1、第第 5 讲讲指数与指数函数指数与指数函数 一、选择题 1.(2017衡水中学模拟)若 a 2 3 x ，bx2，clog2 3x，则当 x1 时，a，b，c 的 大小关系是() A.cabB.cba C.abcD.ac1 时，0a 2 3 x1，clog2 3x0，所以 ca1，b1，b0 C.0a0D.0a1，b0 解析由 f(x)ax b 的图象可以观察出，函数 f(x)ax b 在定义域上单调递减， 所以 0a1. 函数 f(x)ax b 的图象是在 f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以 b0. 答案D 3.(2017德州一模)已知 a 3 5 2 5，b 2 5 3 5，c 2
2、5 2 5，则( ) A.abcB.cba C.cabD.bc 2 5，b 2 5， ac，bc0，且 a1)，如果以 P(x1，f(x1)，Q(x2， f(x2)为端点的线段的中点在 y 轴上，那么 f(x1)f(x2)等于() A.1B.a C.2D.a2 解析以 P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2)为端点的线段的中点在 y 轴上， x1x20.又f(x)ax， f(x1)f(x2)ax1ax2ax1x2a01. 答案A 5.(2017西安调研)若函数 f(x)a|2x 4|(a0，且 a1)，满足 f(1)1 9，则 f(x)的单 调递减区间是() A.(，2B.2，) C.2，)
3、D.(，2 解析由 f(1)1 9，得 a 21 9，解得 a 1 3或 a 1 3(舍去)，即 f(x) 1 3 |2x4| . 由于 y|2x4|在(，2上递减，在2，)上递增，所以 f(x)在(，2 上递增，在2，)上递减. 答案B 二、填空题 6. 3 2 1 3 7 6 0 81 4 4 2 2 3 2 3_. 解析原式 2 3 1 3123 42 1 4 2 3 1 32. 答案2 7.(2015江苏卷)不等式 2x2x4 的解集为_. 解析2x2x4，2x2x22， x2x2，即 x2x20，解得1x2. 答案x|1x2 8.(2017安徽江淮十校联考)已知 max(a，b)表示
4、 a，b 两数中的最大值.若 f(x) maxe|x|，e|x 2|，则 f(x)的最小值为_. 解析f(x) ex，x1， e|x 2|，x1. 当 x1 时，f(x)exe(x1 时，取等号)， 当 xe， 因此 x1 时，f(x)有最小值 f(1)e. 答案e 三、解答题 9.已知 f(x) 1 ax1 1 2 x 3(a0，且 a1). (1)讨论 f(x)的奇偶性； (2)求 a 的取值范围，使 f(x)0 在定义域上恒成立. 解(1)由于 ax10，则 ax1，得 x0， 所以函数 f(x)的定义域为x|x0. 对于定义域内任意 x，有 f(x) 1 a x11 2 (x)3 ax
5、 1ax 1 2 (x)3 1 1 ax1 1 2 (x)3 1 ax1 1 2 x 3f(x). f(x)是偶函数. (2)由(1)知 f(x)为偶函数， 只需讨论 x0 时的情况，当 x0 时，要使 f(x)0，即 1 ax1 1 2 x 30， 即 1 ax1 1 20，即 ax1 2（ax1）0，则 a x1. 又x0，a1. 因此 a1 时，f(x)0. 10.已知定义域为 R 的函数 f(x)2 xb 2x 1a是奇函数. (1)求 a，b 的值； (2)解关于 t 的不等式 f(t22t)f(2t21)0. 解(1)因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 所以 f(0)0， 即
6、1b 2a 0，解得 b1， 所以 f(x)2 x1 2x 1a. 又由 f(1)f(1)知21 4a 1 21 1a ，解得 a2. (2)由(1)知 f(x)2 x1 2x 121 2 1 2x1. 由上式易知 f(x)在(， )上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数 f(x) 在 R 上是减函数). 又因为 f(x)是奇函数，所以不等式 f(t22t)f(2t21)0 等价于 f(t22t)2t21， 即 3t22t10，解不等式可得 t1 或 t1 3， 故原不等式的解集为 t|t1 或 t1 3 . 11.若存在正数 x 使 2x(xa)0，所以由 2x(xa)x 1 2 x ，
7、令 f(x)x 1 2 x ，则函数 f(x)在(0，)上是增函数， 所以 f(x)f(0)0 1 2 0 1， 所以 a1. 答案D 12.(2017宜宾诊断检测)已知函数 f(x)x4 9 x1，x(0，4)，当 xa 时，f(x) 取得最小值 b，则函数 g(x)a|x b|的图象为( ) 解析x(0，4)，x11，f(x)x1 9 x152 951，当且仅 当 x1 9 x1，即 x2 时，取等号.a2，b1.因此 g(x)2 |x1|，该函数图 象由 y2|x|向左平移一个单位得到，结合图象知 A 正确. 答案A 13.(2017北京丰台一模)已知奇函数 y f（x） ，x0， g（
8、x） ，x0， 且 a1) 对应的图象如图所示，那么 g(x)_. 解析依题意，f(1)1 2，a 1 2， f(x) 1 2 x ，x0.当 x0. g(x)f(x) 1 2 x 2x. 答案2x(x0 对任意 xR 都成立， f(x)在 R 上是增函数. 又f(x)的定义域为 R，且 f(x)e xexf(x)， f(x)是奇函数. (2)存在.由(1)知 f(x)在 R 上是增函数和奇函数，则 f(xt)f(x2t2)0 对一切 xR 都成立， f(x2t2)f(tx)对一切 xR 都成立， x2t2tx 对一切 xR 都成立， t2tx2x x1 2 2 1 4对一切 xR 都成立， t2t(x2x)min1 4t 2t1 4 t1 2 2 0， 又 t1 2 2 0， t1 2 2 0，t1 2. 存在 t1 2，使不等式 f(xt)f(x 2t2)0 对一切 xR 都成立.
