1、2.4幂函数与二次函数幂函数与二次函数 最新考纲考情考向分析 1.了解幂函数的概念 2.结合函数 yx，yx2，yx3，y1 x，y 1 2 x 的图象，了解它们的变化情况 3.理解并掌握二次函数的定义，图象及性质 4.能用二次函数，方程，不等式之间的关系解 决简单问题. 以幂函数的图象与性质的应用为主，常与 指数函数、对数函数交汇命题；以二次函 数的图象与性质的应用为主，常与方程、 不等式等知识交汇命题，着重考查函数与 方程，转化与化归及数形结合思想，题型 一般为选择、填空题，中档难度. 1幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 yx的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，是常数 (2)常见
2、的 5 种幂函数的图象 (3)常见的 5 种幂函数的性质 函数 特征 性质 yxyx2yx3 y 1 2 x yx 1 定义域RRR0，)x|xR，且 x0 值域R0，)R0，)y|yR，且 y0 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)ax2bxc(a0) 顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标为(m，n) 零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为 f(x)的零点 (2)二次函数的图象和性质 解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0， 0，当 a0， 0 时，恒有 f(x)0. 题组一思考辨析
3、1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)二次函数 yax2bxc，xa，b的最值一定是4acb 2 4a .() (2)二次函数 yax2bxc，xR 不可能是偶函数() (3)在 yax2bxc(a0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大 小() (4)函数 y2 1 2 x是幂函数() (5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点() (6)当 n0 时，幂函数 yxn是定义域上的减函数() 题组二教材改编 2P79T1已知幂函数 f(x)kx的图象过点 1 2， 2 2 ，则 k等于() A.1 2 B1C.3 2 D2 答案C 解析由幂函数的
4、定义，知 k1， 2 2 k 1 2 . k1，1 2.k 3 2. 3 P44A 组 T9已知函数 f(x)x24ax 在区间(， 6)内单调递减， 则 a 的取值范围是() Aa3Ba3 Ca3Da3 答案D 解析函数 f(x)x24ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是 x2a，由函数在区 间(，6)内单调递减可知，区间(，6)应在直线 x2a 的左侧， 2a6，解得 a3，故选 D. 题组三易错自纠 4幂函数 f(x) 2 1023aa x (aZ)为偶函数，且 f(x)在区间(0，)上是减函数，则 a 等于 () A3B4C5D6 答案C 解析因为 a210a23(a5)22，
5、f(x) 2 (5)2a x (aZ)为偶函数， 且在区间(0，)上是减函数， 所以(a5)22bc 且 abc0，则它的图象可能是() 答案D 解析由 abc0 和 abc 知，a0，c0， 由 c0，排除 C. 6 已知函数 yx22x3 在闭区间0， m上有最大值 3， 最小值 2， 则 m 的取值范围为_ 答案1,2 解析如图，由图象可知 m 的取值范围是1,2 题型一题型一幂函数的图象和性质幂函数的图象和性质 1幂函数 yf(x)经过点(3， 3)，则 f(x)是() A偶函数，且在(0，)上是增函数 B偶函数，且在(0，)上是减函数 C奇函数，且在(0，)上是减函数 D非奇非偶函数
6、，且在(0，)上是增函数 答案D 解析设幂函数的解析式为 yx，将(3， 3)代入解析式得 3 3，解得1 2，y 1 2 x， 故选 D. 2若四个幂函数 yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐标系中的图象如图所示，则 a，b，c， d 的大小关系是() Adcba Babcd Cdcab Dabdc 答案B 解析由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近 x 轴，由题图知 abcd，故选 B. 3若 1 2 (21)m 1 2 2 (1)mm ，则实数 m 的取值范围是() A. ， 51 2B. 51 2 ， C(1,2)D. 51 2 ，2 答案D 解析因为函数
7、 y 1 2 x的定义域为0，)， 且在定义域内为增函数， 所以不等式等价于 2m10， m2m10， 2m1m2m1. 解 2m10，得 m1 2； 解 m2m10，得 m 51 2 或 m 51 2 . 解 2m1m2m1，得1m2， 综上所述， 51 2 m2. 思维升华 (1)幂函数的形式是 yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确 定其解析式 (2)在区间(0,1)上， 幂函数中指数越大， 函数图象越靠近 x 轴(简记为“指大图低”)， 在区间(1， )上，幂函数中指数越大，函数图象越远离 x 轴 (3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性
8、进行比较， 准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键 题型二题型二求二次函数的解析式求二次函数的解析式 典例 (1)已知二次函数 f(x)x2bxc 满足 f(0)3，对xR，都有 f(1x)f(1x)成立， 则 f(x)的解析式为_ 答案f(x)x22x3 解析由 f(0)3，得 c3， 又 f(1x)f(1x)， 函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称， b 21，b2， f(x)x22x3. (2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(2,0)且有最小值1， 则f(x)_. 答案x22x 解析设函数的解析式为 f(x)ax(x2)， 所以 f(x)ax22ax，由4
9、a04a 2 4a 1， 得 a1，所以 f(x)x22x. 思维升华 求二次函数解析式的方法 跟踪训练 (1)已知二次函数 f(x)ax2bx1(a，bR，a0)，xR，若函数 f(x)的最小值为 f(1)0，则 f(x)_. (2)若函数 f(x)(xa)(bx2a)(a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解 析式 f(x)_. 答案(1)x22x1(2)2x24 解析(1)设函数 f(x)的解析式为 f(x)a(x1)2ax22axa， 由已知 f(x)ax2bx1，a1， 故 f(x)x22x1. (2)由 f(x)是偶函数知 f(x)图象关于 y 轴对称， a 2a b
10、，即 b2，f(x)2x22a2， 又 f(x)的值域为(，4， 2a24，故 f(x)2x24. 题型三题型三二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质 命题点 1二次函数的图象 典例 (2017郑州模拟)对数函数 ylogax(a0 且 a1)与二次函数 y(a1)x2x 在同一坐标 系内的图象可能是() 答案A 解析当 0a1 时，ylogax 为减函数，y(a1)x2x 开口向下，其对称轴为 x 1 2a1 0，排除 C，D；当 a1 时，ylogax 为增函数，y(a1)x2x 开口向上，其对称轴为 x 1 2a10，排除 B.故选 A. 命题点 2二次函数的单调性 典例 函数 f(x
11、)ax2(a3)x1 在区间1， )上是递减的， 则实数 a 的取值范围是() A3,0)B(，3 C2,0D3,0 答案D 解析当 a0 时，f(x)3x1 在1，)上递减，满足题意 当 a0 时，f(x)的对称轴为 x3a 2a ， 由 f(x)在1，)上递减知 a0， 3a 2a 1， 解得3a0.综上，a 的取值范围为3,0 引申探究 若函数 f(x)ax2(a3)x1 的单调减区间是1，)，则 a_. 答案3 解析由题意知 f(x)必为二次函数且 a2xm 恒成立，则实数 m 的 取值范围是_ 答案(，1) 解析f(x)2xm 等价于 x2x12xm，即 x23x1m0， 令 g(x
12、)x23x1m， 要使 g(x)x23x1m0 在1,1上恒成立， 只需使函数 g(x)x23x1m 在1,1上的最小值大于 0 即可 g(x)x23x1m 在1,1上单调递减， g(x)ming(1)m1. 由m10，得 m1. 因此满足条件的实数 m 的取值范围是(，1) (2)已知 a 是实数，函数 f(x)2ax22x3 在 x1,1上恒小于零，则实数 a 的取值范围为 _ 答案 ，1 2 解析2ax22x30 在1,1上恒成立 当 x0 时，30，成立； 当 x0 时，a3 2 1 x 1 3 21 6，因为 1 x(，11，)，当 x1 时，右边取最小值 1 2， a1 2. 综上
13、，实数 a 的取值范围是 ，1 2 . 思维升华 解决二次函数图象与性质问题时要注意： (1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论； (2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草 图)，再“定量”(看图求解) (3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 解题思路：一是分离参数；二是不分离参数两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值 域 跟踪训练 (1)设 abc0，二次函数 f(x)ax2bxc 的图象可能是() 答案D 解析由 A，C，D 知，f(0)c0， 从而由 abc0，所以 ab0，所以对称轴 x b 2a0，知
14、A，C 错误，D 满足要求；由 B 知 f(0)c0， 所以 ab0，所以 x b 2a0，B 错误 (2)已知函数 f(x)x22ax2a4 的定义域为 R，值域为1，)，则 a 的值为_ 答案1 或 3 解析由于函数 f(x)的值域为1，)， 所以 f(x)min1.又 f(x)(xa)2a22a4， 当 xR 时，f(x)minf(a)a22a41， 即 a22a30，解得 a3 或 a1. (3)设函数 f(x)ax22x2，对于满足 1x0，则实数 a 的取值范围为 _ 答案 1 2， 解析由题意得 a2 x 2 x2对 1x4 恒成立， 又2 x 2 x22 1 x 1 2 21
15、2， 1 4 1 x1， 2 x 2 x2max1 2，a 1 2. 数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用 典例 (12 分)设函数 f(x)x22x2，xt，t1，tR，求函数 f(x)的最小值 思想方法指导研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要 明确参数对图象的影响，进行分类讨论 规范解答 解f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，函数图象的对称轴为 x1.2 分 当 t11，即 t0 时，函数图象如图(1)所示，函数 f(x)在区间t，t1上为减函数， 所以最小值为 f(t1)t21；5 分 当 t1t1，即 0t1 时，函数图象如图(2)所
16、示，在对称轴 x1 处取得最小值，最小值 为 f(1)1；8 分 当 t1 时，函数图象如图(3)所示，函数 f(x)在区间t，t1上为增函数， 所以最小值为 f(t)t22t2.11 分 综上可知，f(x)min t21，t0， 1，0t1， t22t2，t1. 12 分 1幂函数 y 2 4mm x (mZ)的图象如图所示，则 m 的值为() A0B1C2D3 答案C 解析y 2 4mm x (mZ)的图象与坐标轴没有交点， m24m0，即 0m4. 又函数的图象关于 y 轴对称且 mZ， m24m 为偶数，m2. 2(2017江西九江七校联考)若幂函数 f(x)(m24m4) 2 68m
17、m x 在(0，)上为增函数， 则 m 的值为() A1 或 3B1 C3D2 答案B 解析由题意得 m24m41，m26m80， 解得 m1. 3 (2017汕头一模)若命题“ax22ax30 恒成立”是假命题， 则实数 a 的取值范围是() Aa0 或 a3Ba0 或 a3 Ca0 或 a3D0a3 答案A 解析若 ax22ax30 恒成立，则 a0 或 a0， 4a212a0， 可得 0a3，故当命题 “ax22ax30 恒成立”是假命题时，a0 或 a3. 4已知二次函数 f(x)满足 f(2x)f(2x)，且 f(x)在0,2上是增函数，若 f(a)f(0)，则实数 a 的取值范围是
18、() A0，)B(，0 C0,4D(，04，) 答案C 解析由题意可知函数 f(x)的图象开口向下，对称轴为 x2(如图)， 若 f(a)f(0)，从图象观察可知 0a4. 5已知二次函数 f(x)2ax2ax1(a0)，若 x1f(x2) Cf(x1)f(x2)D与 a 值有关 答案C 解析该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线 x1 4， 又依题意，得 x10，又 x1x20， 当 x1，x2在对称轴的两侧时， 1 4x 1x21 4，故 f(x 1)f(x2) 当 x1，x2都在对称轴的左侧时， 由单调性知 f(x1)f(x2) 综上，f(x1)1 时，恒有 f(x)1 时，恒有 f(x
19、)1 时，函数 f(x)x的图象在 yx 的图象的下方，作出 幂函数 f(x)x在第一象限的图象(图略)，由图象可知0， 故 00 时，f(x)(x1)2，若当 x 2，1 2 时，nf(x)m 恒 成立，则 mn 的最小值为_ 答案1 解析f(x)为偶函数， 当 x0，f(x)f(x)(x1)2(x1)2， 当 x 2，1 2 时，f(x)max1，f(x)min0， 0f(x)1，m1，n0，(mn)min1. 12已知函数 f(x)x2(2a1)x3. (1)当 a2，x2,3时，求函数 f(x)的值域； (2)若函数 f(x)在1,3上的最大值为 1，求实数 a 的值 解(1)当 a2
20、 时，f(x)x23x3，x2,3， 对称轴 x3 22,3， f(x)minf 3 2 9 4 9 23 21 4 ， f(x)maxf(3)15， 函数 f(x)的值域为 21 4 ，15 . (2)对称轴为 x2a1 2 . 当2a1 2 1，即 a1 2时， f(x)maxf(3)6a3， 6a31，即 a1 3满足题意； 当2a1 2 1，即 a1 2时， f(x)maxf(1)2a1， 2a11，即 a1 满足题意 综上可知，a1 3或1. 13(2017浙江“超级全能生”联考)已知在(，1上递减的函数 f(x)x22tx1，且对任 意的 x1，x20，t1，总有|f(x1)f(x
21、2)|2，则实数 t 的取值范围为() A 2， 2B1， 2 C2,3D1,2 答案B 解析由于函数 f(x)x22tx1 的图象的对称轴为 xt， 函数 f(x)x22tx1 在区间(， 1上递减， t1. 当 x0，t1时，f(x)maxf(0)1，f(x)minf(t)t22t21t21，要使对任意的 x1， x20，t1，都有|f(x1)f(x2)|2， 只需 1(t21)2，解得 2t 2. 又 t1，1t 2.故选 B. 14当 x(1,2)时，不等式 x2mx40 恒成立，则 m 的取值范围是_ 答案(，5 解析方法一不等式 x2mx40 对 x(1,2)恒成立， mxx24
22、对 x(1,2)恒成立， 即 m x4 x 对 x(1,2)恒成立， 令 yx4 x，则函数 yx 4 x在 x(1,2)上是减函数4y5，5 x4 x 4，m 5. 方法二设 f(x)x2mx4，当 x(1,2)时， 由 f(x)1，即 a2 时，f(x)在 1，a 2 上单调递减，在 a 2，上单调递增，不合题意； 当 0a 21，即 0a2 时，符合题意； 当a 20，即 a0，则x0)， f(x) x22xx0， x22xx0. (3)g(x)x22x2ax2，对称轴方程为 xa1， 当 a11，即 a0 时，g(1)12a 为最小值； 当 1a12，即 02，即 a1 时，g(2)24a 为最小值 综上，g(x)min 12a，a0， a22a1，01.
