1、7.4基本不等式及其应用基本不等式及其应用 最新考纲考情考向分析 1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的 最大(小)值问题. 理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最 值常与函数、解析几何、不等式相结合考查，加强数 形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意 识作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式 的解答题中考查，难度中档. 1基本不等式： abab 2 (1)基本不等式成立的条件：a0，b0. (2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号 2几个重要的不等式 (1)a2b22ab(a，bR) (2)b a a b2(a，b 同号) (3)ab ab
2、2 2(a，bR) (4)a 2b2 2 ab 2 2(a，bR) 以上不等式等号成立的条件均为 ab. 3算术平均数与几何平均数 设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为ab 2 ，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为两个 正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4利用基本不等式求最值问题 已知 x0，y0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值 2 p.(简记：积定和最小) (2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值p 2 4 .(简记：和定积最大) 知识拓展 不等式的恒成立、能成立、恰成立问题 (1)恒成立问题：若 f(
3、x)在区间 D 上存在最小值，则不等式 f(x)A 在区间 D 上恒成立 f(x)minA(xD)； 若 f(x)在区间 D 上存在最大值，则不等式 f(x)B 在区间 D 上恒成立f(x)maxA 成 立f(x)maxA(xD)； 若 f(x)在区间 D 上存在最小值，则在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f(x)B 成立 f(x)minA 恰在区间 D 上成立f(x)A 的解集为 D； 不等式 f(x)B 恰在区间 D 上成立f(x)0 且 y0”是“x y y x2”的充要条件( ) (4)若 a0，则 a3 1 a2的最小值为 2 a.( ) (5)不等式 a2b22ab 与ab 2
4、 ab有相同的成立条件() (6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项() 题组二教材改编 2P99 例 1(2)设 x0，y0，且 xy18，则 xy 的最大值为() A80B77C81D82 答案C 解析x0，y0，xy 2 xy， 即 xy xy 2 281，当且仅当 xy9 时，(xy)max81. 3P100A 组 T2若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 _ m2. 答案25 解析设矩形的一边为 x m， 则另一边为1 2(202x)(10 x)m， yx(10 x) x10 x 2 225， 当且仅当 x10 x，即 x5 时，ymax25. 题
5、组三易错自纠 4“x0”是“x1 x2 成立”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案C 解析当 x0 时，x1 x2 x1 x2. 因为 x， 1 x同号，所以若 x 1 x2，则 x0， 1 x0，所以“x0”是“x 1 x2 成立”的充要条件， 故选 C. 5设 x0，则函数 yx 2 2x1 3 2的最小值为( ) A0B.1 2 C1D.3 2 答案A 解析yx 2 2x1 3 2 x1 2 1 x1 2 2 2 x1 2 1 x1 2 20，当且仅当 x1 2 1 x1 2 ，即 x1 2时等号成立 函数的最小值为 0.故选 A. 6若
6、正数 x，y 满足 3xy5xy，则 4x3y 的最小值是() A2B3 C4D5 答案D 解析由 3xy5xy，得3xy xy 3 y 1 x5， 所以 4x3y(4x3y)1 5 3 y 1 x 1 5 493y x 12x y 1 5(492 36)5， 当且仅当3y x 12x y ，即 y2x 时，“”成立， 故 4x3y 的最小值为 5.故选 D. 题型一利用基本不等式求最值 命题点 1通过配凑法利用基本不等式 典例 (1)已知 0 x1)的最小值为_ 答案2 32 解析yx 22 x1 x 22x12x23 x1 x1 22x13 x1 (x1) 3 x122 32. 当且仅当
7、x1 3 x1，即 x 31 时，等号成立 命题点 2通过常数代换法利用基本不等式 典例 (2017河北衡水中学调研)若 a0，b0，lg alg blg(ab)，则 ab 的最小值为() A8B6 C4D2 答案C 解析由 lg alg blg(ab)，得 lg(ab)lg(ab)，即 abab，则有1 a 1 b1，所以 ab 1 a 1 b (ab)2b a a b22 b a a b4，当且仅当 ab2 时等号成立，所以 ab 的最 小值为 4，故选 C. 思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等” (2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特
8、征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式， 然后再利用基本不等式 (3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代 换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值 跟踪训练 (1)若对x1， 不等式 x 1 x11a 恒成立， 则实数 a 的取值范围是_ 答案 ，1 2 解析因为函数 f(x)x1 x1 在1，)上单调递增，所以函数 g(x)x1 1 x12 在0， )上单调递增，所以函数 g(x)在1，)上的最小值为 g(1)1 2，因此对x1，不等式 x 1 x11a 恒成立，所以 ag(x) min1 2，故实数 a 的取值范围是 ，1 2 .
9、(2)(2017武汉模拟)已知正数 x，y 满足 x2yxy0，则 x2y 的最小值为_ 答案8 解析由 x2yxy0，得2 x 1 y1，且 x0，y0. x2y(x2y) 2 x 1 y 4y x x y4448， 当且仅当 x2y 时等号成立 题型二基本不等式的实际应用 典例 (2017淄博质检)某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元， 每生产 x 千件， 需另投入成 本为 C(x)， 当年产量不足 80 千件时， C(x)1 3x 210 x(万元) 当年产量不小于 80 千件时， C(x) 51x10 000 x 1 450(万元)每件商品售价为 0.05 万元通过市场分析，该厂
10、生产的商品能 全部售完 (1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解(1)因为每件商品售价为 0.05 万元，则 x 千件商品销售额为 0.051 000 x 万元，依题意得 当 0 x80 时， L(x)1 000 x0.05 1 3x 210 x 250 1 3x 240 x250； 当 x80 时， L(x)1 000 x0.05 51x10 000 x 1 450 250 1 200 x10 000 x. L(x) 1 3x 240 x250，0 x80， 1 200 x10 000 x，x
11、80. (2)当 0 x0)经过圆 x2y22y50 的圆心，则4 b 1 c的最小 值是() A9B8C4D2 答案A 解析圆 x2y22y50 化成标准方程为 x2(y1)26， 所以圆心为 C(0,1) 因为直线 axbyc10 经过圆心 C， 所以 a0b1c10，即 bc1. 因此4 b 1 c(bc) 4 b 1 c 4c b b c5. 因为 b，c0， 所以4c b b c2 4c b b c4. 当且仅当4c b b c时等号成立 由此可得 b2c，且 bc1， 即当 b2 3，c 1 3时， 4 b 1 c取得最小值 9. (2)设等差数列an的公差是 d，其前 n 项和是
12、 Sn(nN*)，若 a1d1，则Sn8 an 的最小值是 _ 答案 9 2 解析ana1(n1)dn，Snn1n 2 ， Sn8 an n1n 2 8 n 1 2 n16 n 1 1 2 2n16 n 1 9 2， 当且仅当 n4 时取等号 Sn8 an 的最小值是9 2. 命题点 2求参数值或取值范围 典例 (1)已知 a0，b0，若不等式3 a 1 b m a3b恒成立，则 m 的最大值为( ) A9B12C18D24 答案B 解析由3 a 1 b m a3b， 得 m(a3b) 3 a 1 b 9b a a b6. 又9b a a b62 9612 当且仅当9b a a b，即 a3b
13、 时等号成立， m12，m 的最大值为 12. (2)已知函数 f(x)x 2ax11 x1 (aR)，若对于任意的 xN*，f(x)3 恒成立，则 a 的取值范围 是_ 答案 8 3， 解析对任意 xN*，f(x)3 恒成立， 即x 2ax11 x1 3 恒成立，即知 a x8 x 3. 设 g(x)x8 x，xN *，则 g(2)6，g(3)17 3 . g(2)g(3)，g(x)min17 3 ， x8 x 38 3， a8 3，故 a 的取值范围是 8 3，. 思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基 本不等式求解 (2)条件不等式的最值
14、问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解 (3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值 或范围 跟踪训练 (1)已知函数 f(x)xa x2 的值域为(，04，)，则 a 的值是( ) A.1 2 B.3 2 C1D2 答案C 解析由题意可得 a0， 当 x0 时，f(x)xa x22 a2，当且仅当 x a时取等号； 当 x0，y0，且1 x 2 y1，则 xy 的最小值是_ (2)函数 y12x3 x(x0，y0，11 x 2 y2 2 xy， xy2 2，xy2 xy4 2， xy 的最小值为 4 2. (2)2x3 x2 6，y12x 3
15、x12 6. 函数 y12x3 x(x0，y0， xy(xy) 1 x 2 y 3y x 2x y 32 2(当且仅当 y 2x 时取等号)， 当 x 21，y2 2时，(xy)min32 2. (2)x0，y12x3 x1(2x) 3 x 122x 3 x12 6，当且仅当 x 6 2 时取等号，故函数 y12x3 x(xb0”是“abb0，可知 a2b22ab，充分性成立，由 ablg x(x0) Bsin x 1 sin x2(xk，kZ) Cx212|x|(xR) D. 1 x211(xR) 答案C 解析当 x0 时，x21 42x 1 2x， 所以 lg x21 4 lg x(x0)
16、，当且仅当 x1 2时，等号成立，故选项 A 不正确； 运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”， 而当 xk，kZ 时，sin x 的正负不定， 故选项 B 不正确； 由基本不等式可知，选项 C 正确； 当 x0 时，有 1 x211，故选项 D 不正确 3(2018青岛质检)已知 a0，b0，ab2，则 y1 a 4 b的最小值是( ) A.7 2 B4C.9 2 D5 答案C 解析依题意，得1 a 4 b 1 2 1 a 4 b (ab) 1 2 5 b a 4a b1 2 52 b a 4a b 9 2， 当且仅当 ab2， b a 4a b ， a0，b0， 即 a2 3，b
17、 4 3时取等号， 即1 a 4 b的最小值是 9 2. 4(2017安庆二模)已知 a0，b0，ab1 a 1 b，则 1 a 2 b的最小值为( ) A4B2 2 C8D16 答案B 解析由 a0，b0，ab1 a 1 b ab ab ，得 ab1，则1 a 2 b2 1 a 2 b2 2.当且仅当 1 a 2 b， 即 a 2 2 ，b 2时等号成立故选 B. 5若实数 a，b 满足1 a 2 b ab，则 ab 的最小值为( ) A. 2B2 C2 2D4 答案C 解析由1 a 2 b ab知，a0，b0，所以 ab 1 a 2 b2 2 ab，即 ab2 2，当且仅当 1 a 2 b
18、， 1 a 2 b ab， 即 a42，b2 4 2时取“”，所以 ab 的最小值为 2 2. 6(2018平顶山一模)若对任意 x0， x x23x1a 恒成立，则 a 的取值范围是( ) Aa1 5 Ba1 5 Ca0， x x23x1a 恒成立， 所以对任意 x(0，)，a x x23x1max， 而对任意 x(0，)， x x23x1 1 x1 x3 1 2x1 x3 1 5， 当且仅当 x1 x，即 x1 时等号成立，a 1 5. 7 (2018天津滨海新区八校联考)已知 ab0， 且 ab1， 那么a 2b2 ab 取最小值时， b_. 答案 6 2 2 解析 a2b2 ab ab
19、 22ab ab (ab) 2 ab2 2， 当且仅当 ab 2时取等号，所以1 bb 2， 解得 b 6 2 2 舍去 6 2 2. 8(2017襄阳一调)已知 x1，y0 且满足 x2y1，则 1 x1 2 y的最小值为_ 答案 9 2 解析x1，y0 且满足 x2y1， x10，且(x1)2y2， 1 x1 2 y 1 2(x1)2y 1 x1 2 y 5 2 1 2 2y x1 2x1 y 5 2 1 22 2y x1 2x1 y 9 2， 当且仅当 2y x1 2x1 y ， x2y1， 即 x1 3， y2 3 时取等号， 故 1 x1 2 y的最小值为 9 2. 9已知 x，yR
20、 且满足 x22xy4y26，则 zx24y2的取值范围为_ 答案4,12 解析2xy6(x24y2)，而 2xyx 24y2 2 ， 6(x24y2)x 24y2 2 ， x24y24(当且仅当 x2y 时取等号) 又(x2y)262xy0， 即 2xy6，zx24y262xy12 (当且仅当 x2y 时取等号) 综上可知，4x24y212. 10(2017成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间 的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为 4 千米 时，运费为 20 万元，仓储费为 5 万元，当工厂和仓库之间的距离为_千米时，
21、运费与 仓储费之和最小，最小为_万元 答案220 解析设工厂和仓库之间的距离为 x 千米，运费为 y1万元，仓储费为 y2万元， 则 y1k1x(k10)，y2k2 x (k20)， 工厂和仓库之间的距离为 4 千米时，运费为 20 万元，仓储费为 5 万元，k15，k220， 运费与仓储费之和为 5x20 x 万元， 5x20 x 25x20 x 20，当且仅当 5x20 x ，即 x2 时，运费与仓储费之和最小，为 20 万元 11已知 x0，y0，且 2x5y20. (1)求 ulg xlg y 的最大值； (2)求1 x 1 y的最小值 解(1)x0，y0， 由基本不等式，得 2x5y
22、2 10 xy. 2x5y20，2 10 xy20，xy10， 当且仅当 2x5y 时，等号成立 因此有 2x5y20， 2x5y， 解得 x5， y2， 此时 xy 有最大值 10. ulg xlg ylg(xy)lg 101. 当 x5，y2 时，ulg xlg y 有最大值 1. (2)x0，y0， 1 x 1 y 1 x 1 y 2x5y 20 1 20 75y x 2x y 1 20 72 5y x 2x y 72 10 20 ， 当且仅当5y x 2x y 时，等号成立 由 2x5y20， 5y x 2x y ， 解得 x10 1020 3 ， y204 10 3 . 1 x 1
23、y的最小值为 72 10 20 . 12.某人准备在一块占地面积为 1 800 平方米的矩形地块中间建三个 矩形温室大棚，大棚周围均是宽为 1 米的小路(如图所示)，大棚占 地面积为 S 平方米，其中 ab12. (1)试用 x，y 表示 S； (2)若要使 S 的值最大，则 x，y 的值各为多少？ 解(1)由题意可得 xy1 800，b2a， 则 yab33a3, 所以 S(x2)a(x3)b(3x8)a (3x8)y3 3 1 8083x8 3y(x3，y3) (2)方法一S1 8083x8 3 1 800 x 1 808 3x4 800 x1 80823x4 800 x 1 808240
24、1 568， 当且仅当 3x4 800 x ，即 x40 时等号成立，S 取得最大值，此时 y1 800 x 45， 所以当 x40，y45 时，S 取得最大值 方法二设 Sf(x)1 808 3x4 800 x(x3)， 则 f(x)4 800 x2 3340 x40 x x2 ， 令 f(x)0，则 x40， 当 0 x0； 当 x40 时，f(x)0， 1 b1 1 a0， b1，a1， 则 1 a1 9 b12 9 a1b12 9 abab16(当且仅当 a 4 3， b4 时等号成立)， 1 a1 9 b1的最小值为 6，故选 C. 14(2017东莞调研)函数 yloga(x3)1
25、(a0，且 a1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mxny10 上，其中 m，n 均大于 0，则1 m 2 n的最小值为_ 答案8 解析yloga(x3)1 恒过定点 A(2，1)， 由 A 在直线 mxny10 上， 可得2mn10，即 2mn1. 1 m 2 n 2mn m 22mn n n m 4m n 42 448(当且仅当n m 4m n ，即 m1 4，n 1 2时等 号成立) 15 设正实数 x， y， z 满足 x23xy4y2z0， 则当xy z 取得最大值时， 2 x 1 y 2 z的最大值是( ) A0B1 C.9 4 D3 答案B 解析 xy z xy x23xy
26、4y2 1 x y 4y x 3 1 431， 当且仅当 x2y 时等号成立，此时 z2y2，2 x 1 y 2 z 1 y2 2 y 1 y1 211，当且仅当 y 1 时等号成立，故所求的最大值为 1. 16若实数 a，b 满足 ab4ab10(a1)，则(a1)(b2)的最小值为_ 答案27 解析因为 ab4ab10，所以 b4a1 a1 . 又 a1，所以 b0，所以(a1)(b2)ab2ab26a2b16a8 6 a116(a1) 6 a115. 因为 a10，所以 6(a1) 6 a1152 6a1 6 a11527， 当且仅当 6(a1) 6 a1(a1)，即 a2 时等号成立，故(a1)(b2)的最小值为 27.
