1、第第 2 课时课时导数与函数的极值、最值导数与函数的极值、最值 题型一题型一用导数求解函数极值问题用导数求解函数极值问题 命题点 1根据函数图象判断极值 典例 设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x)，且函数 y(1x)f(x)的图象如图所示， 则下列结论中一定成立的是() A函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) C函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2) D函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2) 答案D 解析由题图可知，当 x0； 当2x1 时，f(x)0； 当 1x2 时，f(x)2 时，
2、f(x)0. 由此可以得到函数 f(x)在 x2 处取得极大值， 在 x2 处取得极小值 命题点 2求函数的极值 典例 (2018深圳调研)设函数f(x)ln(x1)a(x2x)， 其中aR.讨论函数f(x)极值点的个数， 并说明理由 解f(x) 1 x1a(2x1) 2ax 2axa1 x1 (x1) 令 g(x)2ax2axa1，x(1，) 当 a0 时，g(x)1， 此时 f(x)0，函数 f(x)在(1，)上单调递增，无极值点 当 a0 时，a28a(1a)a(9a8) a当 08 9时，0， 设方程 2ax2axa10 的两根为 x1，x2(x1x2)， 因为 x1x21 2，所以
3、x 11 4. 由 g(1)10，可得1x10，f(x)0，函数 f(x)单调递增； 当 x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递增 因此函数有两个极值点 当 a0，由 g(1)10， 可得 x110，f(x)0，函数 f(x)单调递增； 当 x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递减 所以函数有一个极值点 综上所述，当 a8 9时，函数 f(x)有两个极值点 命题点 3根据极值求参数 典例 (1)(2017沧州模拟)若函数 f(x)x32cx2x 有极值点，则实数 c 的取值范围为 _ 答案 ， 3 2 3 2 ， 解析f(x)3x24
4、cx1， 由 f(x)0 有两个不同的根， 可得(4c)2120， c 3 2 或 c 3 2 . (2)若函数 f(x)x 3 3 a 2x 2x1 在区间 1 2，3上有极值点，则实数 a 的取值范围是() A. 2，5 2B. 2，5 2 C. 2，10 3D. 2，10 3 答案C 解析函数 f(x)在区间 1 2，3上有极值点等价于 f(x)0 有 2 个不相等的实根且在 1 2，3内 有根，由 f(x)0 有 2 个不相等的实根，得 a2.由 f(x)0 在 1 2，3内有根，得 a x1 x在 1 2，3内有解，又 x1 x 2，10 3 ，所以 2a10 3 ， 综上，a 的取
5、值范围是 2，10 3 . 思维升华 函数极值的两类热点问题 (1)求函数 f(x)极值的一般解题步骤 确定函数的定义域；求导数 f(x)；解方程 f(x)0，求出函数定义域内的所有根； 列表检验 f(x)在 f(x)0 的根 x0左右两侧值的符号 (2)根据函数极值情况求参数的两个要领 列式：根据极值点处导数为 0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解 验证：求解后验证根的合理性 跟踪训练 (1)函数 f(x)(x21)22 的极值点是() Ax1Bx1 Cx1 或1 或 0Dx0 答案C 解析f(x)x42x23， 由 f(x)4x34x4x(x1)(x1)0，得 x0 或 x1
6、或 x1. 又当 x1 时，f(x)0， 当1x0， 当 0 x1 时，f(x)1 时，f(x)0， x0,1，1 都是 f(x)的极值点 (2)(2017湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考)若函数 f(x)ax 2 2 (12a)x2ln x(a0)在区间 1 2，1内有极大值，则 a 的取值范围是() A. 1 e，B(1，) C(1,2)D(2，) 答案C 解析f(x)ax(12a)2 x ax22a1x2 x (a0，x0)，若 f(x)在区间 1 2，1内有极大 值， 即 f(x)0 在 1 2，1内有解 则 f(x)在区间 1 2，1内先大于 0，再小于 0， 则 f 1 2 0，
7、f10， a2a120， 解得 1a2，故选 C. 题型二题型二用导数求函数的最值用导数求函数的最值 典例 (2017洛阳模拟)已知函数 f(x)1x x kln x，k1 e，求函数 f(x)在 1 e，e上的最大值和最 小值 解f(x)x1x x2 k x kx1 x2 . 若 k0，则 f(x) 1 x2在 1 e，e上恒有 f(x)0， 所以 f(x)在 1 e，e上单调递减 若 k0，则 f(x)kx1 x2 k x1 k x2 . ()若 k0，则在 1 e，e上恒有k x1 k x2 0，由 ke，则 x 1 k0 在 1 e，e上恒成立， 所以k x1 k x2 0， 所以 f
8、(x)在 1 e，e上单调递减 综上，当 k0，得 1 ex1； 令 f(x)0，得 1a，则实数 a 的取值 范围是_ 答案 ，7 2 解析由题意知，f(x)3x2x2， 令 f(x)0，得 3x2x20， 解得 x1 或 x2 3， 又 f(1)7 2，f 2 3 157 27 ， f(1)11 2 ，f(2)7， 故 f(x)min7 2，a0)的导函数 yf(x)的两个零点为3 和 0. (1)求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)的极小值为e3，求 f(x)在区间5，)上的最大值 解(1)f(x)2axbe xax2bxcex ex2 ax 22abxbc ex . 令 g(x
9、)ax2(2ab)xbc， 因为 ex0，所以 yf(x)的零点就是 g(x)ax2(2ab)xbc 的零点且 f(x)与 g(x)符 号相同 又因为 a0，所以当3x0，即 f(x)0， 当 x0 时，g(x)0，即 f(x)5f(0)， 所以函数 f(x)在区间5，)上的最大值是 5e5. 思维升华 (1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小 (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并 通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值 跟踪训练 若函数 f(x)1 3x 3x22 3在区间(a，a5)上
10、存在最小值，则实数 a 的取值范围是 () A5,0)B(5,0) C3,0)D(3,0) 答案C 解析由题意，得 f(x)x22xx(x2)， 故 f(x)在(，2)，(0，)上是增函数， 在(2,0)上是减函数，作出其图象如图所示， 令 1 3x 3x22 3 2 3，得 x0 或 x3，则结合图象可知， 3a0， a50， 解得 a3,0) 利用导数求函数的最值 典例 (12 分)已知函数 f(x)ln xax(aR) (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)当 a0 时，求函数 f(x)在1,2上的最小值 思维点拨(1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求 f(x)0，f(x)0)，
11、 当 a0 时，f(x)1 xa0，即函数 f(x)的单调递增区间为(0，)2 分 当 a0 时，令 f(x)1 xa0，可得 x 1 a， 当 0 x0； 当 x1 a时，f(x) 1ax x 0 时，函数 f(x)的单调递增区间为 0，1 a ，单调递减区间为 1 a，.5 分 (2)当1 a1，即 a1 时，函数 f(x)在区间1,2上是减函数，所以 f(x)的最小值是 f(2)ln 2 2a.6 分 当1 a2，即 0a 1 2时，函数 f(x)在区间1,2上是增函数，所以 f(x)的最小值是 f(1)a.7 分 当 11 a2，即 1 2a1 时，函数 f(x)在 1，1 a 上是增
12、函数，在 1 a，2上是减函数又 f(2)f(1) ln 2a， 所以当1 2aln 2 时，最小值是 f(1)a； 当 ln 2a1 时，最小值为 f(2)ln 22a.11 分 综上可知，当 0aln 2 时，函数 f(x)的最小值是 f(1)a； 当 aln 2 时，函数 f(x)的最小值是 f(2)ln 22a.12 分 用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤 第一步：(求导数)求函数 f(x)的导数 f(x)； 第二步：(求极值)求 f(x)在给定区间上的单调性和极值； 第三步：(求端点值)求 f(x)在给定区间上的端点值； 第四步：(求最值)将 f(x)的各极值与 f(x)
13、的端点值进行比较，确定 f(x)的最大值与最小值； 第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范. 1下列函数中，既是奇函数又存在极值的是() Ayx3Byln(x) Cyxe x Dyx2 x 答案D 解析由题可知，B，C 选项中的函数不是奇函数；A 选项中，函数 yx3单调递增(无极值)； D 选项中的函数既为奇函数又存在极值 2函数 f(x)1 3x 34x4 的极大值为( ) A.28 3 B6C.26 3 D7 答案A 解析f(x)x24(x2)(x2)， f(x)在(，2)上单调递增，在(2,2)上单调递减， 在(2，)上单调递增， 所以 f(x)的极大值为 f(2)28
14、 3 . 3(2018南昌调研)已知 e 为自然对数的底数，设函数 f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则() A当 k1 时，f(x)在 x1 处取得极小值 B当 k1 时，f(x)在 x1 处取得极大值 C当 k2 时，f(x)在 x1 处取得极小值 D当 k2 时，f(x)在 x1 处取得极大值 答案C 解析当 k1 时，f(x)exx1，f(1)0， x1 不是 f(x)的极值点 当 k2 时，f(x)(x1)(xexex2)， 显然 f(1)0，且在 x1 附近的左侧 f(x)1 时，f(x)0， f(x)在 x1 处取得极小值故选 C. 4记函数 f(x) x3 123x的最
15、大值为 M，最小值为 m，则Mm Mm的值为( ) A.1 3 B.3 4 C.3 5 D.2 3 答案A 解析由已知，得 x30， 123x0， 解得 3x4，所以函数 f(x) x3 123x的定义域 是3,4求导，得 f(x) 1 2 x3 3 2 123x，令 f(x)0，得 x 13 4 ，当 x 3，13 4 时， f(x)0，当 x 13 4 ，4 时，f(x)1，f(4)1，所以 mf(4)1，所以Mm Mm 21 21 1 3. 5已知函数 f(x)x3ax2bxa2在 x1 处有极值 10，则 f(2)等于() A11 或 18B11 C18D17 或 18 答案C 解析函
16、数 f(x)x3ax2bxa2在 x1 处有极值 10，f(1)10，且 f(1)0，又 f(x) 3x22axb， 1aba210， 32ab0， 解得 a3， b3 或 a4， b11. 而当 a3， b3 时，函数在 x1 处无极值，故舍去 f(x)x34x211x16，f(2)18. 6(2017河北三市二联)若函数 f(x)1 3x 3 1b 2 x22bx 在区间3,1上不是单调函数，则 函数 f(x)在 R 上的极小值为() A2b4 3 B.3 2b 2 3 C0Db21 6b 3 答案A 解析f(x)x2(2b)x2b(xb)(x2)， 函数 f(x)在区间3,1上不是单调函
17、数， 3b0，得 x2， 由 f(x)0，得 bx0)的极大值是正数， 极小值是负数， 则 a 的取值范围是_ 答案 2 2 ， 解析f(x)3x23a23(xa)(xa)， 由 f(x)0 得 xa， 当axa 时，f(x)a 或 x0，函数单调递增， f(x)的极大值为 f(a)，极小值为 f(a) f(a)a33a3a0 且 f(a)a33a3a 2 2 . a 的取值范围是 2 2 ， . 9(2018长沙调研)已知 yf(x)是奇函数，当 x(0,2)时，f(x)ln xax a1 2 ，当 x(2,0) 时，f(x)的最小值为 1，则 a_. 答案1 解析由题意知，当 x(0,2)
18、时，f(x)的最大值为1. 令 f(x)1 xa0，得 x 1 a， 当 0 x0； 当 x1 a时，f(x)0. f(x)maxf 1 a ln a11，解得 a1. 10已知函数 f(x)x3ax24 在 x2 处取得极值，若 m1,1，则 f(m)的最小值为 _ 答案4 解析f(x)3x22ax，由 f(x)在 x2 处取得极值知 f(2)0，即342a20，故 a3. 由此可得 f(x)x33x24. f(x)3x26x，由此可得 f(x)在(1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增， 当 m1,1时，f(m)minf(0)4. 11(2017北京)已知函数 f(x)excos xx
19、. (1)求曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)求函数 f(x)在区间 0， 2 上的最大值和最小值 解(1)因为 f(x)excos xx， 所以 f(x)ex(cos xsin x)1，所以 f(0)0， 又因为 f(0)1， 所以曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y10. (2)设 h(x)ex(cos xsin x)1，则 h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x. 当 x 0， 2 时，h(x)0， 所以 h(x)在区间 0， 2 上单调递减 所以对任意 x 0， 2 有 h(x)h(0)0， 即 f(x)0. 所以
20、函数 f(x)在区间 0， 2 上单调递减 因此 f(x)在区间 0， 2 上的最大值为 f(0)1，最小值为 f 2 2. 12(2018武汉质检)已知函数 f(x) x3x2，x1， aln x，x1. (1)求 f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点； (2)求 f(x)在1，e(e 为自然对数的底数)上的最大值 解(1)当 x0 时，f(x)在1，e上单调递增， 则 f(x)在1，e上的最大值为 f(e)a. 故当 a2 时，f(x)在1，e上的最大值为 a； 当 a0)，则 f(t)2t1 t ， 令 f(t)0，得 t 2 2 ， 当 0t 2 2 时，f(t) 2 2 时，f
21、(t)0， 当 t 2 2 时，f(t)取得最小值 15若函数 f(x)mln x(m1)x 存在最大值 M，且 M0，则实数 m 的取值范围是_ 答案 e 1e，1 解析f(x)m x (m1)m1xm x (x0)， 当 m0 或 m1 时，f(x)在(0，)上单调，此时函数 f(x)无最大值当 0m1 时，令 f(x) 0，则 x m 1m，当 0m1 时，f(x)在 0， m 1m 上单调递增，在 m 1m，上单调递 减， 当 0m0， mln m 1m m0，解得 m e 1e， m 的取值范围是 e 1e，1. 16(2018 届中原名校质检)已知函数 f(x)xln xa 2x
22、2(aR) (1)若 a2，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)若 g(x)f(x)(a1)x 在 x1 处取得极小值，求实数 a 的取值范围 解(1)当 a2 时，f(x)xln xx2， f(x)ln x12x，f(1)1，f(1)1， 所以曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 xy0. (2)由已知得 g(x)xln xa 2x 2(a1)x， 则 g(x)ln xaxa， 记 h(x)g(x)ln xaxa， 则 h(1)0，h(x)1 xa 1ax x (x0) 当 a0，x(0，)时，h(x)0，函数 g(x)单调递增，所以当 x(0,1)时，g(x)0，所以 g(x)在 x1 处取得极小值，满足题意； 当 0a1，当 x 0，1 a 时，h(x)0，故函数 g(x)单调递增， 可得当 x(0,1)时，g(x)0，所以 g(x)在 x1 处取得极小值， 满足题意； 当 a1，x(0,1)时，h(x)0，g(x)在(0,1)内单调递增； 当 x(1，)时，h(x)1，即 01 a1 时，当 x 1 a，1时，h(x)0， 当 x(1，)时，h(x)0，g(x)单调递减，g(x)0， 所以 g(x)在 x1 处取得极大值，不合题意 综上可知，实数 a 的取值范围为a|a1
