1、第第 3 讲讲二项式定理二项式定理 一、选择题 1.(2016四川卷)设 i 为虚数单位，则(xi)6的展开式中含 x4的项为() A.15x4B.15x4 C.20ix4D.20ix4 解析(xi)6的展开式的通项为 Tr1Cr6x6 rir(r0，1，2，6)，令 r2， 得含 x4的项为 C26x4i215x4，故选 A. 答案A 2.(2017漳州模拟)在 x 2 1 3 x n 的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则 展开式的常数项为() A.7B.7 C.28D.28 解析依题意有n 215，n8.二项式 x 2 1 3 x 8 的展开式的通项公式 Tk1 (1)k 1 2
2、 8k Ck8x8 4 3 k，令 84 3k0 得 k6，故常数项为 T 7(1)6 1 2 2 C687. 答案B 3.(2015湖北卷)已知(1x)n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则 奇数项的二项式系数和为() A.29B.210C.211D.212 解析由题意，C3nC7n，解得 n10.则奇数项的二项式系数和为 2n 129.故选 A. 答案A 4.(2017郑州质检)二项式 ax 3 6 6 的展开式的第二项的系为 3，则错误错误!x2dx 的值为() A.5 3 B.7 3 C.3D.11 3 解析Tr1Cr6(ax)6 r 3 6 r Cr6a6 r 3 6
3、 r x6 r， 第二项的系数为 C16a5 3 6 3，a1， 错误错误!x2dx错误错误!x2dx1 3x 3|1 2 1 3 8 3 7 3. 答案B 5.(2016海口调研)若(x2a) x1 x 10 的展开式中 x6的系数为 30， 则 a 等于() A.1 3 B.1 2 C.1D.2 解析依题意，注意到 x1 x 10 的展开式的通项公式是 Tr1Cr10 x10 r 1 x r Cr10 x10 2r，x1 x 10 的展开式中含 x4(当 r3 时)、x6(当 r2 时)项的系数分别 为 C310、C210，因此由题意得 C310aC21012045a30，由此解得 a2，
4、选 D. 答案D 6.已知 C0n2C1n22C2n23C3n2nCnn729，则 C1nC2nC3nC n n等于 () A.63B.64C.31D.32 解析逆用二项式定理得 C0n2C1n22C2n23C3n2nCnn(12)n3n 729，即 3n36，所以 n6，所以 C1nC2nC3nCnn26C0n64163. 故选 A. 答案A 7.若(1x)(1x)2(1x)na0a1(1x)a2(1x)2an(1x)n，则 a0a1a2(1)nan等于() A.3 4(3 n1) B.3 4(3 n2) C.3 2(3 n2) D.3 2(3 n1) 解析在展开式中，令 x2 得 3323
5、33na0a1a2a3( 1)nan，即 a0a1a2a3(1)nan3（13 n） 13 3 2(3 n1). 答案D 8.(2017九江模拟)(x2x1)10展开式中 x3项的系数为() A.210B.210 C.30D.30 解析(x2x1)10(x2x)110的展开式的通项公式为Tr1Cr10(x2x)10 r， 对于(x2x)10 r 的通项公式为 Tr1(1)r Cr 10rx20 2r3r.令 202rr3，根 据 0r10r，r，rN，解得 r8， r1或 r7， r3，(x 2x1)10展开式中 x3项的系数为 C810C12(1)C710C33(1)90120210. 答案
6、A 二、填空题 9.(2016北京卷)在(12x)6的展开式中，x2的系数为_(用数字作答). 解析(12x)6的展开式的通项公式为 Tk1Ck6(2x)kCk6(2)kxk，令 k2 得 x2的系数为 C26(2)260. 答案60 10.(2016山东卷)若 ax2 1 x 5 的展开式中 x5的系数是80，则实数 a _(用数字作答). 解析 ax2 1 x 5 的展开式的通项 Tr1Cr5(ax2)5 rxr 2C r 5a5 rx105r 2，令 10 5 2r5，得 r2，所以 C 2 5a380，解得 a2. 答案2 11.若将函数 f(x)x5表示为 f(x)a0a1(1x)a
7、2(1x)2a5(1x)5，其中 a0，a1，a2，a5为实数，则 a3_(用数字作答). 解析f(x)x5(1x1)5，它的通项为 Tk1Ck5(1x)5 k(1)k，T3C2 5(1 x)3(1)210(1x)3，a310. 答案10 12.若(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12， 则 a2a4a12_(用 数字作答). 解析令 x1，得 a0a1a2a1236，令 x1，得 a0a1a2 a121，a0a2a4a123 61 2 .令 x0，得 a01，a2a4a12 3 61 2 1364. 答案364 13.(2017青岛模拟)已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.
8、若数列 a1， a2， a3， ， ak(1k11，kN*)是一个单调递增数列，则 k 的最大值是() A.5B.6C.7D.8 解析由二项式定理知 anCn 1 10(n1，2，3，n).又(x1)10展开式中二项 式系数最大项是第 6 项.a6C510，则 k 的最大值为 6. 答案B 14.在(1x)6(1y)4的展开式中，记 xmyn项的系数为 f(m，n)，则 f(3，0)f(2， 1)f(1，2)f(0，3)() A.45B.60 C.120D.210 解析在(1x)6的展开式中，xm的系数为 Cm6，在(1y)4的展开式中，yn的系 数为 Cn4，故 f(m，n)Cm6Cn4.所
9、以 f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)C36C04 C26C14C16C24C06C34120. 答案C 15.(2017合肥模拟)已知二项式 x 3 x n 的展开式中，各项系数的和与其各项 二项式系数的和之比为 64，则展开式中 x 的系数为_. 解析由已知得4 n 2n64，所以 n6.展开式的通项为 T r13rCr6x3 r，令 3r1 得 r2，所以 x 的系数为 9C26135. 答案135 16.若(2xx2) 11 x 3 的展开式中的常数项为 a，则 错误错误!(3x21)dx_. 解析 11 x 3 13 x 3 x2 1 x3， (2xx2) 11 x 3 的展开式中的常数项为 a211(3)132. 故错误错误!(3x21)dx(x3x)|206. 答案6
