1、高考专题突破二高考专题突破二高考中的三角函数与平面向量问题高考中的三角函数与平面向量问题 【考点自测】 1(2016全国)若将函数 y2sin 2x 的图象向左平移 12个单位长度，则平移后图象的对称轴 为() Axk 2 6(kZ) Bxk 2 6(kZ) Cxk 2 12(kZ) Dxk 2 12(kZ) 答案B 解析由题意将函数 y2sin 2x 的图象向左平移 12个单位长度后得到函数的解析式为 y 2sin 2x 6 ，由 2x 6k 2(kZ)得函数的对称轴为 x k 2 6(kZ)，故选 B. 2(2016全国)在ABC 中，B 4，BC 边上的高等于 1 3BC，则 cos A
2、 等于( ) A.3 10 10 B. 10 10 C 10 10 D3 10 10 答案C 解析设 BC 边上的高 AD 交 BC 于点 D， 由题意 B 4， 可知 BD 1 3BC， DC 2 3BC， tanBAD 1，tanCAD2，tan Atan(BADCAD) 12 1123， 所以 cos A 10 10 . 3在直角三角形 ABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，点 P 为线段 CD 的中点，则PA 2PB2 PC2 等 于() A2B4C5D10 答案D 解析将ABC 的各边均赋予向量， 则PA 2PB2 PC2 PA 2PB2 PC 2 PC CA2PCCB2 PC
3、2 2PC 22PCCA2PCCBCA2CB2 PC 2 2|PC |22PCCACB|AB|2 |PC |2 2|PC |28|PC|2|AB|2 |PC |2 |AB |2 |PC |26 42610. 4(2016全国)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos A4 5，cos C 5 13，a 1，则 b_. 答案 21 13 解析在ABC 中，由 cos A4 5，cos C 5 13，可得 sin A 3 5，sin C 12 13，sin Bsin(AC) sin Acos Ccos Asin C63 65，由正弦定理得 b asin B sin A 21
4、 13. 5.若函数 yAsin(x) A0，0，|0) (1)求函数 f(x)的值域； (2)若函数 yf(x)的图象与直线 y1 的两个相邻交点间的距离为 2， 求函数 yf(x)的单调递 增区间 解(1)f(x) 3 2 sin x1 2cos x 3 2 sin x1 2cos x(cos x1) 2 3 2 sin x1 2cos x12sin x 6 1. 由1sin x 6 1， 得32sin x 6 11， 所以函数 f(x)的值域为3,1 (2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，yf(x)的周期为， 所以2 ，即2. 所以 f(x)2sin 2x 6 1， 再由 2k 22
5、x 62k 2(kZ)， 解得 k 6xk 3(kZ) 所以函数 yf(x)的单调递增区间为 k 6，k 3 (kZ) 2(2016北京)在ABC 中，a2c2b2 2ac. (1)求 B 的大小； (2)求2cos Acos C 的最大值 解(1)由 a2c2b2 2ac，得 a2c2b2 2ac. 由余弦定理，得 cos Ba 2c2b2 2ac 2ac 2ac 2 2 . 又 0B，所以 B 4. (2)ACB 4 3 4 ， 所以 C3 4 A,0A3 4 . 所以2cos Acos C 2cos Acos 3 4 A 2cos Acos3 4 cos Asin 3 4 sin A 2
6、cos A 2 2 cos A 2 2 sin A 2 2 sin A 2 2 cos A sin A 4 . 因为 0A3 4 ，所以 4A 4， 故当 A 4 2，即 A 4时， 2cos Acos C 取得最大值 1. 3(2018合肥质检)已知 a(sin x， 3cos x)，b(cos x，cos x)，函数 f(x)ab 3 2 . (1)求函数 yf(x)图象的对称轴方程； (2)若方程 f(x)1 3在(0，)上的解为 x 1，x2，求 cos(x1x2)的值 解(1)f(x)ab 3 2 (sin x， 3cos x)(cos x，cos x) 3 2 sin xcos x
7、 3cos2x 3 2 1 2sin 2x 3 2 cos 2xsin 2x 3 . 令 2x 3k 2(kZ)，得 x 5 12 k 2 (kZ) 即函数 yf(x)图象的对称轴方程为 x5 12 k 2 (kZ) (2)由条件知 sin 2x1 3 sin 2x2 3 1 30， 且 0 x15 12x 22 3 ，(x1，f(x1)与(x2，f(x2)关于直线 x5 12对称，则 x 1x25 6 ， cos(x1x2)cos x1 5 6 x1 cos 2x15 6 cos 2x1 3 2 sin 2x1 3 1 3. 4 (2017东北三省四市二模)已知点 P( 3， 1)， Q(c
8、os x， sin x)， O 为坐标原点， 函数 f(x)OP QP . (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)若 A 为ABC 的内角，f(A)4，BC3，求ABC 周长的最大值 解(1)由已知，得OP ( 3，1)， QP ( 3cos x,1sin x)， 所以 f(x)OP QP 3 3cos x1sin x 42sin x 3 ， 所以函数 f(x)的最小正周期为 2. (2)因为 f(A)4，所以 sin A 3 0， 又 0A，所以 3A 3 4 3 ，A2 3 . 因为 BC3， 所以由正弦定理，得 AC2 3sin B，AB2 3sin C， 所以ABC 的周长为 3
9、2 3sin B2 3sin C 32 3sin B2 3sin 3B 32 3sin B 3 . 因为 0B 3， 所以 3B 3 2 3 ， 所以当 B 3 2，即 B 6时， ABC 的周长取得最大值，最大值为 32 3. 5.已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，且 acos C 3asin Cbc0. (1)求 A； (2)若 AD 为 BC 边上的中线，cos B1 7，AD 129 2 ，求ABC 的面积 解(1)acos C 3asin Cbc0， 由正弦定理得 sin Acos C 3sin Asin Csin Bsin C， 即 sin Acos C
10、 3sin Asin Csin(AC)sin C， 亦即 sin Acos C 3sin Asin C sin Acos Ccos Asin Csin C， 则3sin Asin Ccos Asin Csin C. 又 sin C0，所以3sin Acos A1， 所以 sin(A30)1 2. 在ABC 中，0A180，则30A300)， 则在ABD 中，AD2AB2BD22ABBDcos B， 即129 4 25x21 449x 225x1 27x 1 7， 解得 x1(负值舍去)， 所以 a7，c5， 故 SABC1 2acsin B10 3. 6(2017山东淄博模拟)已知函数 f(x
11、) 3sin xcos xcos2x1 2(0)，与 f(x)图象的对称 轴 x 3相邻的 f(x)的零点为 x 12. (1)讨论函数 f(x)在区间 12， 5 12 上的单调性； (2)设ABC 的内角 A，B，C 的对应边分别为 a，b，c 且 c 3，f(C)1，若向量 m(1，sin A)与向量 n(2，sin B)共线，求 a，b 的值 解(1)f(x) 3 2 sin 2x1cos 2x 2 1 2 3 2 sin 2x1 2cos 2xsin 2x 6 . 由与 f(x)图象的对称轴 x 3相邻的零点为 x 12， 得1 4 2 2 3 12 4， 所以1，即 f(x)sin
12、 2x 6 ， 令 z2x 6， 函数 ysin z 的单调递增区间是 22k， 22k，kZ， 由 22k2x 6 22k，kZ， 得 6kx 3k，kZ， 设 A 12， 5 12 ， B x| 6kx 3k，kZ， 易知 AB 12， 3 ， 所以当 x 12， 5 12 时，f(x)在区间 12， 3 上单调递增，在区间 3， 5 12 上单调递减 (2)f(C)sin 2C 6 10， 则 sin 2C 6 1， 因为 0C，所以 62C 6 11 6 ， 所以 2C 6 2，解得 C 3. 因为 m(1，sin A)与向量 n(2，sin B)共线， 所以 sin B2sin A， 由正弦定理得，b2a. 由余弦定理，得 c2a2b22abcos 3， 即 a2b2ab3. 由解得 a1，b2.
