1、8.6空间向量及其运算空间向量及其运算 最新考纲考情考向分析 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基 本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解 及其坐标表示 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能 运用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角 坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式 及四种运算等内容一般不单独命题，常以 简单几何体为载体；以解答题的形式出现， 考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角 的计算，解题要求有较强的运算能力. 1空间向量的有关概念 名称概念表示 零向量模为 0 的向量0 单位向量长度(模)为 1
2、 的向量 相等向量方向相同且模相等的向量ab 相反向量方向相反且模相等的向量a 的相反向量为a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行 或重合的向量 ab 共面向量平行于同一个平面的向量 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量 a 与 b(b0)共线的充要条件是存在实数，使得 ab. (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：pxayb，其中 x，yR，a，b 为不共线向量 (3)空间向量基本定理 如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组x，y，z，使得 p xaybzc，a，b，c叫做空间的一个基底 3空间向量的数量积及运算
3、律 (1)数量积及相关概念 两向量的夹角 已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA a，OB b，则AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作a，b ，其范围是 0a，b，若a，b 2，则称 a 与 b 互相垂直， 记作 ab. 两向量的数量积 已知空间两个非零向量 a，b，则|a|b|cosa，b叫做向量 a，b 的数量积，记作 ab，即 ab |a|b|cosa，b (2)空间向量数量积的运算律 (a)b(ab)； 交换律：abba； 分配律：a(bc)abac. 4空间向量的坐标表示及其应用 设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3). 向量表示坐标表示 数量积aba1b
4、1a2b2a3b3 共线ab(b0，R)a1b1，a2b2，a3b3 垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30 模|a|a21a22a23 夹角a，b(a0，b0)cosa，b a1b1a2b2a3b3 a21a22a23 b21b22b23 知识拓展 1向量三点共线定理 在平面中 A，B，C 三点共线的充要条件是：OA xOB yOC (其中 xy1)，O 为平面内任 意一点 2向量四点共面定理 在空间中 P，A，B，C 四点共面的充要条件是：OP xOA yOB zOC (其中 xyz1)，O 为空间中任意一点 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (
5、1)空间中任意两个非零向量 a，b 共面() (2)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc)() (3)对于非零向量 b，由 abbc，则 ac.() (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同() (5)若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有AB BCCD DA 0.() (6)若 ab0，则a，b是钝角() 题组二教材改编 2P97A 组 T2如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，M 为 A1C1与 B1D1的交点若 AB a，AD b，AA1 c，则下列向量中与BM 相等的向量是() A1 2a 1 2bc B.1 2a 1 2bc C1 2a 1 2bc D.1
6、 2a 1 2bc 答案A 解析BM BB1 B1M AA1 1 2(AD AB ) c1 2(ba) 1 2a 1 2bc. 3 P98T3正四面体 ABCD 的棱长为 2， E， F 分别为 BC， AD 的中点， 则 EF 的长为_ 答案2 解析|EF |2EF2(ECCD DF )2 EC 2CD2DF22(EC CD EC DF CD DF ) 1222122(12cos 120021cos 120) 2， |EF | 2，EF 的长为 2. 题组三易错自纠 4在空间直角坐标系中，已知 A(1,2,3)，B(2，1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线 AB 与 CD 的
7、位置关系是() A垂直B平行 C异面D相交但不垂直 答案B 解析由题意得，AB (3，3,3)，CD (1,1，1)， AB 3CD ，AB 与CD 共线，又 AB 与 CD 没有公共点，ABCD. 5与向量(3，4,5)共线的单位向量是_ 答案 3 2 10 ，2 2 5 ， 2 2 和 3 2 10 ，2 2 5 ， 2 2 解 析因 为 与 向 量 a 共 线 的 单 位 向 量 是 a |a| ， 又 因 为 向 量 ( 3 ， 4,5) 的 模 为 3242525 2， 所以与向量(3，4,5)共线的单位向量是 1 5 2(3，4，5) 2 10(3，4,5) 6O 为空间中任意一点
8、，A，B，C 三点不共线，且OP 3 4OA 1 8OB tOC ，若 P，A，B，C 四点共面，则实数 t_. 答案 1 8 解析P，A，B，C 四点共面， 3 4 1 8t1，t 1 8. 题型一空间向量的线性运算 1.如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，O 为 AC 的中点 用AB ， AD ，AA1 表示OC1 ，则 OC1 _. 答案 1 2AB 1 2AD AA1 解析OC 1 2AC 1 2(AB AD )， OC1 OC CC1 1 2(AB AD )AA1 1 2AB 1 2AD AA1 . 2.(2017上饶期中)如图，在三棱锥 OABC 中，M，N 分别是 A
9、B，OC 的中点，设OA a，OB b，OC c，用 a，b，c 表示NM ，则NM 等于() A.1 2(abc) B.1 2(abc) C.1 2(abc) D.1 2(abc) 答案B 解析NM NA AM (OA ON )1 2AB OA 1 2OC 1 2(OB OA )1 2OA 1 2OB 1 2OC 1 2(abc) 思维升华 用已知向量表示某一向量的方法 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键要正确理解向 量加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指 向末尾向量的终点的向量在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然
10、成立 题型二共线定理、共面定理的应用 典例典例(2018唐山质检)如图所示，已知斜三棱柱 ABCA1B1C1，点 M，N 分别在 AC1和 BC 上，且满足AM kAC1 ，BN kBC(0k1) (1)向量MN 是否与向量AB ，AA 1 共面？ (2)直线 MN 是否与平面 ABB1A1平行？ 解(1)AM kAC1 ，BN kBC， MN MA AB BN kC1A AB kBC k(C1A BC )AB k(C1A B1C1 )AB kB1A AB ABkAB 1 AB k(AA 1 AB ) (1k)AB kAA 1 ， 由共面向量定理知向量MN 与向量AB ，AA 1 共面 (2)
11、当 k0 时，点 M，A 重合，点 N，B 重合， MN 在平面 ABB1A1内， 当 00， 所以CBD 为锐角同理BCD，BDC 均为锐角 10已知 ABCDA1B1C1D1为正方体， (A1A A1D1 A 1B1 )23A 1B1 2； A1C (A1B1 A 1A )0； 向量AD1 与向量A1B 的夹角是 60； 正方体 ABCDA1B1C1D1的体积为|AB AA 1 AD |. 其中正确的序号是_ 答案 解析中， (A1A A1D1 A 1B1 )2A 1A 2A1D1 2A 1B1 23A 1B1 2， 故正确； 中， A 1B1 A 1A AB1 ，因为 AB1A1C，故正
12、确；中，两异面直线 A1B 与 AD1所成的角为 60，但AD1 与 A1B 的夹角为 120，故不正确；中，|AB AA 1 AD |0，故也不正确 11(2018遵义调研)已知空间三点 A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设 aAB ，bAC. (1)若|c|3，且 cBC ，求向量 c； (2)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值 解(1)cBC ， BC (3,0,4)(1,1,2)(2，1,2)， cmBC m(2，1,2)(2m，m,2m)， |c| 2m2m22m23|m|3， m1，c(2，1,2)或(2,1，2) (2)a(1,1,0)，b(1,0,2)，
13、 ab(1,1,0)(1,0,2)1， 又|a| 121202 2，|b| 120222 5， cosa，b ab |a|b| 1 10 10 10 ， 即向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为 10 10 . 12.如图所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E，F，G 分别是 AB， AD，CD 的中点，计算： (1)EF BA； (2)EG 的长； (3)异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值 解设AB a，ACb，AD c， 则|a|b|c|1， a，bb，cc，a60. (1)EF 1 2BD 1 2c 1 2a，BA a， EF BA 1 2c 1 2a
14、(a) 1 2a 21 2ac 1 4. (2)EG EB BCCG 1 2AB (ACAB)1 2(AD AC ) 1 2AB 1 2AC 1 2AD 1 2a 1 2b 1 2c， 所以 EG 21 4(abc) 2 1 4(a 2b2c22ab2ac2bc)1 2， 所以|EG | 2 2 ，即 EG 的长为 2 2 . (3)AG 1 2(AC AD )1 2b 1 2c， CE CA AEb1 2a， AG CE 1 2b 1 2c b1 2a 1 2 1 2ab|b| 21 2acbc1 2， |AG | 3 2 ，|CE |3 2 ， cosAG ， CE AG CE |AG |
15、CE | 2 3， 由于异面直线所成角的范围是 0， 2 ， 所以异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值为2 3. 13在空间四边形 ABCD 中，AB CD AC DB AD BC 等于( ) A1B0 C1D不确定 答案B 解析如图，令AB a，AC b，AD c，则AB CD AC DB AD BC a(c b)b(ac)c(ba)acabbabccbca0. 14若a，b，c是空间的一个基底，且向量 pxaybzc，则(x，y，z)叫向量 p 在基底a， b，c下的坐标，已知a，b，c是空间的一个基底，ab，ab，c是空间的另一个基底， 一向量 p 在基底a，b，c下的坐标为(4,2
16、,3)，则向量 p 在基底ab，ab，c下的坐标是 () A(4,0,3)B(3,1,3) C(1,2,3)D(2,1,3) 答案B 解析设 p 在基底ab，ab，c下的坐标为 x，y，z， 则 px(ab)y(ab)zc (xy)a(xy)bzc， p 在a，b，c下的坐标为(4,2,3)， p4a2b3c， 由得 xy4， xy2， z3， x3， y1， z3， 即 p 在ab，ab，c下的坐标为(3,1,3) 15(2018吉林模拟)已知四边形 ABCD 满足：AB BC0，BCCD 0，CD DA 0，DA AB 0， 则该四边形为() A平行四边形B梯形 C长方形D空间四边形 答案
17、D 解析由已知得BA BC 0，CB CD 0，DC DA 0，AB AD 0，由夹角的定义知B，C， D，A 均为钝角，故 A，B，C 不正确 16(2017郑州调研)已知 O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA (1,2,3)，OB (2,1,2)，OP (1,1,2)，且点 Q 在直线 OP 上运动，当QA QB 取得最小值时，OQ 的坐标是_ 答案 4 3， 4 3， 8 3 解析点 Q 在直线 OP 上，设点 Q(，2)， 则QA (1，2，32)，QB (2，1，22)， QA QB (1)(2)(2)(1)(32)(22)6216106 4 3 22 3. 即当4 3时，QA QB 取得最小值2 3. 此时OQ 4 3， 4 3， 8 3 .
