1、课时作业(六十八)几何概型 基础过关组 一、选择题 1某单位试行上班刷卡制度，规定每天 8：30 上班，有 15 分钟的有效刷卡时间(即 8：158： 30)，一名职工在 7：50 到 8：30 之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，则他能有效刷卡上班的 概率是() A2 3 B5 8 C1 3 D3 8 解析该职工在 7：50 到 8：30 之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，设其构成的区域为 线段 AB，且 AB40，职工的有效刷卡时间是 8：15 到 8：30 之间，设其构成的区域为线段 CB，且 CB15，如图，所以该职工有效刷卡上班的概率 P15 40 3 8。故选 D。 答案D
2、2已知 M 是圆周上的一个定点，若在圆周上任取一点 N，连接 MN，则弦 MN 的长不小于圆半 径的概率是() A1 4 B1 3 C1 2 D2 3 解析设圆的半径为 R，则由题意知，所求概率为 2R2 3R 2R 2 3。故选 D。 答案D 3 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一， 被誉为“东方魔板”， 它是由五块等腰直角三角形、 一块小正方形和一块平行四边形共七块板组成的。如图是一个用七巧板拼成的大正方形，若在此正 方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为() A 9 32 B 5 16 C3 8 D 7 16 解析设大正方形的边长为 2，则该正方形的面积为 4，阴影部分的面积为1 2
3、121 1 2 3 2， 所以在大正方形中任取一点，此点取自阴影部分的概率为 3 2 4 3 8。故选 C。 答案C 4在区间0,1内随机取两个数 x 和 y，则 y|x 1 2|的概率为() A1 6 B2 5 C3 4 D1 4 解析在区间0,1上随机选取两个数 x 和 y，对应的区域为边长为 1 的正方形，面积为 1，在此 条件下满足 y|x 1 2|的区域面积为 121 2 1 2 1 2 3 4，故所求概率为 3 4。故选 C。 答案C 5函数 f(x) 1 2 x，x(0，)的值域为 D，在区间(1,2)上随机取一个数 x，则 xD 的概率 是() A1 2 B1 3 C1 4 D
4、1 解析当 x0 时，0 1 2 x1，即函数 f(x)的值域 D(0,1)。设“在区间(1,2)上随机取一个数 x， 则 xD”为事件 A，由几何概型的概率计算公式可得 P(A) 10 21 1 3。故选 B。 答案B 6(2021郑州市质量预测)“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样。 为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为 3 的正方形将其包含在内，并向该正 方形内随机投掷 2 000 个光点，已知恰有 800 个光点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是 () A16 5 B18 5 C10D32 5 解析由几何概型知 S 阴影 S 正方形 8
5、00 2 000，又 S 正方形339，所以 S阴影18 5 。故选 B。 答案B 7刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的九章算术注中首创“割圆术”。所谓“割圆 术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法。如图所示，圆内接 正十二边形的中心为圆心 O，圆 O 的半径为 2，现随机向圆 O 内投放 a 粒豆子，其中有 b 粒豆子落 在正十二边形内(a，bN*，b 2，解得 k1 或 k1，又 k 3， 3，所以 3k1 或 1k 3，故事件“直线 l 与圆 C 相离”发生的概率 P 311 3 2 3 3 3 3 。故选 D。 答案D 10若 a1,6，则函数 yx
6、2a x 在区间2，)上单调递增的概率是() A1 5 B2 5 C3 5 D4 5 解析因为函数 yx 2a x xa x在区间(0， a)上单调递减，在区间( a，)上单调递增，而 1a6，所以 1 a 6。要使函数 yx 2a x 在区间2，)上单调递增，则 a2，得 1a4， 所以 P(1a4)41 61 3 5。故选 C。 答案C 二、填空题 11如图所示，圆中有一内接等腰三角形，且三角形底边经过圆心，假设在圆内随机撒一粒黄 豆(大小忽略不计)，则它落在阴影部分的概率为_。 解析设圆的半径为 1，则圆的面积 S1，三角形的面积 S21 2211，由几何概型概率公 式可得，在圆内随机撒
7、一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为1 。 答案 1 12在等腰直角三角形 ABC 中，C90，在直角边 BC 上任取一点 M，则CAMP(M) BP(A)P(M) CP(A)P(M) DP(A)与 P(M)的大小关系与半径长度有关 解析不妨设四分之一圆的半径为 1，则半圆的半径为 2 2 。记 A 区域的面积为 S1，M 区域的面 积为 S2，则 S21 2 2 2 2 1 41 2S1 S1，所以 P(A)P(M)。故选 C。 答案C 16(2021福州市适应性练习)勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械 工程专家、机构运动学家勒洛首先进行研究的，其作法是：以等边三角形每个
8、顶点为圆心，以边长 为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形。如图中的两个勒洛 三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为 13，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取 自小的勒洛三角形内的概率为_。 解析解法一： 设题图中小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为 a， 则小的勒洛三角形的 面积 S13a 2 6 2 3 4 a2 3a 2 2 ，因为两个勒洛三角形所对应的等边三角形的边长比为 13， 所以大的勒洛三角形的面积 S2 33a 2 2 9 3a 2 2 ，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则 此点取自小的勒洛三角形内的概率 PS1 S2 1 9。 解法二：因为大、小勒洛三角形所对应的等边三角形的边长比为 31，所以大、小勒洛三角形 的面积比为 321291，所以从大的勒洛三角形中随机取一点，此点取自小的勒洛三角形内的概 率 P1 9。 答案 1 9
