1、第三章第三章 函数函数 3 3. .1 1. .3 3 函数的奇偶性函数的奇偶性 初中时我们学习过有关轴对称和中心对称的知识，而且已经知道， 在平面直角坐标系中，点（x，y）关于y轴的对称点为（一x，y）， 关于原点的对称点为（一x，-y）.例如，（一2，3）关于y轴的对称 点为 ，关于原点的对称点为（2，3） （2，-3） 填写下表，观察指定函数的自变量x互为相反数时，函数值之间 具有什么关系，并分别说出函数图像应具有的特征。 x-3-2-1123 f(x)=x2 g(x)= 不难发现，上述两个函数，当自变量取互为相反数的两个组x相一x 时，对应的函数值相等，即 一般地，设函数y=f（x）的
2、定义域为D，如果对D内的任意一个x，都 有-xD，且 f（-x）=f（x）， 则称y=f（x）为偶函数 如果y=f（x）是偶函数，其图像具有什么特征呢？ 我们知道，点P（x，f（x）与Q（-x，f（-x）都是函数y=f （x）图像上的点，按照偶函数的定义，点Q又可以写成Q（-x，f （x），因此点P和点Q关于y轴对称，所以偶函数的图像关于y轴 对称；反之，结论也成立，即图像关于y轴对称的函数一定是偶函 数。如下图所示是尝试与发现中两个函数的图像. 按照类似的方式得到奇函数的定义，以及奇函数图像的特征： 一般地，设函数y=f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都 有 ，且 则称y=f（x
3、）为奇函数. 奇函数的图像关于 对称. - x D f(-x)=-f(x ） 原点 奇函数的图像特征也可按照下述方式得到：点P（x，f（x） 与Q（一x，f（-x）都是函数y=f（x）图像上的点，如果y=f（x） 是奇函数，则点Q又可以写成Q（一x，一f（x），因此点P和点Q 关于原点对称，所以奇函数的图像关于原点对称；反之，结论也成 立，即图像关于原点对称的函数一定是奇函数。如下图所示是奇函 数f（x）=x3和g（x）= 的图像. x 1 如果一个函数是偶函数或是奇函数，则称这个函数具有奇 偶性.可以看出，当n是正整数时，函数f（x）=x2n是偶函数，函 数g（x）=x2n-1是奇函数 典型
4、例题 例1 例判断下列函数是否具有奇偶性： （1）f（x）=x+x3+x5；（2）f（x）=x2+1； （3）f（x）=x+1； （4）f（x）=x2，x-1，3 证明证明 （1）因为函数的定义域为R，所以xR时，-xR. 又因为 f（-x）=（-x）+（-x）3+（-x）5=-（x+x3+x5）=-f（x）， 所以函数f（x）=x+x3+x5是奇函数 证明证明 （1）因为函数的定义域为R，所以xR时，-xR. 又因为 f（-x）=（-x）2+1=x2+1=f（x）， 所以函数f（x）=x2+1是偶函数 证明证明 （1）因为函数的定义域为R，所以xR时，-xR. 又因为 f（-1）=0，f（1
5、）=2，所以 f（-1）-f（1）且f（-1）f（1）， 因此函数f（x）=x+1既不是奇函数也不是偶函数（也可说成 f（x）是非奇非偶函数） （4）因为函数的定义域为一1，3，而3-1，3，但一3 一1， 3，所以函数f（x）=x2，x-1，3是非奇非偶函数 例（1）（4）说明，设函数f（x）的定义域为D，如果存在 x0D，但-x0 D，即函数f（x）的定义域不关于原点对称，则f （x）既不是奇函数也不是偶函数. 典型例题 例2 已知奇函数f（x）的定义域为D，且0D，求证：f（0）=0. 证明证明 因为f（x）是奇函数，所以 f（-0）=-f（0）， 即f（0）=-f（0），所以2f（0）
6、=0， 因此f（0）=0. 因为函数的奇偶性描述了函数图像具有的对称性，所以利用函数 的奇偶性能简化函数性质的研究。如果知道一个函数是奇函数或是 偶函数，那么其定义域能分成关于原点对称的两部分，得出函数在 其中一部分上的性质和图像，就可得出这个函数在另一部分上的性 质和图像 已知函数f（x）满足f（5）= -3，分别在条件“f（x）是偶函数”与 “f（x）是奇函数”下求出f（-5）的值 显然，如果f（x）是偶函数，则f（-5）=f（5）= -3；如果f（x） 是奇函数，则f（-5）=-f（5）=3. 典型例题 例3 已知函数f（x）满足f（5）f（3），分别在下列各条件下比较f （-5）与f（
7、-3）的大小： （1）f（x）是偶函数；（2）f（x）是奇函数。 解（1）因为f（x）是偶函数，所以f（-x）=f（x），因此 f（-5）=f（5），f（-3）=f（3） 从而由条件可知f（-5）-f（3），从而f（-5）f（-3）. 例3说明，当f（x）具有奇偶性时，函数的单调性会有一定规律. 已知函数y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数，且它们的部分图 像如下图所示，补全函数图像，并总结出当函数具有奇偶性时，函数 单调性的规律。 不难看出，如果y=f（x）是偶函数，那么其在x0与x0与x0，所以函数图像在右边的部分 一定在第一象限。列出部分函数值如下表所示，然后可以描点 作图。 0
8、11 x y xx xx xx xx 2 2 2 1 21 12 2 1 2 2 x2 1 y x2 1 y 再根据函数是偶函数，可以得出函数的图像如下图所示，而且函数 的定义域为xR|x0，函数是偶函数，在（-，0）上单调递增，在 （0，+）上单调递减，函数的值域是（0，+）. 典型例题 例5 求证：二次函数f（x）=x2+4x+6的图像关于x=-2对称. 初中时，我们就在观察图像的基础上总结出过这个结论，但当时开 没有给出严格的证明.为了证明函数的图像关于x=0（即y轴）对称，只 需证明x轴上关于原点对称的两点对应的函数值相等，那么该怎样证 明函数的困像关于x=-2对称呢？ 如下图所示，已知数轴上的A，B两点关于一2对应的点对称，而且点A 的坐标是一2+h，则点B的坐标是 -2-h 证明 任取hR，因为 f（-2+h）=（-2+h）2+4（-2+h）+6 =h2+2， f（-2-h）=（-2-h）2+4（-2-h）+6 =h2+2， 所以f（-2+h）=f（-2-h），这就说明函数的图像关于x=-2对称。 由例5可知，要证明函数图像关于垂直于x轴的直线对称并不难，但 怎样才能找到对应的对称轴呢？以例5所示的二次函数为例，注意 到 f（x）=x2+4x+6=（x+2）2+2， 由此就容易得到f（-2+h）=f（-2-h），从而可知f（x）图像的对 称轴为x=-2
