二、信号描述方法-数学 q数学描述数学描述 使用具体的数学表达式，把信号描述为一个或若使用具体的数学表达式，把信号描述为一个或若 干个自变量的函数或序列的形式。干个自变量的函数或序列的形式。 )sin()(ttf t t tf )sin( )
11、( )()(nuanx n 因此，常可将因此，常可将“信号信号”与与“函数函数” 和和“序列序列”等同起来等同起来 22:08 18 信号描述方法-时域波形 q波形描述波形描述 函数的图象称为波形函数的图象称为波形 用被测物理量的强度作为纵坐标作为纵坐标，用时间做横坐时间做横坐 标标，记录被测物理量随时间的变化情况。横坐标横坐标 为时间或整数。为时间或整数。 0 A t 22:08 19 信号描述方法-波形绘制 波形波形 ( )cosx tt( )cos(2/12)x nn 22:08 20 信号描述方法-频谱图 横坐标为频率：横坐标为频率：( (),),f f tF 0 cos tjF 0
12、sin () () () -0 -0 0 0 0 0 (-) 22:08 21 信号描述方法-时频分析 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 200 400 600 800 1000 0 50 100 150 t / s f / Hz Power Spectrum 时间时间 频率频率 能量能量 STFTSTFT T The instantaneous frequency increases linearly with time 22:08 22 信号描述方法-时频分析 1 信号由三个不同频率的正弦波组成，但频率在不同的时候存在 时间时间 频率频率 22:08 23 信号描述方法-时频分析
13、 弓头鲸发出声音的联合时频分布曲线 时间时间 频率频率 能量能量 http:/www.birds.cornell.edu/brp/listen-to-project-sounds/soundfiles/BowSong2000.au 22:08 24 三、信号的分类 1. 按能否用明确的数学关系式描述分类按能否用明确的数学关系式描述分类 确定性信号确定性信号 非确定性信号非确定性信号 2. 按信号的功率和能量是否有限分类按信号的功率和能量是否有限分类 功率信号功率信号 能量信号能量信号 3. 按函数的自变量存在范围分类按函数的自变量存在范围分类 时限信号时限信号 频限信号频限信号 物理可实现信号
14、物理可实现信号 4. 按自变量是否连续分类按自变量是否连续分类 连续信号连续信号 离散信号离散信号 22:08 25 三、信号的分类 FS FT 功率谱 信号信号 确定性信号确定性信号 非确定性信号非确定性信号 周期信号周期信号 非周期信号非周期信号 简单周期信号简单周期信号 复杂周期信号复杂周期信号 准周期信号准周期信号 瞬态信号瞬态信号 平稳随机信号平稳随机信号 非平稳随机信号非平稳随机信号 各态历经信号各态历经信号 非各态历经信号非各态历经信号 一般非平稳信号一般非平稳信号 瞬态随机信号瞬态随机信号 按能否用明确的数学 关系式描述分类 22:08 26 三、信号的分类 q确定信号与非确定
15、性信号确定信号与非确定性信号 要点：要点：给定的自变量的值，是否可以唯一确定信 号的取值。 区分方法：区分方法：任意给定一个自变量的值，如果可以 唯一确定其信号和取值，则该信号是确定信号， 否则，如果取值是确定的随机值，则是随机信号。 非平稳随机信号是非确定性信号。 22:08 27 三、信号的分类 q周期信号与非周期信号周期信号与非周期信号 经过一定时间可以重复出现的信号，满足条件经过一定时间可以重复出现的信号，满足条件 T周期，周期，T2 / 0, 0基频基频; n0，土，土l，. 周期周期T(正值正值)，最小，最小T值。值。 非周期信号可以视为是周期非周期信号可以视为是周期T无穷大。无穷
16、大。 例，机械系统回转体不平衡引起的振动信号是周期性的。例，机械系统回转体不平衡引起的振动信号是周期性的。 ( )(),f tf tnTtR 简单周期信号简单周期信号:正余弦信号正余弦信号 复杂周期信号复杂周期信号 22:08 28 三、信号的分类 q非周期信号非周期信号 瞬变非周期信号瞬变非周期信号 非周期信号往往具有瞬变性。非周期信号往往具有瞬变性。 ( )sinsin 2 ,x ttttR 准周期信号准周期信号 组成信号的各频率相互间不是公倍关系，组成信号的各频率相互间不是公倍关系， 合成信号不满足周期条件合成信号不满足周期条件 22:08 29 三、信号的分类 瞬态信号瞬态信号:持续时
17、间有限的信号，如持续时间有限的信号，如 ( ). sin(2) Bt x teAft 22:08 30 三、信号的分类 q非确定性信号非确定性信号 噪声信号噪声信号(平稳平稳) 统计特性变异统计特性变异 噪声信号噪声信号(非平稳非平稳) 22:08 31 三、信号的分类 q非确定性信号非确定性信号-平稳随机信号平稳随机信号 统计特征参数不随时间变化的随机信号，概率密度函数为统计特征参数不随时间变化的随机信号，概率密度函数为 正态分布正态分布 集平均与子集平均集平均与子集平均 1 1 1 lim( ) N i N i E xx t N 1 1 lim( ) 1,2, N ij N i E xx
18、t N j 22:08 32 三、信号的分类 q 平稳随机信号平稳随机信号-各态历经信号各态历经信号 若一个平稳随机信号的若一个平稳随机信号的集平均集平均等于任一子集的时等于任一子集的时 间平均值，则称为各态历经信号。间平均值，则称为各态历经信号。 12 1 ( )lim ( )( )() i N N E x tx tx tx t N 11 11 lim( )lim( ) NN ii N N ii x tx t NN 集平均集平均 22:08 33 三、信号的分类 q时间连续信号与时间离散信号时间连续信号与时间离散信号 信号的自变量是否在整个连续区间内都有定义信号的自变量是否在整个连续区间内都
19、有定义? 定义域连续？定义域连续？时间离散信号 时间连续信号通常被称为通常被称为“序列序列” 时间离散信号时间离散信号: :在若干时间点上有定义在若干时间点上有定义 采样采样 信号信号 时间连续信号时间连续信号: :在所有时间点上有定义在所有时间点上有定义 22:08 34 三、信号的分类 q模拟信号与数字信号模拟信号与数字信号 模拟信号模拟信号的定义域和值域都有是连续的；的定义域和值域都有是连续的； 数字信号数字信号在定义域和值域都是离散的。在定义域和值域都是离散的。 适合于计算机处理适合于计算机处理 22:08 35 三、信号的分类 q因果信号因果信号与非因果信号与非因果信号 如果信号在时
20、间零点之前，取值为零，则称为如果信号在时间零点之前，取值为零，则称为因果信号因果信号， 为物理可实现信号，又称为单边信号，满足条件：为物理可实现信号，又称为单边信号，满足条件：t0时，时， x(t) = 0，即在时刻小于零的一侧全为零。，即在时刻小于零的一侧全为零。 表示信号不能在过去存在(有值)！ 也表示信号的产生是符合逻辑的！ 22:08 36 三、信号的分类 q因果信号与因果信号与非因果信号非因果信号 不是因果信号，就是不是因果信号，就是非因果信号非因果信号。在时间零点之前信号有。在时间零点之前信号有 值（或存在），则称为值（或存在），则称为反因果信号反因果信号，是，是物理不可实现信号物
21、理不可实现信号： 在事件发生前在事件发生前(t0：右移b1：压缩0：不需反褶能量能量 功率信号功率信号功率功率 相关函数 22:08 120 算法：算法：令令x(t)、y(t)二个信号之间产生时差二个信号之间产生时差，再相乘和积分，再相乘和积分， 就可以得到就可以得到时刻二个信号的相关性。时刻二个信号的相关性。 x(t) y(t) 时时 延延 器器 乘乘 法法 器器 y(t - ) X(t)y(t -) 积积 分分 器器 Rxy() * 图例图例 自相关函数：自相关函数：x(t)=y(t)x(t)=y(t) 相关计算 22:08 121 波形的相关程度分析波形的相关程度分析 时域波形相关程度分
22、析-例 22:08 122 自相关计算-例 q例例:求正弦信号求正弦信号 的自相关函数。的自相关函数。 解：具有角频率为解：具有角频率为 ，幅值为，幅值为x0，初始相角，初始相角为一随机变为一随机变 量的正弦函数，是一个零均值的各态历经随机过程量的正弦函数，是一个零均值的各态历经随机过程 0 ( )sin()x tAt 0 0 /2/ 0 000 /2/ 22 000 2 0 1 sin() sin() 2 =sinsin()sinsincoscossin 22 =cos 2 T xx T Rx t x tdtAtAtdt T AA dd A 正弦函数的自相关函数式一个余弦函数，在正弦函数的自
23、相关函数式一个余弦函数，在=0时具有最大值，时具有最大值， 保留了幅值和频率信息，但丢失了原信号的初始相位信息保留了幅值和频率信息，但丢失了原信号的初始相位信息 22:08 123 互相关计算-例 0 00 0 0 00 1 2 1 sin()sin( () 1 cos() 2 T xy Tt T Rlimx t y tdt T xtytdt T x y 两个均值为零且具有相同频率的周期信号，其互相关函数中保两个均值为零且具有相同频率的周期信号，其互相关函数中保 留了两个信号中的圆频率留了两个信号中的圆频率 、对应的幅值、对应的幅值x0和和y0以及相位差以及相位差 的信息的信息 q 例例2：已
24、知两个同频正弦信号，求其互相关函数，并画出图形：已知两个同频正弦信号，求其互相关函数，并画出图形 式中：式中：-x(t)相对于相对于t=0时刻的相位角；时刻的相位角；- x(t)与与y(t)的相位差的相位差 解：因信号是周期函数，可用一个共同周期内的平均值代替整解：因信号是周期函数，可用一个共同周期内的平均值代替整 个历程的平均值，故：个历程的平均值，故： x(t)Asin(t+ ), y(t)Bsin(t+) 22:08 124 互相关计算-例 00 1 cos() 2 xy Rx y 两个均值为零且具有相同频率的周期信号，其互相关函数中保两个均值为零且具有相同频率的周期信号，其互相关函数中
25、保 留了两个信号中的圆频率留了两个信号中的圆频率 、对应的幅值、对应的幅值x0和和y0以及相位差以及相位差 的信息的信息 q 例例2：已知两个同频正弦信号，求其互相关函数，并画出图形：已知两个同频正弦信号，求其互相关函数，并画出图形 式中：式中：-x(t)相对于相对于t=0时刻的相位角；时刻的相位角；- x(t)与与y(t)的相位差的相位差 解：解： x(t)Asin(t+ ), y(t)Bsin(t+) 22:08 125 互相关计算-例 22:08 126 相关函数的性质 相关函数描述了两个信号间或信号自身相关函数描述了两个信号间或信号自身不同时刻不同时刻的相似的相似 程度，通过相关分析可
26、以发现信号中许多有规律的东西。程度，通过相关分析可以发现信号中许多有规律的东西。 （1）自相关函数是）自相关函数是 的偶函数，的偶函数，RX( )=Rx(- )； （2）当）当 =0 时，时，自相关函数具有最大值。自相关函数具有最大值。 （3）周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号，）周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号， 但不保留原信号的相位信息。但不保留原信号的相位信息。 （4）两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信）两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信 号，且保留原了信号的相位信息。号，且保留原了信号的相位信息。 （5）两个非同频率的周期信号互不相关。）两个非同频率的
27、周期信号互不相关。 （6）随机信号的自相关函数将随）随机信号的自相关函数将随 的增大快速衰减。的增大快速衰减。 只要信号中有周期成分，自相关函数只要信号中有周期成分，自相关函数很大时都不衰减，带有很大时都不衰减，带有 明显周明显周 期性；期性； 信号中不包含周期成分的随机信号，当信号中不包含周期成分的随机信号，当稍大时，自相关函数稍大时，自相关函数 都趋于都趋于0 22:08 127 典型信号相关分析实验 22:08 128 正弦波正弦波 直流直流 指数指数 白噪声白噪声 限带白噪声限带白噪声 直流直流+白噪声白噪声 典型信号的自相关函数及功率谱密度函数 正弦正弦+白噪声白噪声 22:08 1
28、29 案例：案例：机械加工表面粗糙度自相关分析机械加工表面粗糙度自相关分析 被测工件被测工件 相关分析相关分析 性质性质3,3,性质性质4:4:提取出回转误差等周期性的故障源。提取出回转误差等周期性的故障源。 相关分析工程应用-粗糙度分析 图图a:表面粗糙度，图表面粗糙度，图b:自相关函数图，看自相关函数图，看 出随机信号在原点处有较大相关性，随出随机信号在原点处有较大相关性，随增增 大而衰减，此后呈现周期性，表明造成粗大而衰减，此后呈现周期性，表明造成粗 糙度的原因中包含有某种周期因素，如：糙度的原因中包含有某种周期因素，如： 轴向测走刀的周期变化；轴向测走刀的周期变化； 切向测主轴回转振动
29、周期变化切向测主轴回转振动周期变化 22:08 130 相关分析工程应用-粗糙度分析 性质性质3,4:3,4:提取出回转误差等周期性的故障源。提取出回转误差等周期性的故障源。 原因不明原因不明 粗糙度分析粗糙度分析 22:08 131 相关分析工程应用-轴心轨迹测量轴心轨迹测量 相关信号相关信号 T/4 （4 4）两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周）两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周 期信号，且保留了原信号的相位信息。期信号，且保留了原信号的相位信息。 （6 6）随机噪声信号的自相关函数将随）随机噪声信号的自相关函数将随 的增大快的增大快 速衰减。速衰减。 22:08 132 理想信号
30、理想信号 干扰信号干扰信号 实测信号实测信号 自相关系数自相关系数 性质性质3 3，性质，性质4 4：提取周期性转速成分。提取周期性转速成分。 案例：自相关测转速 从自相关图可以确定周期因素的从自相关图可以确定周期因素的 频率，从而得到转速大小。频率，从而得到转速大小。 22:08 133 024048072096012001440 940 990 1040 (a) Speed (r/min) 024048072096012001440 940 990 1040 (b) Speed (r/min) 024048072096012001440 940 990 1040 (c) Crank Ang
31、le (degCA) Speed (r/min) 每周采样每周采样43个点。每循环采样个点。每循环采样86个点。显示个点。显示2个循环的数据。个循环的数据。 循环周期 发火周期 案例：基于转速测量和自相关分析的发动机失火故障诊断案例：基于转速测量和自相关分析的发动机失火故障诊断 22:08 134 020406080100120140160180 -1 -0.5 0 0.5 1 020406080100120140160180 -0.5 0 0.5 1 020406080100120140160180 -0.5 0 0.5 1 每周采样每周采样43个点。每循环采样个点。每循环采样86个点。显示
32、个点。显示2个循环的数据。个循环的数据。 自相关函数自相关函数 案例：基于转速测量和自相关分析的发动机失火故障诊断案例：基于转速测量和自相关分析的发动机失火故障诊断 22:08 135 0120240360480600720 -1 -0.5 0 0.5 1 Crank Angle (degCA) Correlation Healthy #1 Misfire #1 0, 1 ; 0, 0 ; 0, 1 )sgn( t t t t 22:09 219 冲激信号：冲激信号：EEedtetEtEF jtj 0 )()( 强度为强度为E E 的冲激函数的频谱是的冲激函数的频谱是均匀谱均匀谱，白色频谱白色
33、频谱。密。密 度就是冲激的强度。度就是冲激的强度。 频谱在任何频频谱在任何频 率处的密度都率处的密度都 是均匀的是均匀的 2 )( 1 E EF 单位冲激信号与直流信号的频谱单位冲激信号与直流信号的频谱 例：功率信号的FT-冲激信号 22:09 220 阶跃信号：阶跃信号： 不满足绝对可积条件，但存在不满足绝对可积条件，但存在FTFT。 j F 1 )()( 原点处的原点处的 冲激来自冲激来自 u(t)u(t)中的中的 直流分量直流分量 |F()| () 0 u(t) 1 0 t 例：功率信号的FT-阶跃信号 22:09 221 一般周期信号一般周期信号x(t)的的FT，其基频为，其基频为 0
34、 n tjn enXtx 0 )()( 0 )(2 0 0 tjn eF 则则 周期信号的FT-推导 周期信号可分解为幅度为周期信号可分解为幅度为X(n 0)的无限复指数信号的线性组合，的无限复指数信号的线性组合， 它的频谱密度等于强度为它的频谱密度等于强度为2 X(n 0) ，周期为，周期为 0的一系列冲激串的一系列冲激串 ( -n 0)的线性组合的线性组合. 已知已知 故故 n nnXX)()(2)( 00 22:09 222 周期信号的FT-推导1 周期信号的傅里叶级数的系数周期信号的傅里叶级数的系数Cn等于该周期信号单个脉等于该周期信号单个脉 冲的傅里叶变换冲的傅里叶变换X( )在在n
35、 0频率点的值频率点的值X(n 0)乘以乘以1/T0。 可利用周期信号单个脉冲的傅里叶变换方便求出周期性可利用周期信号单个脉冲的傅里叶变换方便求出周期性 信号的傅里叶级数的系数。信号的傅里叶级数的系数。 )( 1 )( 2 0 0 0 0 nX T nXCn n nnXX)()(2)( 00 22:09 223 一般周期信号的一般周期信号的FT 设周期为设周期为T T1 1的周期信号在第一个周期内的函数为的周期信号在第一个周期内的函数为f f0 0(t)(t) n nTtftf)()( 10 n nTttf)(*)( 10 n nTttf)()( 10 )()( 1 0 ttf T 则则 于是
36、于是 n To nFtFtfFF)()()()()( 110 1 n nnF)()( 1101 FTf0(t) 利用脉冲函数的筛利用脉冲函数的筛 选特性选特性 周期信号的FT-推导2 利用冲激函利用冲激函 数的卷积特数的卷积特 性性 周期信号可分解为幅度为周期信号可分解为幅度为F0(n 1)的无限复指数信号的的无限复指数信号的 线性组合，它的频谱密度等于强度为线性组合，它的频谱密度等于强度为 1F0(n 1) ，周期，周期 为为 1的一系列冲激串的一系列冲激串 ( -n 1)的线性组合的线性组合. 22:09 224 周期信号的FT-推导2 周期信号的傅里叶级数的系数周期信号的傅里叶级数的系数
37、Fn等于该周期信号单个脉冲的等于该周期信号单个脉冲的 傅里叶变换傅里叶变换F0( )在在n 1频率点的值频率点的值F0(n 1)乘以乘以1/T1。 可利用周期信号单个脉冲的傅里叶变换方便求出周期性信号可利用周期信号单个脉冲的傅里叶变换方便求出周期性信号 的傅里叶级数的系数。的傅里叶级数的系数。 )( 1 )( 2 10 1 10 1 nF T nFFn n nFF)()()( 110 22:09 225 复习：单位冲激信号积分特性 00 ( ) ( )(0)( ) ()()f ttff tttf t ； 2）单位冲激信号积分特性单位冲激信号积分特性（筛选）（筛选） )()()()()( 000
38、 ttfdttftttf 3）卷积特性卷积特性 f ttftdf t( ) *( )( ) ()( ) 22:09 226 例：周期单位冲激序列例：周期单位冲激序列 求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。 解：画波形解：画波形, ,冲激信号的频谱为冲激信号的频谱为: : n T nTtt)()( 1 单位冲激函数的间隔为单位冲激函数的间隔为T1，用符号，用符号 T(t)表示周期表示周期 单位冲激序列：单位冲激序列： 0 )(F 1 0 t )(t 1 FT 22:09 227 例：周期单位冲激序列 可见，在周期单位冲激序列的傅里叶级数中只包含位
39、于可见，在周期单位冲激序列的傅里叶级数中只包含位于 =0， 1， 2 1， n 1， 的频率分量，且分量大小相等，均的频率分量，且分量大小相等，均 等于等于1/T1。 n tjn nT eFt 1 )( T(t)是周期函数，周期为是周期函数，周期为T1 ，求其傅里叶级数：，求其傅里叶级数： 1 2 21 1 )( 1 1 1 T dtetf T F T T tj n n tjn T e T t 1 1 1 )( 0t )(t T 1 1 T 1 T 0 n F 1 1T 1 1 1 2 1 2 FS 22:09 228 周期单位冲激序列FT 求求 T(t)的傅里叶变换的傅里叶变换 n n FT
40、 T nFt)(2)( 1 1 1 T Fn 又 n FT T nt)()( 11 可见，在周期单位冲激序列的傅里叶变换中只包含位于可见，在周期单位冲激序列的傅里叶变换中只包含位于 =0,1, 2 1, n 1, 频率处的冲激函数，其强度大小频率处的冲激函数，其强度大小 相等，均等于相等，均等于 1 。 0t )(t T 1 1 T 1 T 0 )(F 1 1 1 1 2 1 2 FT 22:09 229 n s s s nF T F)( 1 )( 信号理想抽样前后频谱的变化信号理想抽样前后频谱的变化 f (t)F () 0t(a) -c 0 c )(t Ts )( ss (1)(s) -Ts
41、 Tst(b)s0s fs (t)Fs() F(0)/Ts -Ts Tst(c) -s -c 0 -c s -Ts Tst(d) -s -c 0 c s 抽样间隔抽样间隔 发生变化发生变化 抽样信号的FT 22:09 230 按间隔按间隔Ts进行冲激串抽样后信号的傅进行冲激串抽样后信号的傅 里叶变换，是周期函数，是原函数傅里叶变换，是周期函数，是原函数傅 里叶变换的里叶变换的Ts分之一按周期分之一按周期2 /Ts所进所进 行的周期延拓。行的周期延拓。 f (t)F () 0t -c 0 c fs (t)Fs() F(0)/Ts -Ts Tst -s -c 0 c s 结论结论1： 时域时域时域
42、离散时域离散频域频域周期周期 结论结论2： 抽样信号的FT 22:09 231 周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号的FT 0 )(tf E 2 2 TT t 解：先求矩形解：先求矩形单脉冲信号单脉冲信号f f0 0(t(t) )的的傅里叶变换傅里叶变换F F0 0( ( ) ) 0 t )( 0 tf 1 2 2 ) 2 ()( 0 SaEF 0 2 2 )( 0 F E 22:09 232 再求再求周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号的傅里叶级数的傅里叶级数Fn 0 ) (tf E 2 2 TT t 1 2 T 0 2 2 n F 1 T E ) 2 ()( 1 1 1 0 1 1 n Sa T
43、E F T F nn n tjn e n Sa T E tf 1 ) 2 ()( 1 1 求得周期矩形脉冲信号的傅里叶级数：求得周期矩形脉冲信号的傅里叶级数： 周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号的FS 22:09 233 最后求周期矩形脉冲信号的傅里叶变换最后求周期矩形脉冲信号的傅里叶变换F( )。 n n n SaEF)() 2 ()( 1 1 1 看出：周期信号频谱是离散的；非周期信号的频谱是连续。看出：周期信号频谱是离散的；非周期信号的频谱是连续。 n n FT T nFtf)(2)( 1 周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号的FT 0 ) (tf E 2 2 TT t 1 2 T 0 2 2
44、 n F 1 T E 22:09 234 关系图关系图 f0 (t) F0() E E -/2 0 /2 t 0 2/ Fn E/ T1 f (t) 0 2/ F() E /1 -T1 -/2 0 /2 T1 t 0 2/ FT FS FT 周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号的FT 频谱谱线的间隔为频谱谱线的间隔为 1 1 2 T 在频域，能量集中在在频域，能量集中在 第一个过零点之内。第一个过零点之内。 带宽只与脉冲脉宽有带宽只与脉冲脉宽有 关，而与脉高和周期关，而与脉高和周期 均无关均无关 谱线包络线过零点谱线包络线过零点 确定方法确定方法: : 1 2 ,0 k nkZ k 定义为周期矩形
45、脉冲信号的频带宽度，简称带宽定义为周期矩形脉冲信号的频带宽度，简称带宽/20 22:09 235 复指数信号的复指数信号的FT： 已知已知 周期信号的FT-复指数信号 0 ( ) jt x te ( )1,( )2( )x tX 00 0 () 0 ( )( ) ( ) () jtjtj t jt F x t ex t eedt x t edt X ( )1x t 当当 0 0 2() jt F e 22:09 236 正弦信号的正弦信号的FT 余弦信号的余弦信号的FT )()(sin 000 jtF )()( 2 cos 00 0 tjtj o o ee FtF 正弦和余弦信号正弦和余弦信号
46、FT的频谱图的频谱图 tF 0 cos tjF 0 sin () () () -0 -0 0 0 0 0 (-) 周期信号的FT-正余弦信号 22:09 237 FT的性质 （1）线性性：）线性性：齐次性和叠加性齐次性和叠加性 （2）尺度变换特性：）尺度变换特性：时域压缩对应频域扩展，时域扩展对时域压缩对应频域扩展，时域扩展对 应频域压缩应频域压缩 （3）时移特性：）时移特性：与尺度变换结合与尺度变换结合 （4）频移特性：）频移特性：与尺度变换结合。时域信号乘上一个复指数与尺度变换结合。时域信号乘上一个复指数 信号后，频谱被搬移到复指数信号的频率处。信号后，频谱被搬移到复指数信号的频率处。 （
47、5）对称性）对称性(对偶性对偶性)：FT与与IFT的变换核函数是共轭对称。的变换核函数是共轭对称。 （6）微分特性；）微分特性； （7）积分特性；）积分特性； （8）反褶和共扼性：）反褶和共扼性： （9）卷积定理，时域相关性定理，帕斯瓦尔定理。）卷积定理，时域相关性定理，帕斯瓦尔定理。 22:09 238 线性性线性性 齐次性齐次性 叠加性叠加性 )()(tfaFtafF )()()()( 2121 tfFtfFtftfF n nn n nn tfFatfaF)()( FT的性质-线性性线性性 22:09 239 FT的性质-线性性线性性-例例 求下图所示信号的频谱密度求下图所示信号的频谱密度
48、 11 ( )( )4(2 )XF x tSa 22 ( )( )2( )XF x tSa 线性性线性性 22:09 240 时间尺度变换特性时间尺度变换特性：时域压缩对应频域扩展，时域扩展时域压缩对应频域扩展，时域扩展 对应频域压缩对应频域压缩 FT的性质-尺度变换特性 1 ( )( )()(), FTFT x tXx atXa aa 若，则为常数 在时域若将信号压缩在时域若将信号压缩a倍，则在频域其频谱扩展倍，则在频域其频谱扩展a 倍，同时幅度相应地也减为倍，同时幅度相应地也减为a倍；反之亦然倍；反之亦然 21 21 ( )(2 ), 1 ( )()2( ) 22 x txt FT XXS
49、a 22:09 241 FT的性质-尺度变换特性-例 求下图所示信号的频谱密度求下图所示信号的频谱密度 22:09 242 时移特性时移特性 0 0 ()( )( ) o j tj t F x ttXeF f te 不影响幅度谱，只在相位不影响幅度谱，只在相位 谱上叠加一个线性相位谱上叠加一个线性相位 0/ 0 1 (),(0) j ta F x attXea aa FT的性质-时移特性 求下图所示信号的频谱密度求下图所示信号的频谱密度 22:09 243 FT的性质-时移特性-例 已知已知 22:09 244 FT的性质-尺度变换特性-例 信号的频谱信号的频谱 22:09 245 频移特性频
50、移特性 0 0 ( )() jt F x t eX 0 / 0 1 ,(0) jt a t FxeX aa aa 时域信号乘上一个时域信号乘上一个 复指数信号后，频复指数信号后，频 谱被搬移到复指数谱被搬移到复指数 信号的频率处信号的频率处。 利用欧拉公式，通过乘以正弦利用欧拉公式，通过乘以正弦 或余弦信号，可以达到频谱搬或余弦信号，可以达到频谱搬 移的目的。信号调制移的目的。信号调制 FT的性质-频移特性频移特性 FT频移特性频移特性 22:09 246 FT的性质-频移特性频移特性-例 已知已知 其中其中 R(t)表示一个矩形窗函数，是一个宽度为表示一个矩形窗函数，是一个宽度为 的矩形脉冲
