1、1 抛物线焦点弦性质总结 30 条 a A CC(X3,Y3) B OF B(X2,Y2) A(X1,Y1) 基础回顾 1. 以 AB 为直径的圆与准线L相切； 2. 2 12 4 p x x ; 3. 2 12y yp ; 4.90AC B ; 5.90A FB ; 6. 123 2 2 2() 2sin pp ABxxpx ; 7. 112 AFBFP ; 8. A、O、 B三点共线； 9. B、O、 A三点共线； 10. 2 2sin AOB P S ； 11. 2 3 () 2 AOBSP AB （定值） ； 12. 1 cos P AF ； 1 cos P BF ； 13. BC垂直
2、平分 BF； 14. AC垂直平分 AF； 15. CFAB； 16.2ABP； 17. 11 () 22 CCABAABB； 18.AB 3 P K = y ； 19. 2 p 22 y tan= x - ; 20. 2 AB4 AF BF; 2 21. 1 CFAB 2 . 22. 切线方程xxmyy 00 性质深究 一)焦点弦与切线 1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之 处？ 结论 1：交点在准线上 先猜后证：当弦xAB 轴时，则点 P 的坐标为 0 , 2 p 在准线上 证明: 从略 结论 2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴 结论 3 弦 AB 不过焦点
3、即切线交点 P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴 2、上述命题的逆命题是否成立？ 结论 4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点 先猜后证：过准线与 x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点 AB 的弦必过焦点 结论 5 过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径 3、AB 是抛物线pxy2 2 （p0）焦点弦，Q 是 AB 的中点，l 是抛物线的准线，lAA 1 ，lBB 1 ，过 A， B 的切线相交于 P，PQ 与抛物线交于点 M则有 结论 6PAPB 结论 7PFAB 结论 8 M 平分 PQ 结论 9 PA 平分A1AB，PB 平
4、分B1BA 结论 10 2 PFFBFA 结论 11 PAB S 2 min p 二)非焦点弦与切线 思考：当弦AB不过焦点，切线交于P点时， 也有与上述结论类似结果： 结论 12 p yy xp 2 21 ， 2 21 yy yp 结论 13PA 平分A1AB，同理 PB 平分B1BA 结论 14PFBPFA 结论 15点 M 平分 PQ 结论 16 2 PFFBFA 相关考题 1、已知抛物线yx4 2 的焦点为 F，A，B 是抛物线上的两动点，且FBAF（0） ，过 A，B 两点分别作 抛物线的切线，设其交点为 M， 3 （1）证明：ABFM 的值； （2）设ABM的面积为 S，写出 fS
5、 的表达式，并求 S 的最小值 2、已知抛物线 C 的方程为yx4 2 ，焦点为 F，准线为 l，直线 m 交抛物线于两点 A，B； （1）过点 A 的抛物线 C 的切线与 y 轴交于点 D，求证：DFAF ； （2）若直线 m 过焦点 F，分别过点 A，B 的两条切线相交于点 M，求证：AMBM，且点 M 在直线 l 上 3、 对每个正整数 n， nnn yxA,是抛物线yx4 2 上的点， 过焦点 F 的直线 FAn交抛物线于另一点 nnn tsB,，（1） 试证：4 nn sx（n1） （ 2 ） 取 n n x2， 并 Cn为 抛 物 线 上 分 别 以 An与 Bn为 切 点 的 两 条 切 线 的 交 点 ， 求 证 ： 122 1 21 nn n FCFCFC（n1）
