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1、高中理科数学公式汇总高中理科数学公式汇总 01. 集合与简易逻辑集合与简易逻辑 1. 元素与集合的关系元素与集合的关系 U xAxC A, , U xC AxA. . 2 2. .德摩根公式德摩根公式 ();() UUUUUU CABC AC B CABC AC B. . 3 3. .包含关系包含关系 ABAABB UU ABC BC A U AC B U C ABR 4 4. .容斥原理容斥原理 ()()card ABcardAcardBcard AB. . 5 5 集合集合 12 , n a aa的子集个数共有的子集个数共有2n个个； 真子集有真子集有2n1 1 个个； 非空子集有非空子集

2、有2n1 1 个；非空的真子集有个；非空的真子集有2n2 2 个个. . 6 6. .二次函数的解析式的三种形式二次函数的解析式的三种形式 (1)(1)一般式一般式 2 ( )(0)f xaxbxc a; ; (2)(2)顶点式顶点式 2 ( )()(0)f xa xhk a; ; (3)(3)零点式零点式 12 ( )()()(0)f xa xxxxa. . 7.解连不等式解连不等式( )Nf xM常有以下转化形式常有以下转化形式 ( )Nf xM ( ) ( )0f xMf xN |( )| 22 MNMN f x ( ) 0 ( ) f xN Mf x 11 ( )f xNMN . .

3、8.8.方程方程0)(xf在在),( 21 kk上有且只有一个实根上有且只有一个实根, ,与与0)()( 21 kfkf不等价不等价, ,前者是后前者是后 者的一个必要而不是充分条件者的一个必要而不是充分条件. .特别地特别地, , 方程方程)0(0 2 acbxax有且只有一个实根在有且只有一个实根在 ),( 21 kk内内, ,等价于等价于0)()( 21 kfkf, ,或或0)( 1 kf且且 22 21 1 kk a b k , ,或或0)( 2 kf且且 2 21 22 k a bkk . . 9.9.闭区间上的二次函数的最值闭区间上的二次函数的最值 二次函数二次函数)0()( 2

4、acbxaxxf在闭区间在闭区间qp,上的最值只能在上的最值只能在 a b x 2 处及区处及区 间的两端点处取得，具体如下：间的两端点处取得，具体如下： (1)(1)当当 aa0 0 时时， 若若qp a b x, 2 ， 则则 minmaxmax ( )(),( )( ),( ) 2 b f xff xf pf q a ； qp a b x, 2 ， maxmax ( )( ),( )f xf pf q， minmin ( )( ),( )f xf pf q. . (1)(1) 当当 aa0a0) ) （1 1）)()(axfxf，则，则)(xf的周期的周期 T=T=a a； （2 2）0

5、)()(axfxf， 或或)0)( )( 1 )(xf xf axf，或，或 1 () ( ) f x a f x ( ( )0)f x , , 或或 2 1 ( )( )(),( ( )0,1 ) 2 f xfxf xaf x, ,则则)(xf的周期的周期 T=T=2 2a a (3)(3)0)( )( 1 1)( xf axf xf，则，则)(xf的周期的周期 T=3T=3a a； (4)(4) )()(1 )()( )( 21 21 21 xfxf xfxf xxf 且且 1212 ( )1( ()()1,0 | 2 )f af xf xxxa，则，则 )(xf的周期的周期 T=4T=4

6、a a； (5)(5)( )()(2 ) (3 )(4 )f xf x af xa f xaf xa( ) () (2 ) (3 ) (4 )f x f x a f xa f xa f xa, , 则则)(xf的周期的周期 T=5T=5a a； (6)(6)()()(axfxfaxf，则，则)(xf的周期的周期 T=6T=6a.a. 3030. .分数指数幂分数指数幂 (1)(1) 1 m n nm a a （0,am nN ，且，且1n ）. . (2)(2) 1 m n m n a a （0,am nN ，且，且1n ）. . 3131根式的性质根式的性质 （1 1）()n n aa. .

7、 （2 2）当）当n为奇数时，为奇数时， nn aa； 当当n为偶数时，为偶数时， ,0 | ,0 nn a a aa a a . . 3232有理指数幂的运算性质有理指数幂的运算性质 (1)(1)(0, ,) rsr s aaaar sQ . . (2)(2)()(0, ,) rsrs aaar sQ. . (3)(3)()(0,0,) rrr aba b abrQ. . 注注： 若若 a a0 0，p p 是一个无理数是一个无理数，则则 a a p p表示一个确定的实数 表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性上述有理指数幂的运算性 质，对于无理数指数幂都适用质，对于无理数指数幂都适用.

8、. 33.33.指数式与对数式的互化式指数式与对数式的互化式 log b a NbaN(0,1,0)aaN . . 3434. .对数的换底公式对数的换底公式 log log log m a m N N a ( (0a , ,且且1a , ,0m , ,且且1m , ,0N ).). 推论推论loglog m n a a n bb m ( (0a , ,且且1a , ,0m n , ,且且1m , ,1n , ,0N ).). 3535对数的四则运算法则对数的四则运算法则 若若 a a0 0，a a1 1，M M0 0，N N0 0，则，则 (1)(1)log ()loglog aaa MNM

9、N; ; (2)(2)logloglog aaa M MN N ; ; (3)(3)loglog() n aa MnM nR. . 36.36.设设函数函数)0)(log)( 2 acbxaxxf m , ,记记acb4 2 . .若若)(xf的定义域为的定义域为 R, ,则则0a，且，且0; ;若若)(xf的值域为的值域为R, ,则则0a，且，且0. .对于对于0a的情形的情形, ,需要需要 单独检验单独检验. . 37.37. 对数换底不等式及其推广对数换底不等式及其推广 若若0a , ,0b , ,0 x , , 1 x a , ,则函数则函数log () ax ybx (1)(1)当当

10、ab时时, ,在在 1 (0,) a 和和 1 (,) a 上上log () ax ybx为增函数为增函数. . ， (2)(2)当当ab时时, ,在在 1 (0,) a 和和 1 (,) a 上上log () ax ybx为减函数为减函数. . 推论推论:设设1nm，0p ，0a ，且，且1a ，则，则 （1）log()log mpm npn . . （2） 2 logloglog 2 aaa mn mn . . 03.03. 数数 列列 38.38. 平均增长率的问题平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为如果原来产值的基础数为 N N，平均增长率为，平均增长率为p，则对于时间，则对于时间

11、x的总产值的总产值y，有，有 (1)xyNp. . 3939. .数列的同项公式与前数列的同项公式与前 n n 项的和的关系项的和的关系 1 1 ,1 ,2 n nn sn a ssn ( ( 数列数列 n a的前的前 n n 项的和为项的和为 12nn saaa) ). . 4040. .等差数列的等差数列的通项公式通项公式 * 11 (1)() n aanddnad nN； 其前其前 n n 项和公式为项和公式为 1 () 2 n n n aa s 1 (1) 2 n n nad 2 1 1 () 22 d nad n. . 4141. .等比数列的等比数列的通项公式通项公式 1* 1 1

12、 () nn n a aa qqnN q ； 其前其前 n n 项的和公式为项的和公式为 1 1 (1) ,1 1 ,1 n n aq q sq na q 或或 1 1 ,1 1 ,1 n n aa q q qs na q . . 4242. .等比差数列等比差数列 n a: : 11 ,(0) nn aqad ab q 的通项公式为的通项公式为 1 (1) ,1 () ,1 1 nn n bnd q a bqdb qd q q ； 其前其前 n n 项和公式为项和公式为 (1) ,(1) 1 (),(1) 111 n n nbn ndq s dqd bn q qqq . . 43.分期付款分

13、期付款(按揭贷款按揭贷款) 每次还款每次还款 (1) (1)1 n n abb x b 元元(贷款贷款a元元,n次还清次还清,每期利率为每期利率为b). 04. 三角函数三角函数 44常见三角不等式常见三角不等式 （1）若）若(0,) 2 x ，则，则sintanxxx. (2) 若若(0,) 2 x ，则，则1sincos2xx. (3)|sin|cos| 1xx. 4545. .同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 22 sincos1，tan= = cos sin ，tan1cot. . 4646. .正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）正弦、余弦的诱导公式（奇变偶

14、不变，符号看象限） 2 1 2 ( 1) sin , sin() 2 ( 1)s , n n n co 2 1 2 ( 1)s, s() 2 ( 1)sin, n n co n co 4747. .和角与差角公式和角与差角公式 sin()sincoscossin; ; cos()coscossinsin; ; tantan tan() 1tantan . . 22 sin()sin()sinsin( (平方正弦公式平方正弦公式) ); ; 22 cos()cos()cossin. . sincosab= = 22 sin()ab( (辅助角辅助角所在象 限由点所在象 限由点( , )a b的象

15、限 决的象限 决 定定, ,tan b a ).). 4848. .二倍角公式二倍角公式 sin 2sincos. . 2222 cos2cossin2cos11 2sin . . 2 2tan tan2 1tan . . 49.49. 三倍角公式三倍角公式 3 sin33sin4sin4sinsin()sin() 33 . . 3 cos34cos3cos4coscos()cos() 33 . . 3 2 3tantan tan3tantan()tan() 1 3tan33 . . 5050. .三角函数的周期公式三角函数的周期公式 函数函数sin()yx，x xR R 及函数及函数cos(

16、)yx，x xR(R(A A, , ,为常数为常数，且且 A A0 0， (n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数) 0 0) )的周期的周期 2 T ； 函数函数tan()yx，, 2 xkkZ ( (A A, , ,为常数，且为常数，且 A A0 0，0 0) )的周期的周期 T . . 5151. .正弦定理正弦定理 2 sinsinsin abc R ABC . . 5252. .余弦定理余弦定理 222 2cosabcbcA; ; 222 2cosbcacaB; ; 222 2coscababC. . 5353. .面积定理面积定理 （1 1） 111 222 a

17、bc Sahbhch（ abc hhh、 、分别表示分别表示 a a、b b、c c 边上的高）边上的高）. . （2 2） 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB. . (3)(3) 22 1 (| |)() 2 OAB SOAOBOA OB . . 5454. .三角形内角和定理三角形内角和定理 在在ABCABC 中，有中，有()ABCCAB 222 CAB 222()CAB. . 55.55. 简单的三角方程的简单的三角方程的通解通解 sin( 1) arcsin (,| 1) k xaxka kZa . . s2arccos (,| 1)co xaxka kZa. .

18、 tanarctan (,)xaxka kZ aR. . 特别地特别地, ,有有 sinsin( 1)() k kkZ . . scos2()cokkZ. . tantan()kkZ. . 56.56.最简单的三角不等式及其解集最简单的三角不等式及其解集 sin(| 1)(2arcsin ,2arcsin ),xa axkaka kZ. . sin(| 1)(2arcsin ,2arcsin ),xa axkaka kZ. . cos(| 1)(2arccos ,2arccos ),xa axkaka kZ. . cos(| 1)(2arccos ,22arccos ),xa axkaka k

19、Z. . tan()(arctan ,), 2 xa aRxka kkZ . . tan()(,arctan ), 2 xa aRxkka kZ . . 05. 平面向量平面向量 57.57.实数与向量的积的运算律实数与向量的积的运算律 设设、为实数，那么为实数，那么 (1)(1) 结合律：结合律：( (a a) )=(=() )a a; ; (2)(2)第一分配律：第一分配律：( (+ +) )a a= =a a+ +a;a; (3)(3)第二分配律：第二分配律：( (a a+ +b b)=)=a a+ +b b. . 58.58.向量的数量积的运算律：向量的数量积的运算律： (1)(1)a

20、 ab=b= b ba a（交换律）（交换律）; ; (2)(2)（a a） b=b=（a ab b）= =a ab b= =a a （b b）; ; (3)(3)（a a+ +b b） c=c=a ac c +b+bc.c. 59.59.平面向量基本定理平面向量基本定理 如果如果 e e1 1、e e 2 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且 只有一对实数只有一对实数1 1、2 2，使得，使得 a=a=1 1e e1 1+ +2 2e e2 2 不共线的向量不共线的向量 e e1 1、e e2 2

21、叫做表示这一平面内所有向量的一组叫做表示这一平面内所有向量的一组基底基底 6060向量平行的坐标表示向量平行的坐标表示 设设 a a= = 11 ( ,)x y, ,b b= = 22 (,)xy，且，且 b b0 0，则，则 a ab(bb(b0)0) 1221 0 x yx y. . 53.53.a a与与 b b 的的数量积数量积( (或内积或内积) ) a ab b=|=|a a|b b|cos|cos 61.61. ab 的几何意义的几何意义 数量积数量积 ab 等于等于 a 的长度的长度|a|与与 b 在在 a 的方向上的投影的方向上的投影|b|cos的乘积的乘积 62.62.平面

22、向量的坐标运算平面向量的坐标运算 (1)(1)设设 a a= = 11 ( ,)x y, ,b b= = 22 (,)xy，则，则 a+b=a+b= 1212 (,)xxyy. . (2)(2)设设 a a= = 11 ( ,)x y, ,b b= = 22 (,)xy，则，则 a-b=a-b= 1212 (,)xxyy. . (3)(3)设设 A A 11 ( ,)x y，B B 22 (,)xy, ,则则 2121 (,)ABOBOAxx yy . . (4)(4)设设 a a= =( , ),x yR，则，则a=a=(,)xy. . (5)(5)设设 a a= = 11 ( ,)x y,

23、 ,b b= = 22 (,)xy，则，则 a ab=b= 1212 ()x xy y. . 63.63.两向量的夹角公式两向量的夹角公式 1212 2222 1122 cos x xy y xyxy ( (a a= = 11 ( ,)x y, ,b b= = 22 (,)xy).). 6464. .平面两点间的距离公式平面两点间的距离公式 ,A B d= =|ABAB AB 22 2121 ()()xxyy(A(A 11 ( ,)x y，B B 22 (,)xy).). 65.65.向量的平行与垂直向量的平行与垂直 设设 a a= = 11 ( ,)x y, ,b b= = 22 (,)xy

24、，且，且 b b0 0，则，则 A A|b bb b= =a a 1221 0 x yx y. . a ab(ab(a0)0)a ab b= =0 0 1212 0 x xy y. . 6666. .线段的定比分公式线段的定比分公式 设设 111 ( ,)P x y， 222 (,)P xy，( , )P x y是线段是线段 12 PP的分点的分点, ,是实数是实数，且且 12 PPPP ，则则 12 12 1 1 xx x yy y 12 1 OPOP OP 12 (1)OPtOPt OP （ 1 1 t ）. . 6767. .三角形的重心坐标公式三角形的重心坐标公式 ABCABC 三个顶

25、点的坐标分别为三个顶点的坐标分别为 11 A(x ,y )、 22 B(x ,y )、 33 C(x ,y ), ,则则ABCABC 的重心的坐的重心的坐 标是标是 123123 (,) 33 xxxyyy G . . 6868. .点的平移公式点的平移公式 xxhxxh yykyyk OPOPPP . . 注注: :图形图形 F F 上的任意一点上的任意一点 P(xP(x，y)y)在平移后图形在平移后图形 F上的对应点为上的对应点为 ( ,)P x y，且，且 PP 的的 坐标为坐标为( , )h k. . 69.69.“按向量平移按向量平移”的几个结论的几个结论 （1 1）点）点( , )

26、P x y按向量按向量 a=a=( , )h k平移后得到点平移后得到点 ( ,)P xh yk. . (2)(2) 函数函数( )yf x的图象的图象C按向量按向量 a=a=( , )h k平移后得到图象平移后得到图象 C, ,则则 C的函数解析式的函数解析式 为为()yf xhk. . (3)(3) 图象图象 C按向量按向量 a=a=( , )h k平移后得到图象平移后得到图象C, ,若若C的解析式的解析式( )yf x, ,则则 C的函数的函数 解析式为解析式为()yf xhk. . (4)(4)曲 线曲 线C: :( , )0f x y 按 向 量按 向 量 a=a=( , )h k平

27、 移 后 得 到 图 象平 移 后 得 到 图 象 C, , 则则 C的 方 程 为的 方 程 为 (,)0f xh yk. . (5)(5) 向量向量 m=m=( , )x y按向量按向量 a=a=( , )h k平移后得到的向量仍然为平移后得到的向量仍然为 m=m=( , )x y. . 70.70. 三角形五三角形五“心心”向量形式的充要条件向量形式的充要条件 设设O为为ABC所在平面上一点，角所在平面上一点，角, ,A B C所对边长分别为所对边长分别为, ,a b c，则，则 （1 1）O为为ABC的外心的外心 222 OAOBOC . . （2 2）O为为ABC的重心的重心0OAO

28、BOC . . （3 3）O为为ABC的垂心的垂心OA OBOB OCOC OA . . （4 4）O为为ABC的内心的内心0aOAbOBcOC . . （5 5）O为为ABC的的A的旁心的旁心aOAbOBcOC . . 06. 不不 等等 式式 7171. .常用不等式：常用不等式： （1 1）, a bR 22 2abab( (当且仅当当且仅当 a ab b 时取时取“= =”号号) ) （2 2）, a bR 2 ab ab ( (当且仅当当且仅当 a ab b 时取时取“= =”号号) ) （3 3） 333 3(0,0,0).abcabc abc （4 4）柯西不等式）柯西不等式 2

29、2222 ()()() , , , ,.abcdacbda b c dR （5 5）bababa. . 7272. .极值定理极值定理 已知已知yx,都是正数，则有都是正数，则有 （1 1）若积）若积xy是定值是定值p，则当，则当yx 时和时和yx 有最小值有最小值p2； （2 2）若和）若和yx 是定值是定值s，则当，则当yx 时积时积xy有最大值有最大值 2 4 1 s. . 推广推广 已知已知Ryx,，则有，则有xyyxyx2)()( 22 （1 1）若积）若积xy是定值是定值, ,则当则当|yx 最大时最大时, ,|yx 最大；最大； 当当|yx 最小时最小时, ,|yx 最小最小.

30、. （2 2）若和）若和|yx 是定值是定值, ,则当则当|yx 最大时最大时, ,| xy最小；最小； 当当|yx 最小时最小时, ,| xy最大最大. . 7373. .一元二次不等式一元二次不等式 2 0(0)axbxc或 2 (0,40)abac ，如果，如果a与与 2 axbxc同号，则其解集在两根之外；如果同号，则其解集在两根之外；如果a与与 2 axbxc异号，则其解集在两异号，则其解集在两 根之间根之间. .简言之：同号两根之外，异号两根之间简言之：同号两根之外，异号两根之间. . 121212 ()()0()xxxxxxxxx； 121212 ,()()0()xxxxxxxx

31、xx或. . 7474. .含有绝对值的不等式含有绝对值的不等式 当当 aa 0 0 时，有时，有 2 2 xaxaaxa . . 22 xaxaxa或或xa . . 7575. .无理不等式无理不等式 （1 1） ( )0 ( )( )( )0 ( )( ) f x f xg xg x f xg x . . （2 2） 2 ( )0 ( )0 ( )( )( )0 ( )0 ( ) ( ) f x f x f xg xg x g x f xg x 或. . （3 3） 2 ( )0 ( )( )( )0 ( ) ( ) f x f xg xg x f xg x . . 7676. .指数不等

32、式与对数不等式指数不等式与对数不等式 (1)(1)当当1a 时时, , ( )( ) ( )( ) f xg x aaf xg x; ; ( )0 log( )log( )( )0 ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x . . (2)(2)当当01a时时, , ( )( ) ( )( ) f xg x aaf xg x; ; ( )0 log( )log( )( )0 ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x 07. 直线和圆的方程直线和圆的方程 77.斜率公式斜率公式 21 21 yy k xx （ 111 ( ,)P x y、 222 (,)P

33、xy）. 78.直线的五种方程直线的五种方程 （1）点斜式点斜式 11 ()yyk xx( (直线直线l过点过点 111 ( ,)P x y，且斜率为，且斜率为k) （2 2）斜截式斜截式ykxb( (b b 为直线为直线l在在 y y 轴上的截距轴上的截距) ). . （3 3）两点式两点式 11 2121 yyxx yyxx ( ( 12 yy)()( 111 ( ,)P x y、 222 (,)P xy( ( 12 xx) ).). (4)(4)截距式截距式1 xy ab ( (ab、分别为直线的横、纵截距，分别为直线的横、纵截距，0ab 、) ) （5 5）一般式一般式0AxByC(其

34、中其中 A、B 不同时为不同时为 0). 79.两条直线的两条直线的平行和垂直平行和垂直 (1)若若 111 :lyk xb， 222 :lyk xb 121212 |,llkk bb ; 1212 1llk k . (2)若若 1111 :0lAxB yC, 2222 :0lA xB yC,且且 A1、A2、B1、B2都不为零都不为零, 111 12 222 | ABC ll ABC ； 121212 0llA AB B； 80.夹角公式夹角公式 (1) 21 2 1 tan| 1 kk k k . ( 111 :lyk xb， 222 :lyk xb, 12 1k k ) (2) 1221

35、 1212 tan| ABA B A AB B . ( 1111 :0lAxB yC, 2222 :0lA xB yC, 1212 0A AB B). 直线直线 12 ll时，直线时，直线 l1与与 l2的夹角是的夹角是 2 . 81. 1 l到到 2 l的角公式的角公式 (1) 21 2 1 tan 1 kk k k . ( 111 :lyk xb， 222 :lyk xb, 12 1k k ) (2) 1221 1212 tan ABA B A AB B . ( 1111 :0lAxB yC, 2222 :0lA xB yC, 1212 0A AB B). 直线直线 12 ll时，直线时，

36、直线 l1到到 l2的角是的角是 2 . 8282四种常用直线系方程四种常用直线系方程 (1)(1)定点直线系方程：经过定点定点直线系方程：经过定点 000 (,)P xy的直线系方程为的直线系方程为 00 ()yyk xx( (除除 直 线直 线 0 xx),), 其 中其 中k是 待 定 的 系 数是 待 定 的 系 数 ; ; 经 过 定 点经 过 定 点 000 (,)P xy的 直 线 系 方 程 为的 直 线 系 方 程 为 00 ()()0A xxB yy, ,其中其中,A B是待定的系数是待定的系数 ( (2 2) )共点直线系方程：经过两直线共点直线系方程：经过两直线 111

37、1 :0lAxB yC, , 2222 :0lA xB yC 的交点的直线系方程为的交点的直线系方程为 111222 ()()0AxB yCA xB yC( (除除 2 l) )，其中，其中是待是待 定的系数定的系数 ( (3 3) )平行直线系方程：直线平行直线系方程：直线ykxb中当斜率中当斜率 k k 一定而一定而 b b 变动时，表示平行直线变动时，表示平行直线 系方程系方程与直线与直线0AxByC平行的直线系方程是平行的直线系方程是0AxBy( (0) )，是是 参变量参变量 ( (4 4) )垂直直线系方程垂直直线系方程：与直线与直线0AxByC(A(A0 0，B B0)0)垂直的

38、直线系方程是垂直的直线系方程是 0BxAy, ,是参变量是参变量 83.点到直线的距离点到直线的距离 00 22 |AxByC d AB (点点 00 (,)P xy,直线直线l：0AxByC). 84.84.0AxByC或或0所表示的所表示的平面区域平面区域 设直线设直线:0l AxByC，则，则0AxByC或或0所表示的所表示的平面区域平面区域是：是： 若若0B ， 当当B与与AxByC同号时同号时， 表示表示直线直线l的上方的的上方的区域区域； 当当B与与AxByC 异号时，表示异号时，表示直线直线l的下方的的下方的区域区域.简言之简言之,同号在上同号在上,异号在下异号在下. 若若0B

39、， 当当A与与AxByC同号时同号时， 表示表示直线直线l的右方的的右方的区域区域； 当当A与与AxByC 异号时，表示异号时，表示直线直线l的左方的的左方的区域区域. 简言之简言之,同号在右同号在右,异号在左异号在左. 85.85. 111222 ()()0AxB yCA xB yC或或0所表示的所表示的平面区域平面区域 设曲线设曲线 111222 :()()0CAxB yCA xB yC（ 1212 0A A B B ） ，则，则 111222 ()()0AxB yCA xB yC或或0所表示的所表示的平面区域平面区域是：是： 111222 ()()0AxB yCA xB yC所表示的所表

40、示的平面区域平面区域上下两部分；上下两部分； 111222 ()()0AxB yCA xB yC所表示的所表示的平面区域平面区域上下两部分上下两部分. . 86. 圆的圆的四种四种方程方程 （1 1）圆的标准方程圆的标准方程 222 ()()xaybr. . （2 2）圆的一般方程圆的一般方程 22 0 xyDxEyF( ( 22 4DEF0).0). （3 3）圆的圆的参数方程参数方程 cos sin xar ybr . . （4 4）圆）圆的的直径式直径式方程方程 1212 ()()()()0 xxxxyyyy( (圆的直径的端点是圆的直径的端点是 11 ( ,)A x y、 22 (,)

41、B xy).). 87.87. 圆系方程圆系方程 (1)(1)过点过点 11 ( ,)A x y, , 22 (,)B xy的圆系方程是的圆系方程是 1212112112 ()()()()()()()()0 xxxxyyyyxxyyyyxx 1212 ()()()()()0 xxxxyyyyaxbyc, ,其中其中0axbyc是直是直 线线AB的方程的方程, ,是待定的系数是待定的系数 (2)(2)过直线过直线l: :0AxByC与圆与圆C: : 22 0 xyDxEyF的交点的圆系的交点的圆系 方程是方程是 22 ()0 xyDxEyFAxByC, ,是待定的系数是待定的系数 (3)(3)

42、过圆过圆 1 C: : 22 111 0 xyD xE yF与圆与圆 2 C: : 22 222 0 xyD xE yF 的交点的圆系方程是的交点的圆系方程是 2222 111222 ()0 xyD xE yFxyD xE yF, , 是待定的系数是待定的系数 88.88.点与圆的位置关系点与圆的位置关系 点点 00 (,)P xy与圆与圆 222 )()(rbyax的位置关系有三种的位置关系有三种 若若 22 00 ()()daxby，则，则 dr点点P在圆外在圆外; ;dr点点P在圆上在圆上; ;dr点点P在圆内在圆内. . 89.89.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 直线直线0CB

43、yAx与圆与圆 222 )()(rbyax的位置关系有三种的位置关系有三种: : 0相离rd; ; 0相切rd; ; 0相交rd. . 其中其中 22 BA CBbAa d . . 90.90.两圆位置关系的判定方法两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为设两圆圆心分别为 O O1 1，O O2 2，半径分别为，半径分别为 r r1 1，r r2 2，dOO 21 条公切线外离4 21 rrd; ; 条公切线外切3 21 rrd; ; 条公切线相交2 2121 rrdrr; ; 条公切线内切1 21 rrd; ; 无公切线内含 21 0rrd. . 91.91.圆的切线方程圆的切线方程 (1)

44、(1)已知圆已知圆 22 0 xyDxEyF 若已知切点若已知切点 00 (,)xy在圆上，则切线只有一条，其方程是在圆上，则切线只有一条，其方程是 00 00 ()() 0 22 D xxE yy x xy yF . . 当当 00 (,)xy圆外时圆外时, , 00 00 ()() 0 22 D xxE yy x xy yF 表示过两个切点表示过两个切点 的切点弦方程的切点弦方程 过圆外一点的切线方程可设为过圆外一点的切线方程可设为 00 ()yyk xx，再利用相切条件求再利用相切条件求 k k，这时必这时必 有两条切线，注意不要漏掉平行于有两条切线，注意不要漏掉平行于 y y 轴的切线

45、轴的切线 斜率为斜率为 k k 的切线方程可设为的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求，再利用相切条件求 b b，必有两条切线，必有两条切线 (2)(2)已知圆已知圆 222 xyr 过圆上的过圆上的 000 (,)P xy点的切线方程为点的切线方程为 2 00 x xy yr; ; 斜率为斜率为k的圆的切线方程为的圆的切线方程为 2 1ykxrk. . 08. 圆锥曲线方程圆锥曲线方程 9292. .椭圆椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的参数方程是的参数方程是 cos sin xa yb . . 9393. .椭圆椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 焦半径公式焦半

46、径公式 )( 2 1 c a xePF，)( 2 2 x c a ePF. . 9494椭圆的椭圆的的内外部的内外部 （1 1）点）点 00 (,)P xy在在椭圆椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的内部的内部 22 00 22 1 xy ab . . （2 2）点）点 00 (,)P xy在在椭圆椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的外部的外部 22 00 22 1 xy ab . . 95.95. 椭圆椭圆的的切线切线方程方程 (1)(1)椭圆椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上一点上一点 00 (,)P xy处的切线方程是处的切线方程是 00 22 1

47、x xy y ab . . （2 2）过椭圆）过椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 外一点外一点 00 (,)P xy所引两条切线的切点弦方程是所引两条切线的切点弦方程是 00 22 1 x xy y ab . . （ 3 3 ） 椭 圆） 椭 圆 22 22 1(0) xy ab ab 与 直 线与 直 线0AxByC相 切 的 条 件 是相 切 的 条 件 是 22222 A aB bc. . 9696. .双曲线双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的的焦半径公式焦半径公式 2 1 | ()| a PFe x c ， 2 2 | ()| a PFex c . .

48、97.97.双曲双曲线线的内外部的内外部 (1)(1)点点 00 (,)P xy在双曲线在双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的内部的内部 22 00 22 1 xy ab . . (2)(2)点点 00 (,)P xy在双曲线在双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的外部的外部 22 00 22 1 xy ab . . 98.98.双曲双曲线线的方程与的方程与渐近线方程的关系渐近线方程的关系 (1(1）若双曲线方程为）若双曲线方程为1 2 2 2 2 b y a x 渐近线方程：渐近线方程： 22 22 0 xy ab x a b y. . (2)(2)若若渐近

49、线方程为渐近线方程为x a b y0 b y a x 双曲线可设为双曲线可设为 2 2 2 2 b y a x . . (3)(3)若若双曲线与双曲线与1 2 2 2 2 b y a x 有公共渐近线，有公共渐近线，可设为可设为 2 2 2 2 b y a x （0，焦点在，焦点在 x x 轴上，轴上，0，焦点在，焦点在 y y 轴上）轴上）. . 99.99. 双曲线的双曲线的切线方程切线方程 ( (1)1)双曲线双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 上一点上一点 00 (,)P xy处的切线方程是处的切线方程是 00 22 1 x xy y ab . . （2 2）过双曲线过

50、双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 外一点外一点 00 (,)P xy所引两条切线的切点弦方程是所引两条切线的切点弦方程是 00 22 1 x xy y ab . . （ 3 3 ） 双 曲 线） 双 曲 线 22 22 1(0,0) xy ab ab 与 直 线与 直 线0AxByC相 切 的 条 件 是相 切 的 条 件 是 22222 A aB bc. . 100100. . 抛物线抛物线pxy2 2 的的焦半径公式焦半径公式 抛物线抛物线 2 2(0)ypx p焦半径焦半径 0 2 p CFx. . 过焦点弦长过焦点弦长pxx p x p xCD 2121 22 . .