1、第第 4 讲讲直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 一、选择题 1.(2016全国卷)圆 x2y22x8y130 的圆心到直线 axy10 的距离 为 1，则 a() A.4 3 B.3 4 C. 3D.2 解析由圆的方程 x2y22x8y130 得圆心坐标为(1，4)，由点到直线的 距离公式得 d|1a41| 1a2 1，解之得 a4 3. 答案A 2.(2017长春模拟)过点(3，1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，则该切 线的方程为() A.2xy50B.2xy70 C.x2y50D.x2y70 解析过点(3，1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，点(3
2、，1)在圆 (x1)2y2r2上， 圆心与切点连线的斜率 k10 31 1 2， 切线的斜率为2， 则圆的切线方程为 y12(x3)，即 2xy70.故选 B. 答案B 3.已知圆 x2y22x2ya0 截直线 xy20 所得弦的长度为 4，则实数 a 的值是() A.2B.4 C.6D.8 解析将圆的方程化为标准方程为(x1)2(y1)22a，所以圆心为(1， 1)，半径 r 2a，圆心到直线 xy20 的距离 d|112| 2 2，故 r2d24，即 2a24，所以 a4，故选 B. 答案B 4.圆 x22xy24y30 上到直线 xy10 的距离为 2的点共有() A.1 个B.2 个
3、C.3 个D.4 个 解析圆的方程化为(x1)2(y2)28，圆心(1，2)到直线距离 d |121| 2 2，半径是 2 2，结合图形可知有 3 个符合条件的点. 答案C 5.(2017福州模拟)过点 P(1，2)作圆 C：(x1)2y21 的两条切线，切点分 别为 A，B，则 AB 所在直线的方程为() A.y 3 4 B.y1 2 C.y 3 2 D.y1 4 解 析圆 (x 1)2 y2 1 的 圆 心 为 (1 ， 0) ， 半 径 为 1 ， 以 |PC| （11）2（20）22 为直径的圆的方程为(x1)2(y1)21， 将两圆的方程相减得 AB 所在直线的方程为 2y10，即
4、y1 2. 故选 B. 答案B 二、填空题 6.(2016全国卷) 已知直线 l：x 3y60 与圆 x2y212 交于 A，B 两点， 过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，则|CD|_. 解析设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 x 3y60， x2y212， 得 y23 3y60，解得 y1 3，y22 3， A(3， 3)，B(0，2 3). 过 A，B 作 l 的垂线方程分别为 y 3 3(x3)，y2 3 3x，令 y0， 得 xC2，xD2，|CD|2(2)4. 答案4 7.(2017兰州月考)点 P 在圆 C1：x2y28x4y110 上，点 Q 在
5、圆 C2：x2 y24x2y10 上，则|PQ|的最小值是_. 解析把圆 C1、圆 C2的方程都化成标准形式，得 (x4)2(y2)29，(x2)2(y1)24. 圆 C1的圆心坐标是(4，2)，半径长是 3；圆 C2的圆心坐标是(2，1)，半径 是 2. 圆心距 d （42）2（21）23 5. 所以，|PQ|的最小值是 3 55. 答案3 55 8.(2017贵阳一模)由直线 yx1 上的一点向圆(x3)2y21 引切线，则切线 长的最小值为_. 解析设直线上一点为 P，切点为 Q，圆心为 M，则|PQ|即切线长，MQ 为圆 M 的半径，长度为 1，|PQ| |PM|2|MQ|2 |PM|
6、21. 要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线 yx1 上的点到圆心 M 的最小距离. 设圆心到直线 yx1 的距离为 d，则 d |301| 12（1）22 2.所以|PM|的最 小值为 2 2.所以|PQ| |PM|21 （2 2）21 7. 答案7 三、解答题 9.(2015全国卷)已知过点 A(0，1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x2)2(y 3)21 交于 M，N 两点. (1)求 k 的取值范围； (2)若OM ON 12，其中 O 为坐标原点，求|MN|. 解(1)易知圆心坐标为(2，3)，半径 r1， 由题设，可知直线 l 的方程为 ykx1， 因为
7、 l 与 C 交于两点，所以|2k31| 1k2 1. 解得4 7 3 k0， 所以不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点. (2)解设直线与圆交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则直线 l 被圆 C 截得的弦长|AB| 1k2|x1x2| 2 84k11k2 1k2 2114k3 1k2， 令 t4k3 1k2，则 tk 24k(t3)0， 当 t0 时，k3 4，当 t0 时，因为 kR， 所以164t(t3)0，解得1t4，且 t0， 故 t4k3 1k2的最大值为 4，此时|AB|最小为 2 7. 法二(1)证明因为不论 k 为何实数， 直线 l 总过点 P(
8、0， 1)， 而|PC| 52 3 R，所以点 P(0，1)在圆 C 的内部，即不论 k 为何实数，直线 l 总经过圆 C 内 部的定点 P.所以不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点. (2)解由平面几何知识知过圆内定点 P(0，1)的弦，只有与 PC(C 为圆心)垂直 时才最短， 而此时点 P(0， 1)为弦 AB 的中点， 由勾股定理， 知|AB|2 125 2 7，即直线 l 被圆 C 截得的最短弦长为 2 7. 11.(2017衡水中学月考)两圆 x2y22axa240 和 x2y24by14b2 0 恰有三条公切线，若 aR，bR 且 ab0，则 1 a2 1 b2的
9、最小值为( ) A.1B.3C.1 9 D.4 9 解析x2y22axa240，即(xa)2y24，x2y24by14b20， 即 x2(y2b)21.依题意可得， 两圆外切， 则两圆圆心距离等于两圆的半径之 和， 则 a2（2b）2123，即 a24b29， 所以 1 a2 1 b2 1 a2 1 b2 a24b2 91 9 5a 2 b2 4b2 a21 9 52 a2 b2 4b2 a21， 当且仅 当a 2 b2 4b2 a2 ，即 a 2b 时取等号. 答案A 12.(2015山东卷)一条光线从点(2，3)射出，经 y 轴反射后与圆(x3)2(y 2)21 相切，则反射光线所在直线的
10、斜率为() A.5 3或 3 5 B.3 2或 2 3 C.5 4或 4 5 D.4 3或 3 4 解析由已知，得点(2，3)关于 y 轴的对称点为(2，3)，由入射光线与 反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，3).设反射光线所在直线的斜率 为 k，则反射光线所在直线的方程为 y3k(x2)，即 kxy2k30.由反 射光线与圆相切，则有 d|3k22k3| k21 1，解得 k4 3或 k 3 4，故选 D. 答案D 13.已知曲线 C：x 4y2，直线 l：x6，若对于点 A(m，0)，存在 C 上的 点 P 和 l 上的点 Q 使得AP AQ 0，则 m 的取值范围为_. 解析曲线
11、 C：x 4y2，是以原点为圆心，2 为半径的半圆，并且 xP 2，0，对于点 A(m，0)，存在 C 上的点 P 和 l 上的点 Q 使得AP AQ 0， 说明 A 是 PQ 的中点，Q 的横坐标 x6， m6xP 2 2，3. 答案2，3 14.(2017湖南省东部六校联考)已知直线 l：4x3y100，半径为 2 的圆 C 与 l 相切，圆心 C 在 x 轴上且在直线 l 的右上方. (1)求圆 C 的方程； (2)过点 M(1，0)的直线与圆 C 交于 A，B 两点(A 在 x 轴上方)，问在 x 轴正半轴 上是否存在定点 N，使得 x 轴平分ANB？若存在，请求出点 N 的坐标；若不
12、 存在，请说明理由. 解(1)设圆心 C(a，0) a5 2 ，则|4a10| 5 2a0 或 a5(舍). 所以圆 C 的方程为 x2y24. (2)当直线 ABx 轴时，x 轴平分ANB. 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 yk(x1)，N(t，0)，A(x1，y1)， B(x2，y2)， 由 x2y24， yk（x1） ，得(k 21)x22k2xk240， 所以 x1x2 2k2 k21，x 1x2k 24 k21. 若 x 轴平分ANB， 则 kANkBN y1 x1t y2 x2t0 k（x11） x1t k（x21） x2t 02x1x2(t1)(x1x2)2t02（k 24） k21 2k 2（t1） k21 2t0t4，所以 当点 N 为(4，0)时，能使得ANMBNM 总成立.
