1、2.9函数模型及其应用函数模型及其应用 最新考纲考情考向分析 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特 征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、 对数增长等不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂 函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的 函数模型)的广泛应用. 考查根据实际问题建立函数模型解决 问题的能力，常与函数图象、单调性、 最值及方程、不等式交汇命题，题型以 解答题为主，中高档难度. 1几类函数模型 函数模型函数解析式 一次函数模型f(x)axb(a，b 为常数，a0) 反比例函数模型f(x)k xb(k，b 为常数且 k0) 二次函数模型f(x)ax2bx
2、c(a，b，c 为常数，a0) 指数函数模型f(x)baxc(a，b，c 为常数，b0，a0 且 a1) 对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c 为常数，b0，a0 且 a1) 幂函数模型f(x)axnb (a，b 为常数，a0) 2.三种函数模型的性质 函数 性质 yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0) 在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增 增长速度越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表 现为与 y 轴平行 随 x 的增大逐渐表现 为与 x 轴平行 随 n 值变化而各 有不同 值的比较存在一个 x0，当 xx0时，有 logaxxn0)的函数模型称为
3、“对勾”函数模型： (1)该函数在(， a和 a，)上单调递增，在 a，0)和(0， a上单调递减 (2)当 x0 时，x a时取最小值 2 a， 当 x0 时，x a时取最大值2 a. 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)某种商品进价为每件 100 元，按进价增加 10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售， 则每件还能获利() (2)函数 y2x的函数值比 yx2的函数值大() (3)不存在 x0，使 0 x a 0 n x1)的增长速度会超过并远远大于 yxa(a0)的增长 速度() (5)“指数爆炸”是指数型函数 yabxc(a0，b0，b1)增长速
4、度越来越快的形象比 喻() 题组二教材改编 2P102 例 3某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误 的是() A收入最高值与收入最低值的比是 31 B结余最高的月份是 7 月 C1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同 D前 6 个月的平均收入为 40 万元 答案D 解析由题图可知， 收入最高值为 90 万元， 收入最低值为 30 万元， 其比是 31， 故 A 正确； 由题图可知，7 月份的结余最高，为 802060(万元)，故 B 正确；由题图可知，1 至 2 月 份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同，故 C 正
5、确；由题图可知，前 6 个月的 平均收入为1 6(406030305060)45(万元)，故 D 错误 3P104 例 5生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)1 2x 22x20(万元)一万件售价为 20 万元，为获取更大利润，该 企业一个月应生产该商品数量为_万件 答案18 解析利润 L(x)20 xC(x)1 2(x18) 2142， 当 x18 时，L(x)有最大值 4P107A 组 T4用长度为 24 的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大， 则隔墙的长度为_ 答案3 解析设隔墙的长度为 x(0 x0，当
6、p(30，)时，L(p)0，m是不超过 m 的最大整数(如33，3.73，3.13)，则甲、乙两地通话 6.5 分钟的电话费为_元 答案4.24 解析m6.5，m6，则 f(6.5)1.06(0.561)4.24. (2)某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元， 并且每生产一单位产品， 成本增加 10 万元 又 知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数， K(Q)40Q 1 20Q 2，则总利润 L(Q)的最大值是_ 万元 答案2 500 解析L(Q)40Q 1 20Q 210Q2 000 1 20Q 230Q2 0001 20(Q300) 22 500. 则当 Q300 时，L(Q)的
7、最大值为 2 500 万元 题型三题型三构建函数模型的实际问题构建函数模型的实际问题 命题点 1构造一次函数、二次函数模型 典例 (1)某航空公司规定， 乘飞机所携带行李的质量 x(kg)与其运费 y(元)之间的关系由如图所 示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为_kg. 答案19 解析由图象可求得一次函数的解析式为 y30 x570，令 30 x5700，解得 x19. (2)将进货单价为 80 元的商品按 90 元一个出售时， 能卖出 400 个， 已知这种商品每涨价 1 元， 其销售量就要减少 20 个，为了赚得最大利润，每个售价应定为_元 答案95 解析设每个售价定为
8、 x 元，则利润 y(x80)400(x90)2020(x95)2225 当 x95 时，y 最大 命题点 2构造指数函数、对数函数模型 典例 一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐 到面积的一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的1 4，已 知到今年为止，森林剩余面积为原来的 2 2 . (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ 解(1)设每年降低的百分比为 x(0 x0)型函数 典例 (1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总 利润 y(万元)与营运年
9、数 x 的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大， 每辆客车营运年数为_ 答案5 解析根据图象求得 y(x6)211， 年平均利润y x12 x25 x ， x25 x 10，当且仅当 x5 时等号成立 要使平均利润最大，客车营运年数为 5. (2)(2017南昌模拟)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为 60(如 图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为 93平方米，且高度不 低于 3米记防洪堤横断面的腰长为 x 米，外周长(梯形的上底线段 BC 与两腰长的和)为 y 米要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小
10、)，则防洪堤的腰长 x _. 答案2 3 解析由题意可得 BC18 x x 2， y18 x 3x 2 2 18 x 3x 2 6 3. 当且仅当18 x 3x 2 (2x0，解得 x2.3， x 为整数，3x6，xZ. 当 x6 时，y503(x6)x1153x268x115. 令3x268x1150，有 3x268x1150，结合 x 为整数得 6x20，xZ. y 50 x1153x6，xZ， 3x268x1156x20，xZ. (2)对于 y50 x115(3x6，xZ)， 显然当 x6 时，ymax185； 对于 y3x268x1153 x34 3 2811 3 (6185，当每辆自
11、行车的日租金定为 11 元时，才能使一日的净收入最多 思维升华 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系， 将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的 限制 跟踪训练 (1)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过 0.1%，若初时含杂质 2%， 每过滤一次可使杂质含量减少1 3， 至少应过滤_次才能达到市场要求 (已知 lg 20.301 0，lg 30.477 1) 答案8 解析设至少过滤 n 次才能达到市场要求， 则 2% 11 3 n0.1%，即 2 3 n1 20， 所以 nlg 2 31lg 2，所以 n7.
12、39，所以 n8. (2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为 20 000 元，每天需 要房租、水电等费用 100 元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益 R 与门面经营天数 x 的关系是 R(x) 400 x1 2x 2，0 x400， 80 000，x400， 则总利润最大时，该门面经 营的天数是_ 答案300 解析由题意，总利润 y 400 x1 2x 2100 x20 000，0 x400， 60 000100 x，x400， 当 0 x400 时，y1 2(x300) 225 000， 所以当 x300 时，ymax25 000； 当 x
13、400 时，y60 000100 x20 000， 综上，当门面经营的天数为 300 时，总利润最大为 25 000 元 函数应用问题 典例 (12 分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为 40 万美元，每生产 1 万 部还需另投入 16 万美元 设公司一年内共生产该款手机 x 万部并全部销售完， 每万部的销售 收入为 R(x)万美元，且 R(x) 4006x，040. (1)写出年利润 W(万美元)关于年产量 x(万部)的函数解析式； (2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润 思维点拨根据题意， 要利用分段函数求最大利润 列出解析式后，
14、 比较二次函数和“对勾” 函数的最值的结论 规范解答 解(1)当 040 时，WxR(x)(16x40) 40 000 x 16x7 360. 所以 W 6x2384x40，040. 4 分 (2)当 040 时，W40 000 x 16x7 360， 由于40 000 x 16x2 40 000 x 16x1 600， 当且仅当40 000 x 16x，即 x50(40，)时，取等号， 所以此时 W 的最大值为 5 760.10 分 综合知， 当 x32 时，W 取得最大值 6 104 万美元12 分 解函数应用题的一般步骤 第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 第二步：
15、(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论； 第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义； 第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性 1在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中 的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是() x1.992345.156.126 y1.5174.041 87.51218.01 A.y2x2By1 2(x 21) Cylog2xDy 1 2 log x 答案B 解析由题中表可知函数在(0， )上是
16、增函数， 且 y 的变化随 x 的增大而增大的越来越快， 分析选项可知 B 符合，故选 B. 2某工厂 6 年来生产某种产品的情况是：前 3 年年产量的增长速度越来越快，后 3 年年产量 保持不变，则该厂 6 年来这种产品的总产量 C 与时间 t(年)的函数关系图象正确的是() 答案A 解析前 3 年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有 A，C 图象符合要求，而 后 3 年年产量保持不变，故选 A. 3国家规定某行业征税如下：年收入在 280 万元及以下的税率为 p%，超过 280 万元的部分 按(p2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p0.25)%，则该公司的年收入是() A56
17、0 万元B420 万元 C350 万元D320 万元 答案D 解析设该公司的年收入为 x 万元(x280)，则有 280p%x280p2% x (p0.25)%， 解得 x320.故该公司的年收入为 320 万元 4(2017湖南衡阳、长郡中学等十三校联考)某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金 投入若该民企 2016 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上 一年增长 12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)() A2017 年B2018 年 C2019 年D2
18、020 年 答案D 解析设从 2016 年起， 过了 n(nN*)年该民企全年投入的研发资金超过 200 万元， 则 130(1 12%)n200，则 n lg 20 13 lg 1.12 0.300.11 0.05 3.8，由题意取 n4，则 n2 0162 020.故选 D. 5某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过 10 m3的，按每 立方米 m 元收费；用水超过 10 m3的，超过部分加倍收费某职工某月缴水费 16m 元，则该 职工这个月实际用水为() A13 m3B14 m3 C18 m3D26 m3 答案A 解析设该职工用水 x m3时， 缴纳的水费为 y
19、 元， 由题意得 y mx010， 则 10m(x10)2m16m， 解得 x13. 6某汽车销售公司在 A，B 两地销售同一种品牌的汽车，在 A 地的销售利润(单位：万元)为 y14.1x0.1x2，在 B 地的销售利润(单位：万元)为 y22x，其中 x 为销售量(单位：辆)，若 该公司在两地共销售 16 辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是() A10.5 万元B11 万元 C43 万元D43.025 万元 答案C 解析设公司在 A 地销售该品牌的汽车 x 辆，则在 B 地销售该品牌的汽车(16x)辆，所以可 得利润 y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x32 0.1(x1
20、0.5)20.1(10.5)232. 因为 x0,16且 xN，所以当 x10 或 11 时，总利润取得最大值 43 万元 7某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍，且知病毒的繁殖规律为 yekt(其中 k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则 k_，经过 5 小时，1 个病毒能繁殖为 _个 答案2ln 21 024 解析当 t0.5 时，y2，2 1 2 e k ， k2ln 2，ye2tln 2， 当 t5 时，ye10ln 22101 024. 8西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销在一年内，根据预 算得羊皮手套的年利润 L 万元与广告费
21、x 万元之间的函数解析式为 L51 2 x 2 8 x (x0)则 当年广告费投入_万元时，该公司的年利润最大 答案4 解析由题意得 L51 2 x 2 8 x 51 2 2 x 2 8 x21.5， 当且仅当x 2 8 x，即 x4 时等号成立 当 x 4 x0，即 x4 时，L 取得最大值 21.5. 故当年广告费投入 4 万元时，该公司的年利润最大 9.在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)， 则其边长 x 为_m. 答案20 解析设内接矩形另一边长为 y m， 则由相似三角形性质可得 x 40 40y 40 ， 解得 y40 x， 所以面积 Sx(4
22、0 x)x240 x (x20)2400(0 x50， 所以这两位同学会影响其他同学休息 12某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会据市场调查，当每套丛书售价 定为 x 元时，销售量可达到 150.1x 万套现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改 革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为 30 元，浮动价 格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为 10.假设不计其他成本，即销售每套 丛书的利润售价供货价格，问： (1)每套丛书售价定为 100 元时，书商能获得的总利润是多少万元？ (2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？ 解(
23、1)每套丛书售价定为 100 元时，销售量为 150.11005(万套)，此时每套供货价格为 3010 5 32(元)，书商所获得的总利润为 5(10032)340(万元) (2)每套丛书售价定为 x 元时，由 150.1x0， x0， 解得 0 x150. 依题意，单套丛书利润 Px 30 10 150.1x x 100 150 x30， 所以 P 150 x 100 150 x 120. 因为 0 x0， 则(150 x) 100 150 x 2150 x 100 150 x 21020， 当且仅当 150 x 100 150 x， 即 x140 时等号成立， 此时，Pmax2012010
24、0. 所以每套丛书售价定为 140 元时，单套丛书的利润最大，最大值为 100 元 13一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度 v 的平方成正比，且比例系数为 k， 除燃料费外其他费用为每小时 96 元当速度为 10 海里/小时时，每小时的燃料费是 6 元若 匀速行驶 10 海里，当这艘轮船的速度为_海里/小时时，总费用最小 答案40 解析设每小时的总费用为 y 元， 则 ykv296，又当 v10 时，k1026， 解得 k0.06， 所以每小时的总费用 y0.06v296，匀速行驶 10 海里所用的时间为10 v 小时，故总费用为 W 10 v y10 v (0.06v296)0.6
25、v960 v 20.6v960 v 48， 当且仅当 0.6v960 v ，即 v40 时等号成立 故总费用最小时轮船的速度为 40 海里/小时 14商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价 a，最 高销售限价 b(ba)以及实数 x(0 x1)确定实际销售价格 cax(ba)这里，x 被称为乐观 系数经验表明，最佳乐观系数 x 恰好使得(ca)是(bc)和(ba)的等比中项据此可得， 最佳乐观系数 x_. 答案 51 2 解析由题意得 xca ba，(ca) 2(bc)(ba)， bc(ba)(ca)， (ca)2(ba)2(ba)(ca)， 两边同除以(ba)
26、2，得 x2x10， 解得 x1 5 2 . 0 x1，x 51 2 . 15(2018潍坊模拟)某地西红柿从 2 月 1 日开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本 Q(单位：元/100 kg)与上市时间 t(单位：天)的数据如下表： 时间 t60100180 种植成本 Q11684116 根据上表数据， 从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系： Qatb，Qat2btc，Qabt，Qalogbt. 利用你选取的函数，求得： (1)西红柿种植成本最低时的上市天数是_； (2)最低种植成本是_(元/100 kg) 答案(1)120(2)80 解析根据表中数
27、据可知函数不单调，所以 Qat2btc，且开口向上，对称轴 t b 2a 60180 2 120， 代入数据 3 600a60bc116， 10 000a100bc84， 32 400a180bc116， 解得 b2.4， c224， a0.01. 所以西红柿种植成本最低时的上市天数是 120，最低种植成本是 14 400a120bc14 4000.01120(2.4)22480(元/100 kg) 16 (2017江西九江七校联考)某店销售进价为 2 元/件的产品 A， 该店产品 A 每日的销售量 y(单 位：千件)与销售价格 x(单位：元/件)满足关系式 y 10 x24(x6) 2，其中
28、 2x6. (1)若产品 A 销售价格为 4 元/件，求该店每日销售产品 A 所获得的利润； (2)试确定产品 A 的销售价格，使该店每日销售产品 A 所获得的利润最大(保留 1 位小数) 解(1)当 x4 时，y10 2 4(46)221， 此时该店每日销售产品 A 所获得的利润为 (42)2142 千元 (2)该店每日销售产品 A 所获得的利润 f(x)(x2) 10 x24x6 2 104(x6)2(x2) 4x356x2240 x278(2x6)， 从而 f(x)12x2112x240 4(3x10)(x6)(2x0， 函数 f(x)单调递增； 在 10 3 ，6 上， f(x)0， 函数 f(x)单调递减 所以 x10 3 是函数 f(x)在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当 x10 3 3.3 时，函数 f(x) 取得最大值 故当销售价格为 3.3 元/件时，利润最大
